1、1倒易点阵倒易点阵v倒易点阵几何倒易点阵几何v衍射条件衍射条件v爱瓦尔德图解法爱瓦尔德图解法v粉末衍射法粉末衍射法2倒易点阵简介倒易点阵简介v布拉格公式作为结构分析的数学工具,在大多数场合已经足够,但是,还有一些衍射效应是布拉格公式无法解释的,例如非布拉格散射就是如此.v倒易点阵概念的引入,为一般衍射理论奠定了基础.3倒易点阵几何倒易点阵几何v倒易点阵的概念倒易点阵的概念v倒易点阵的定义倒易点阵的定义v倒易倒易点阵的性质点阵的性质v晶带定理晶带定理4倒易点阵的概念倒易点阵的概念v倒易点阵是一个假想的点阵倒易点阵是一个假想的点阵.v将空间点阵将空间点阵(真点阵或实点阵真点阵或实点阵)经过倒易变换
2、经过倒易变换,就得到倒易点阵就得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵倒易点阵的外形也是点阵,但其结点对应真点阵的晶面但其结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间倒易点阵的空间称为倒易空间。称为倒易空间。5倒易点阵的定义倒易点阵的定义 设正点阵的原点为设正点阵的原点为O，基矢，基矢为为a a、b b、c c，倒易，倒易点阵的原点点阵的原点为为O*，基矢为，基矢为a a*、b b*、c c*，则有：则有：a a*=b bc/c/V,b b*=c ca/a/V,c c*=a ab/b/V.式中，式中，V为正为正点阵中单胞的体积：点阵中单胞的体积：V=a a(b bc c)=b b(c ca a)=c c(
3、a ab b)表明某一倒易基矢垂直于表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢正点阵中和自己异名的二基矢所成平面所成平面 6倒易倒易点阵的性质点阵的性质1.正倒点阵异名基矢点乘为正倒点阵异名基矢点乘为0;a a*b b=a a*c c=b b*a a=b b*c c=c c*b b=0 同名基矢点乘为同名基矢点乘为1。a a*a a=b b*b b=c c*c c=1.2.在倒易在倒易点阵中，由原点点阵中，由原点O*指向任意坐标为指向任意坐标为hkl的阵点的矢量的阵点的矢量 g ghkl(倒易矢量倒易矢量)为：为：g ghkl=h a a*+k b b*+lc c*式中式中hkl为正点阵
4、中为正点阵中 的晶面指数的晶面指数3.倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即g ghkl=1/d dhkl4.对正交点阵，有对正交点阵，有 a a*a a，b b*b b，c c*c c，a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c，5.只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行）的。即倒易矢量的。即倒易矢量g ghkl是与相应指数的晶向是与相应指数的晶向hkl 平行的。平行的。7 ghkl=h a*+k b*+lc*表明：v1.倒易矢量ghkl垂直于正点阵中相应的 hkl晶面
5、，或平行于它的法向Nhkl v2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面8晶带定理晶带定理v在正点阵中，同时平行于某一晶向uvw的一组晶面构成一个晶带，而这一晶向称为这一晶带的晶带轴。v图示为正空间中晶体的uvw晶带v图中晶面（h1k1l1）、（h2k2l2）、（h3k3l3）的法向N1、N2、N3和倒易矢量gh1k1l1、gh2k2l2、gh3k3l3的方向相同.v晶带定理：因为各倒易矢量都和其晶带轴r=uvw垂直，固有ghklr=0，即 hu+kv+lw=0,这就是晶带定理。衍射条件 设:入射线波长为,入射线方向为单位矢量S S0,0,衍射线方向为单位矢量S S,那么在那么在S S方
6、向有衍射线的条件是:在与S S方向相垂直的波阵面上,晶体中各原子散射线的位向相同。先计算原点O和任一原子A的散射线在与S S方向的位向差。S S0(S-S0)ghkl12mnOA(HKL)(00SSOASOASOAAmOn光程差v相应的位向差为 其中p、q、r是整数因为S S0 0是入射线方向单位矢量,S S是衍射线方向为单位矢量，因此S-SS-S0 0是是矢量，则：现在不明确h h、k k、l l一定是整数。由：可见，只有当=2n时，才能发生衍射，此时n应为整数。由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h h、k k、l l一定是整数。于是得到结论：OASS)(220crbqapOA)(2)
7、()(2)(2*0lrkqhpcrbqapc lbkahOASS*0)(c lbkahSSv满足衍射条件的矢量方程。vX射线衍射理论中的劳埃方程和布拉格方程均可由该矢量方程导出。hklgclbkahSS*0)(12布拉格方程推导S-S0=Ssin+S0sin=2sin(S-S0)/=2sin)/=ghkl=1/d2dsin=S S0(S-S0)ghkl12mnOA(HKL)13Ewald 作图法vEwald 图解是衍射条件的几何表达式。v sin=/2dv令d=/ghkl （此时比例系数用X射线的波长）v则sin=ghkl/2 v即某衍射面（hkl）所对应的布拉格角的正弦等于其倒易矢量长度的一
