1、1.1.定义定义)(xyfdxdy 形形如如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程.2.2.解法解法 作变量代换作变量代换,xyu ,xuy 即即,dxduxudxdy 代入原式代入原式),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程齐次型方程齐次型方程一、齐次型方程一、齐次型方程1,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()(,代入代入将将xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 若若,0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程
2、的解得齐次方程的解2例例 1 1 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx解解，令令xyu ，则则udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu 微分方程的解为微分方程的解为.lnsinCxxy 3例例 2 2 求解微分方程求解微分方程.2222xyydyyxyxdx 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu 4,1122)121(21xdxduuuuu ,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(12
3、3Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy 5例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解如图如图轴轴设旋转轴设旋转轴 ox),0,0(光源在光源在)(:xyyL 为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜率为斜率为为切线为切线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN xyoMTNRL6,tantanNMROMN xyoMTNRL由夹由夹角正角正切公切公式得式得 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan得微分方程得微分方程,022 yyxyy.1)(2 yxyxy即即7，令令
4、xyu ,112uudxduxu 得得分离变量分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xdxtttdt 积分得积分得,ln1lnxCt ,112 xCu即即8平方化简得平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线抛物线轴的旋转抛物面方程为轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为所求旋转轴为 ox).2(222CxCzy 9yxyxdxdy 解解xyxydxdy 11令令xyu 则则dxduxudxdy 代入化简代入化简 并分离变量并分离变量dxxduuu1112 两边积分两边积分cxuulnln)1ln(21arctan2 换回原变量换回原
5、变量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例4 4101.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA二、可化为齐次型的方程二、可化为齐次型的方程1.1.定义定义的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy ,
6、01时时当当 cc为齐次型方程为齐次型方程.否则为非齐次型方程否则为非齐次型方程2.2.解法解法，令令kYyhXx ,（其中（其中h h和和k k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 12 ,0,0111ckbhacbkah,0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX,0)2(未必有解未必有解,上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba13,0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.
7、,0,01 ab若若,byaxz 令令),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb 可分离变量可分离变量.14.315的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解,021111 ,0301khkh方程组方程组,2,1 kh.2,1 YyXx令令代入原方程得代入原方程得,YXYXdXdY ，令令XYu 15方程变为方程变为,11uudXduXu 分离变量法得
8、分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或16利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(62的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回,yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 17三、小结三、小结齐次方程齐次方程).(xydxdy 齐次方程的解法齐次方程的解法.xyu 令令
9、可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?18思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.19练练 习习 题题一、一、求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解:1 1、0)(22 xydydxyx；2 2、0)1(2)21(dyyxedxeyxyx.二、二、求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:1 1、1,02)3(022 xyxydxdyxy；2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy.三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程,并求出通解并求出通解:1 1、31 yxyxy；2 2、0)642()352(dyyxdxyx.20练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ；2 2、cyexyx 2.二、二、1 1、322yxy ；2 2、yxyx 22.三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22；2 2、Cxyxy 2)32)(34(.21
