1、架起现实和数学的桥梁无处不在的导数拓展服务区导数之旅132数学文化Show4第二节：倒数之旅目录分析变化识导数1简化出秘籍，变形助通关2拨开云雾见导数31景点一：分析变化识导数1景点一：分析变化识导数变化率的引入 导数是微分的基础，微分是积分的基础，所以，导数就像是微积分这座城堡的大门，其作用可见一斑。言归正传，何谓导数？通俗点儿讲，导数就是变化率，反映变化快慢程度，从曲线上来看，导数就是斜率，而斜率又是什么呢？这是个好问题！其精确定义，还得从曲线的斜率说起。1景点一：分析变化识导数变化率的引入设有曲线 C:y=f(x)及 C 上的一点 M（图3）,在点 M 外另取 C 上一点 N,作割线 M
2、N,当点 N 沿曲线 C 逐渐趋于点 M 时,割线 MN 绕点 M 旋转,而逐渐趋于极限位置 MT,直线 MT 就称为曲线 C 在点 M 处的切线。1景点一：分析变化识导数导数的定义1景点一：分析变化识导数导数的定义设 是曲线 C上的一点（上页图）,则 在点 M外另取 C 上一点 ,割线 MN 的斜率为:其中 为割线的倾角，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果 存在,则此极限就是切线 MT 的斜率 ,其中 是切线 MT 的倾角),(00yxM)(00 xfy),(yxN0000)()(tanxxxfxfxxyy0 xx 0limxx00)()(xxxfxftank1景点一：分析变化识导数
3、导数的定义设函数 y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量x(x+x也在该邻域内)时，相应地函数有增量 ，若y与x之比当x0时极限存在，则称这个极限值为 在x0处的导数，即 ，记为：还可记为：，xxfxxfxfx000/lim)(1景点一：分析变化识导数导数的定义下面介绍几个利用导数建立的变化率模型利用导数定义可以建立变化率模型，下面介绍几个例子。1景点一：分析变化识导数导数的定义1景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在 0,t这段时间内通过导线横截面的电荷为 ，求 时刻的电流.tQQ 0t例11景点一：分析变化识导数变化率的引入（电流模型）设在 0,t这段
4、时间内通过导线横截面的电荷为 ，求 时刻的电流.tQQ 0t（1）若电流恒定 （2）若电流不恒定，平均电流 故 时刻电流 tQi时间电荷 ttQttQtQi00 00000limlimttttdtdQttQttQtQti0t1景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入（细杆的线密度模型）设一质量非均匀分布的细杆放在 x 轴上，在0，x 上的质量 m 是 x 的函数 m=m(x)，求杆上 x0 的线密度。例21景点一：分析变化识导数变化率的引入如果细杆质量分布是均匀的，则长度为 的一段的质量为 ，那么它的线密度为 而对于质量非均匀分布的细杆，可先求其平均线密度，即平均
5、线密度 故 细杆在 处的线密度，即 xmxm长度质量 xxmxxmxm00 000000limxmdxdyxxmxxmxxxx1景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入（边际成本模型）在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的总成本。例3设一产品产量为 x 单位时，总成本为C=C（x），称C（x）为总成本函数，简称为总成本函数。当产量由x变为 时，总成本函数改变量为 这时，总成本的平均变化率为 它表示产量由x变到 时，在平均意义下的边际成本。当总成本函数C（x）可导时，其变化率表示该产品产量为x时的边际成本，即边际成本是总成本函数关于产量的导数。xx x
6、CxxCC xxCxxCxCxx xxCxxCxCxCxx00/limlim1景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入（化学反应速度模型）在化学反应中一物质的浓度N和时间t的关系为N=N（t），求：在t时刻物质的瞬时反应速度。例4当时间以 t 变到 时，浓度的平均变化率为 令 时，该物质在 时刻的瞬时反应速度为：tt ttNttNtN0t ttNttNtNtNtt00limlim1景点一：分析变化识导数变化率的引入上述现实模型的相似点是什么呢，理解导数的实际含义了吗？看到这么多数学符号，是不是又头大了？太抽象了，咱们看一个具体的例子，看看怎么用导数的定义来完成求导
7、运算。1景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数 导数xy例5在x处给自变量一个增量 ，相应函数增量为,于是 ，；即 ；则 x 2222xxxxxxxfxxfyxxxy2xxxxyxx22limlim00 xx2221*21xdxdy1景点一：分析变化识导数变化率的引入1景点一：分析变化识导数变化率的引入求函数 导数xy例61景点一：分析变化识导数变化率的引入 xxxxxxxxfxxfy解：于是即：xxxxy1xxxxxyxx211limlim00212121)(xxx1景点一：分析变化识导数原来求导数可以分为三步走：第一步：求函数的增量：第二步：计算 的值