8、半。Ewald 图解入射线反射线反射球反射方向BAPO1g g(hkl)2151、设以单位矢量、设以单位矢量S0代表波代表波长为长为 的的X-RAY,照射在晶体照射在晶体上并对某个上并对某个hkl面网产生衍面网产生衍射，射，衍射线方向为衍射线方向为S，二者，二者夹角为夹角为2。2、定义、定义S=S-S0为衍射矢量，为衍射矢量，其长度为：其长度为：S=S-S0=2sin /=1/dEwald 作图法2S/S0/OA1/0gSSPv3、S长度为长度为1/d，方向垂，方向垂直于直于hkl面网，面网，所以所以v S=g g*即：即：v衍射矢量就是倒易矢量衍射矢量就是倒易矢量。v4、可、可以以A点为球心
9、，以点为球心，以1/为半径作一球面，称为为半径作一球面，称为反射球（反射球（Ewald 球）。衍球）。衍射矢量的端点必定在反射射矢量的端点必定在反射球面上球面上2S/S0/OA1/0gSSP5、以以S0端点端点O点为原点，点为原点，作作倒易空间，某倒易点（代表倒易空间，某倒易点（代表某倒易矢量与某倒易矢量与hkl面网）的面网）的端点如果在反射球面上，端点如果在反射球面上，说明该说明该g g*=S,满足满足Braggs Law。某倒易点的端点如果。某倒易点的端点如果不在反射球面上，不在反射球面上，说明不说明不 满足满足Braggs Law，可以直，可以直观地看出那些面网的衍射状观地看出那些面网的
10、衍射状况。况。2S/S0/OA1/0gSSP 入射矢量入射矢量S0、衍射矢量衍射矢量S 及倒易矢量及倒易矢量g g*的端的端点均落在球面上点均落在球面上 S的方向与大小均的方向与大小均由由2 所决定所决定g g2 2S0 2 AOSSSg g1 1g g3 3P1P2P319Ewald 球与极限球球与极限球AO1/hklS/S0/凡是处于凡是处于Ewald球面上的倒易点均符合衍射条件球面上的倒易点均符合衍射条件若同时有若同时有m个倒易点落在球面上，将同时有个倒易点落在球面上，将同时有m个衍射发生，衍个衍射发生，衍射线方向即球心射线方向即球心A与球面上倒易点连线所指方向。与球面上倒易点连线所指方
11、向。即即EwaldEwald球不动，球不动，围绕围绕O点点转动倒易转动倒易晶格，接触到球面晶格，接触到球面的倒易点代表的晶的倒易点代表的晶面均产生衍射（周面均产生衍射（周转晶体法的基础）。转晶体法的基础）。CO1/hklS/S0/增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法(1)入射方向不变，转动晶体入射方向不变，转动晶体增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法(2)波长连续，波长连续，使使EwaldEwald球的数球的数量增加，即球壁量增加，即球壁增厚（增厚（LaueLaue法）法）AO1/hklS/S0/（3 3）EwaldEwald球不动，增球不动，增加随机分布的晶体
12、数量，加随机分布的晶体数量，相当于围绕相当于围绕O点点转动倒易转动倒易晶格，使每个倒易点均晶格，使每个倒易点均形成一个球（倒易球）。形成一个球（倒易球）。（粉晶法的基础）（粉晶法的基础）AO1/hklS/S0/增大晶体产生衍射几率的方法增大晶体产生衍射几率的方法倒易球倒易球2hkld Direction ofdirect beamDirection ofdiffracted raySphere of reflectionhklS/S0/C1/2OLimiting sphereg g极限球衍射的极限条件衍射的极限条件可见，能获得衍射的最可见，能获得衍射的最大 倒 易 球 半 径 为大 倒 易 球
13、 半 径 为g=1/d g=1/d 2/:即即 的晶面不的晶面不可能发生衍射可能发生衍射25(1)晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这一客观事实的抽象，有严格的物理意义。一客观事实的抽象，有严格的物理意义。(2)倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。(3)Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。球本身无实在物理意义，仅为数学工具。但由
14、于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描述了述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶体衍射有力手段。体衍射有力手段。关于点阵、倒易点阵及关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考球的思考26概念回顾概念回顾v以以A A为圆心，为圆心，1/1/为半径所做的球称为反为半径所做的球称为反射球，这是因为只有在这个球面上的倒射球，这是因为只有在这个球面上的倒易点所对应的晶面才能产生衍射。有时易点所对应的晶面才能产生衍射。有时也称此球为干涉球，也称此球为干涉球，EwaldEwald球。球。v围绕围绕O点点转动倒易晶格，使每个倒易点转动倒易晶格，使每个倒易点形成的球形成的球称为称为倒易球倒易球v以以O O为圆心，为圆心，2/2/为半径的球称为极限球为半径的球称为极限球。
