1、等腰三角形的判定等腰三角形的判定知识回顾知识回顾等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个等腰三角形的两个底角底角相等相等简称为“等边对等角等边对等角”知识回顾知识回顾等腰三角形的性质2：等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相相互重合互重合简称为“三线合一三线合一”这“三线三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴对称轴思考思考如图，位于在海上A、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得A=B如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？换而言之，如果A=B，会有AO=BO 吗？猜想与证明猜想
2、与证明如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等你知道怎么证明吗？先变成符号形式已知：ABC 中，B=C求证：AB=AC怎么证明边相等呢？可以证三角形全等没有全等怎么办呢？可以构造怎么构造呢？可以作出顶角的平分线猜想与证明猜想与证明已知：ABC 中，B=C 求证：AB=AC证明：作BAC 的平分线AD，BAD=CAD在BAD 和CAD 中，BAD=CAD，B=C，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）还有其他证法吗？也可以过点A作高猜想与证明猜想与证明已知：ABC 中，B=C 求证：AB=AC证明：作ADBC 于点D，
3、ADB=ADC=90在BAD 和CAD中，B=C，ADB=ADC，AD=AD BAD CAD（AAS）AB=AC（全等三角形的对应边相等）作角平分线和高都可以证明，作中线行吗？猜想与证明猜想与证明已知：ABC 中，B=C 求证：AB=AC证明：取BC 中点D，连结AD，BD=CD在BAD 和CAD中，AD=AD，BD=CD，B=C这是边边角，能判定全等吗？不能作中线不能证明这个结论结论结论等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等简称为“等角对等边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角同一个三角形形中的边角关系等腰三角形的判定在证明
4、中怎么写过程呢？在ABC中，B=C（已知）AC=AB（等边对等角）性质和判定的区别性质和判定的区别等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边例题例题求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：CAE是ABC 的外角，AD平分CAE ADBC求证：AB=ACADBC，1=B（两直线平行，同位角相等）2=C（两直线平行，内错角相等）AD平分CAE，1=2，B=C，ABC是等腰三角形证明：练习练习已知一个三角形的两个内角为50和80，则第三个角为_，它是_三角形答案：50，等腰练习练习在ABC 中，其两个内角如下，则能判定ABC 为等腰三角形
5、的是()CA.A=40，B=50B.A=40，B=60C.A=40，B=70D.A=40，B=80练习练习如图，A=36，AB=AC，BD平分 ABC，则图中一共有_个等腰三角形答案：3练习练习如图，A=36，AB=AC，BD 平分 ABC，CE平分 ACB 交BD 于点O，则图中一共有_个等腰三角形答案：8练习练习如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B 处，从A、B 望灯塔C，NAC=40，NBC=80求从B 处到灯塔C 的距离提示：等角对等边提示：等角对等边练习练习已知：如图，ABC中，A=B=C求证：AB=AC=BC练习练习如图ABC 中，
6、AB=AC，B=36，D、E 分别是BC 边上两点，且ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形有_个答案：6练习练习已知：如图，ABC 的 BC 边上有 D，E 两点，1=2，3=4求证：ABC 是等腰三角形.提示：先证明B=C已知：如图，AD BC，BD 平分ABC求证：AB=AD提示：先把相等的边标在图中总结：角平分线+平行等腰角平分线角平分线+平行平行等腰三角形等腰三角形角平分线角平分线+平行平行等腰三角形等腰三角形如图，ABC 中，ABC、ACB 的平分线交于点O，过点O作DE/BC，分别交AB、AC 于点D、E，求证：BD+EC=DE提示：角平分线+平行等腰如图，BD是等腰三角形A
7、BC的底边AC上的高，DEBC，交AB于点E 判断BDE是不是等腰三角形，并说明理由角平分线角平分线+平行平行等腰三角形等腰三角形提示：角平分线+平行等腰角平分线角平分线+平行平行等腰三角形等腰三角形提示：角平分线+平行等腰如图，ABC 中，BI，CI 平分ABC，ACF，过点I 作IDBC 分别交AC，AB 于点E，D若BD=9cm，CE=4cm，则DE 等于（）B练习练习1如图，A=36，DBC=36，C=72，分别计算1，2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形练习练习2如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合的部分是一个等腰三角形吗？为什么？思考：“折叠”隐藏着什么条件呢？所有的对应边相等，