8、 第三步：求极限)()(xfxxfyxyxyx0lim1.求函数 和 在任意点x处的导数，并求 2.一物体作直线运动，其运动方程为 (单位：时间s；长度 m).计算：(1)物体从2 s到(2+)的平均速度；(2)物体在2s 时的瞬时速度3xy xy12|xdxdyttS342t1景点一：分析变化识导数活动操练1.导数是用来分析变化的工具；2.瞬间斜率就是曲线上各点的斜率；3.求某一点斜率和对函数求导离不开极限的概念。1景点一：分析变化识导数攻略驿站2景点二：简化出秘籍，变形助通关2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:1.2.3
9、.4.5.6.7.8.0)(C1)(xxaaaxxln)(xxee)(axxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cos2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.1利用定义求导,可归纳出基本初等函数的求导公式:9.10.11.12.13.14.15.16.xx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算怎么样，够刺激吧，一下子就这么多公式，是不
10、是崩溃了！其实，这些公式都是通过导数的定义推导整理后得出的，为的就是简化计算过程，实际上是对我们有利的啊。可以分类分组来记忆，如“常函数-幂函数-指数函数-对数函数-三角函数-反三角函数”，这样记忆更为扎实，不易混乱，这里以比较常用的第二个公式为例，通过漫画图示加深一下印象吧！2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求函数 的导数xxy2例1解：由于 ，根据公式 ,得 .252xxxy1/)(xxxxxxy2525)(23/25/2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式
11、和四则运算求 在 处的导数.,cos xy 6x例22景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算解：xxysin)(cos/21sin66/xxxy2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2.利用定义求导数,可推导出导数的四则运算法则设 均可导,则（1）；（2）（C 为常数）；（3）)(),(xvvxuuvuvu)(uCCuvuvuuv)(,)()0(2vvvuvuvu2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算 一提到四则运算，我们就会想到实数运算的“加减乘除”，这里的导数运算也是类似的加减乘除，只不过要注意结论中的变化。变化率的引入2景点二：简化出秘籍，变
12、形助通关 2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算求下列函数的导数1 23 425ln3xxyxxey xy2sin1cosxxy例3(1).(2).(3).(4)./2/2/2/)(5)(ln3)5()ln3()5ln3(xxxxxxyxx103xxxxxxexxeeexexxey)1()()()(/)(cossincos)(sin2)cossin2()2(sin/xxxxxxxyxxx2cos2)sin(cos2222/)1()1(cos)1()(cos)1cos(xxxxxxxy2)1(cossin)1(xxxx2景点二：简化出秘籍，变形助通关基本求导公式和四则运算2景点二
13、：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类1.复合函数求导法则设 ,均可导,则复合函数 的导数为 或 )(),(xuufy而,f)(xfydxdududydxdy)()(xufy2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求下例函数的导数 1.2.3.（且 ）)1(log2xxya0a1a例432)1(xy)3sin(2xy 2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类(1)设 ，则 .因为 ，所以 .(2)设 ，则 ，而 所以 .(3)设 ，则 ，而 ，.所以 .12xxuuyalogauyuln1/12/xuxaxxxxauuyyxuxln)1(12)
14、12(ln12/12 xu3uy xuuyxu2,3/2/222/)1(632xxuxuyyxux23xu uysinxuuyxu6,cos/2/3cos6cos6xxuxuyyxux2.函数的高阶导数 如果函数 y=f(x)的导数 仍然是 x 的可导函数，那么称导数 的导数为函数 y=f(x)的二阶导数，记为或 或 类似可定义更高阶的导数。)(xfy)(xf y)(xf 22dxyd2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数 的二阶导数。xxyln例52景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类1ln)ln(xxxyxxyy1)1(ln)(
15、3.隐函数、对数、参数方程求导法-隐函数求导法 由方程F（x,y）=0直接求它的确定的隐函数之导数的方法叫隐函数求导法，对方程两边关于x求导即可，注意y是x的复合函数。2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求隐函数 的导数0433xyyx例62景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类方程两端对 x 求导，得 解得 0)44(3322yxyyyxxyxyy4334223.隐函数、对数、参数方程求导法-对数求导法它适合于含乘、除、乘方、开方的因子所构成的比较复杂的函数。步骤：（1）两边取对数；（2）两边对 x 求导；2景点二：简化出秘籍，变形助通
16、关间接求解分类2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求函数 的导数分析：本例题的底数与指数均含有自变量，不能用幂函数或指数函数的求导公式，可先两边取对数后再求导。例7xxy 2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类先两边取对数，得方程两边对 x 求导，得于是 xxylnln1ln1xyy)1(ln)1(lnxxxyyx3.隐函数、对数、参数方程求导法-参数方程求导法参数方程 确定 y与 x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数.其求导法则是：)()(tytx)()(/ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类2
17、景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类求参数方程 确定的函数的导数例8)cos1()sin(tayttax2景点二：简化出秘籍，变形助通关间接求解分类tttatatxtyycos1sin)cos1(sin)()(2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练1.利用导数的四则运算法则求导1.2.3.4.5.6.1132xxyxxysin22xxyln2xeyxsin2cos32xeyxxyxln2 2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练 2.复合函数求导 1.2.3.4.5.6.7.8.9.xy3sin42)143(xxyxey2xxy y=)3ln(3x y=32)12(1x24xxeeyx
18、eyx3sin22景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练3.求二阶导数1.2.3.xxyln3xyarctanxey 4.求隐函数、对数函数、参数方程式函数的导数1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.1622 yx35638yxyx)1)(25(23xxxytytxsinyxysin1xyexyxxysinxxy1)1(ttytx321sincosbyax2景点二：简化出秘籍，变形助通关活动操练1.就是导数的定义，任何函数求导公式都能追溯到此公式上；2.对于基本求导公式建议按照学习基本初等函数的顺序去记忆，更加牢固；3.公式是为了简化运算的，所以，基本求导公式、四则运算、复合函数以及相应变
19、形函数的求导计算是逐层递进的，注意了解层次关系，严格按照公式展开计算。xxfxxfxfx000/lim)(2景点二：简化出秘籍，变形助通关攻略驿站3景点三：拨开云雾见导数3景点三：拨开云雾见导数贯通基石1.洛必达法则求极限把两个无穷小之比或者两个无穷大之比的极限称为“”型或者“”型不定式（或未定型）的极限，洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限的方法。003景点三：拨开云雾见导数贯通基石1.洛必达法则求极限洛必达法则 若（1）；（2）f(x)与g(x)在 的某个邻域（点 除外）可导，且 0；（3）（A为有限数，也可为 ）则 0)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx0 x0 x)(xg