8、所有的对应角相等看到折叠，就可以把等量关系标在图中提示：平行+角平分线等腰练习练习3求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形练习练习4如图，AC 和BD 相交于点O，且ABDC，OA=OB求证：OC=OD例题例题已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形作法：（1）作线段AB=a；（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC=h；（4）连接AC，BC，则ABC 就是所求作的等腰三角形.如右图所示，ABC 是等腰三角形，AB=AC，倘若一不留心它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC 和一个底角C
9、同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC 重新画出来？大家试试看练习练习方法一：用角的相等来画方法二：用过一边中点作垂线的方法来画角平分线角平分线+垂线垂线如图，已知ABC 的面积为 12，AD平分BAC，且ADBD 于点 D，则ADC 的面积是 _提示：延长BD总结：角平分线+垂线等腰三角形6角平分线角平分线+垂线垂线提示：延长BE如图所示，在ABC 中，AE 平分BAC，BEAE，ABE=2C求证：AC-AB=2BE角平分线角平分线+垂线垂线如图，已知等腰 RtABC 中，AB=AC，BAC=90，BF 平分ABC，CD BD 交 BF的延长线于 D求证：BF=2CD提示：延长CD
10、与等角对等边有关的证明与等角对等边有关的证明已知：如图，AD是BAC 的平分线，E 为 BC 延长线上一点，EAC=B，EFAD 于点 F.求证：EF 平分AEB提示：先证明ADE是等腰三角形与等角对等边有关的证明与等角对等边有关的证明P是等腰三角形底边BC上的一点，过P 作PQBC 交AB 于Q，交CA的延长线于R求证：AQR是等腰三角形提示：先把等角在图中标出来与等角对等边有关的证明与等角对等边有关的证明P是等腰三角形底边BC所在直线上的一点，过P作PQBC交AB于Q，交CA的延长线于R，先补全图形，然后证明AQR是等腰三角形提示：先把等角在图中标出来在ABC 中，AD 平分BACBD A
11、D，垂足为 D，过 D 作DEAC，交 AB 于 E（1）求证：AE=DE；（2）若 AB=8，求线段 DE 的长与等角对等边有关的证明与等角对等边有关的证明提示1：角平分线+平行等腰三角形提示2：证明ED=EB与等角对等边有关的证明与等角对等边有关的证明已知：如图，四边形ABCD 中，AB=AD，B=D求证：BC=CD提示：连接BD等腰直角斜边中点模型等腰直角斜边中点模型在ABC 中，AB=AC，B=90，点D、E 分别是AB、BC边上的动点，且BD与CE 相等，点M是AC 的中点，试探究在D、E 运动过程中，DEM 的形状是否发生变化，它是什么形状的三角形？提示1：连接BM提示2：证明BD
12、M CEM等腰与全等综合等腰与全等综合如图所示，在ABC中，AB=AC，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，且BE=CF，BD=CE（1）求证DEF是等腰三角形；（2）当A=40 时，求DEF的度数 提示：证BED CFE答案：（2）70等腰与全等综合等腰与全等综合已知：如图，ABC 中，ABAC，D点在AB上，E点在AC 的延长线上，且BDCE，连结DE，交BC 于F求证：DF=EF提示：过点D 做DPAC 总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造等腰与全等综合等腰与全等综合已知：如图，ABC 中，ABAC，D点在AB上，E 点在AC 的延长线上，且DFEF，连结DE，交B
13、C 于F求证：BD=CE提示：过点D 做DPAC 总结：证线段相等，就要想到证全等，没有就得构造寻找满足等腰的点寻找满足等腰的点如图，已知 RtABC，C=90，A=20，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 是等腰三角形，则符合条件的 P 点有_个答案：8寻找满足等腰的点寻找满足等腰的点在正方形ABCD内找一点P，使PAB、PBC、PCD、PAD 都是等腰三角形，这样的P点有几个？在正方形ABCD 外呢？利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（1）如图中，若ABC2C，如果作 BD 平分ABC，则DB
14、C 是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（2）如图中，若ABC2C，如果延长线 CB 到 D，使BDBA，连结 AD，则ADC 是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰当一个三角形中出现一个角是另一个角的 2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形（3）如图中，若ABC2C，如果以 C 为角的顶点，CA 为角的一边，在形外作ACDACB，交 BA 的延长线于点D，则DBC 是等腰三角形利用二倍角构造等腰利用二倍角构造等腰如图，ACB2B，BC2AC求证：A90提示：作ACB 的平分线黄金
15、三角形的剖分黄金三角形的剖分如图，在ABC中，AB=AC，A=36，你能把ABC分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)黄金三角形的剖分黄金三角形的剖分如图，在ABC 中，AB=AC，A=36，你能把ABC 分成三个等腰三角形吗？(提供两中以上不同的作图方案)剖分出等腰三角形剖分出等腰三角形在ABC 中，ABC=30，BAC=70在ABC 所在平面内画一条直线，将ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条？提示：按剖分线所过的顶点分类总结总结这节课我们学到了什么？如果一个三角形有两个角相等两个角相等，那么这两个角所对的边也相等两个角所对的边也相等简称为“等角对等边等角对等边”注意：“等角对等边”指的是都是同一个三角形同一个三角形中的边角关系总结总结等腰三角形的性质和判定有什么区别呢？性质判定等边等角等角等边