20、Axgxfxx)()(lim0或Axgxfxgxfxxxx)()(lim)()(lim003景点三：拨开云雾见导数贯通基石3景点三：拨开云雾见导数贯通基石 求 例120cos1limxxx3景点三：拨开云雾见导数贯通基石 解：21sinlim212sinlimcos1lim0020 xxxxxxxxx3景点三：拨开云雾见导数贯通基石 求 例23lnlimxxx3景点三：拨开云雾见导数贯通基石 解：031lim31limlnlim323xxxxxxxx3景点三：拨开云雾见导数贯通基石对于洛必达法则的几点解释：上述定理对 时的未定型“”同样有用，对 或 时的未定型“”也有相应的法则。2.只要满足条
21、件，可以多次使用洛必达法则，直到能求出极限。3.对0*，型未定式，可通过取倒数、通分等恒等变形化为0/型或/型；对，等幂指型未定式，可取对数化为0*型，然后化为0/0型或/型。000 xx x3.2大致描绘函数的图形 这时导数先生就要粉墨登场了！大家有没有发现，抛物线顶点处切线水平，即导数为0，可见导数为0的点应该比较特殊。假设我们在爬山，导数在x处为0，表明山坡高度在x处既不增加也不减小，犹如停留在一个平台上，而这个平台可能是个小山峰，可能是个小山谷，还有可能是一个服务区供你休息，见下图。当你爬山时，在这些点处，想必都会驻足停留，或欣赏美景或整装待发，总之我们称他们为“驻点”，即导数等于0的
22、点是驻点。3景点三：拨开云雾见导数贯通基石3景点三：拨开云雾见导数贯通基石怎么样，明白了吗？让我们通过下面的漫画图示再加深一下印象吧！这里说“大致描绘”而不用“精确描绘”，因为在实际应用中往往知晓函数的大致图像即可，怎么来“大致描绘”呢？一般来讲，描绘步骤如下：(1)确定函数的定义域，讨论其对称性及周期性；(2)确定函数的单调性和极值；(3)确定函数的凹凸性和拐点；(4)确定函数与坐标轴的交点；(5)作图描绘。其中，单调性指的是增减性，有下述结论3景点三：拨开云雾见导数贯通基石定理(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(1)如果在(a，b)内f(x)0，那么
23、函数y=f(x)在a，b上单调增加(2)如果在(a，b)内f(x)0时 ，曲线是凹的，当x0时 ，曲线是凸的，因此曲线的拐点为(0,0).()6fxx0)(xf0)(xf3景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：判断函数 的凹凸性和拐点。1)(23xxxxf3景点三：拨开云雾见导数贯通基石解：函数的定义域为 ,令 得：，列表格分析：26)(123)(2 xxfxxxf，(,)0)(xf31xx)31(，31)31(，)(xf ()f x拐点+0-3景点三：拨开云雾见导数贯通基石例：大致描绘函数 的图像。综上分析，函数f(x)=2x-9x+12x-3的主要性质见下表61232)(23xxxxf323景
24、点三：拨开云雾见导数贯通基石解：0 x3(,)3 333(,0)33(0,)3333(,)3()fx()fx()f x极大拐点极小0000+-+-+3景点三：拨开云雾见导数贯通基石因此，函数的大致图像如下：Oxy3 2 3(,)39-32 3(,)39-(1,0)-(1,0)3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数3.3求曲线的曲率1.曲率的基本定义直觉与经验告诉我们：直线没有弯曲，圆周上每一处的弯曲程度是相同的，半径较小的圆弯曲得较半径较大的圆要厉害些，抛物线在顶点附近弯曲得比其他位置厉害些。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花何为弯曲得厉害些?即
25、：用怎样的数学量来刻划曲线弯曲的程度呢?让我们先弄清曲线的弯曲与哪些因素有关。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花下面，我们给出刻划曲线弯曲程度的数学量 曲率的定义。设曲线 具有连续转动的切线，在 上选定一点 作为度量弧的基点。CC0M设曲线 C 上的点 M 对应于弧 S，切线的倾角为 ，曲线上的另一点 对应于弧 ，切线的倾角为 。那么，弧段 的长度为 ，当切点 从 M 移到点 时，切线转过的角度为 。MssMMsM3景点三：拨开云雾见导数雾里看花比值 表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧 的平均弯曲程度。称它为弧段 的平均曲率。记作 。sMMMMksk3景点三：拨开
26、云雾见导数雾里看花当 时(即：)，上述平均曲率的极限就称着曲线在点 M 处的曲率，记作 K。(1)当 存在时，有 。0sMM ksslim0limssdds0kdds3景点三：拨开云雾见导数雾里看花由上述定义知，曲率是一个局部概念，谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。曲率计算公式 (2)kddxyy()12323景点三：拨开云雾见导数雾里看花假设曲线方程是参数方程 ，则 (3)xtyt()()ktttttt()()()()()()22323景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花求立方抛物线 上任一点的曲率。yx3例：3景点三：拨开云雾见导数雾里
27、看花解：上面两个图形分别是立方抛物线与它的曲率函数的图象。曲率圆与曲率半径3景点三：拨开云雾见导数雾里看花曲率圆与曲率半径依据上述定义可以推得：1、曲率与曲率半径的关系为：2、曲线与它的曲率圆在同一点处有相同的切线，曲率，凹向。因此，可用圆率圆在点处的一段圆弧来近似地替代曲线弧。1k3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3.4 求最大值或最小值在工农业生产、工程技术及科学实验中经常会遇到这样一些实际问题：在一定条件下，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等问题，这类问题常常可归结为求某函数的最大值或最小值问题，可以利用导数来求解。3景点三：
28、拨开云雾见导数雾里看花 我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这在理论上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大（小）值在开区间 内取得，那么最大（小）值也一定是函数的极大（小）值，由上节的分析知道，使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出，并加以比较，便可求得函数的最值。3景点三：拨开云雾见导数雾里看花求连续函数f(x)在闭区间a,b上最大（小）值的一般步骤是：1）求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1,x2,。xn,;2）计算
29、出函数值f(x1),f(x2),f(xn);以及f(a)与f(b);3）比较上述值的大小.3景点三：拨开云雾见导数雾里看花3景点三：拨开云雾见导数雾里看花 求函数 在-3,4上的最值。xxxxf1232)(23例：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花因为f(x)在-3,4 上连续，所以在该区间上存在最大和最小值。又因为 ，令 ，得驻点 ，由于 比较各值，可得f(x)最大值为2，最小值为-100)(xf解：)3)(1(515205)(2234xxxxxxxf)(310321舍，xxx7)2(2)1(1)0(10)1(ffff，3景点三：拨开云雾见导数雾里看花有一块宽为2a的长方形铁皮，将宽的两个边缘
30、向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，高为 x，问高 x 取何值时水槽的流量最大。例：3景点三：拨开云雾见导数雾里看花设两边各折起，则横截面积为S(x)=2x(a-x)(0 xa)，由于 ，所以，令 ，得驻点为 由实际意义，其最大值在 时取得，所以当 时，流量最大。xaxs42)(0)(xs2ax 2ax 2ax 解：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化3景点三：拨开云雾见导数内涵转化生活中有很多求最大或最小值的问题，看来导数确实用处不小，还是值得好好学习的。不过说它是微分的基础，又体现在哪里呢？什么是微分？3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分是微分学的一个重要概念,它与导数既密切相关又有本
31、质区别.导数反映函数在某点变化的快慢程度,而微分则描述函数的增量的近似程度.微分在许多实际问题中,要求研究函数因自变量的 微小改变而引起的函数值的改变.例如 引例 设有一正方形铁片,当受热膨胀时,其边长由 变到 ,求其面积改变量的近似值.0 xxx03景点三：拨开云雾见导数内涵转化设正方形的边长为 x ,面积为 A ,则 ,当边长由 变到 时,面积 A 对应的增量为 .上式右边第一项 是 的线性函数,第二项 是当 时比 高阶的无穷小量 .因此当 很小时,面积的改变量 可近似地用第一项代替,即 .2xA 0 xxx02020)(xxxA20)(2xxxxx 02x2)(x0 xx)0)(xxox
32、AxxA023景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的定义若函数 y=f(x)在点 x 处的改变量 ，可表示为 。其中 A 为常数，则函数 y=f(x)在点 处可微，称为函数在点 的微分，记为 且有 ，则 xfxxfyxoxAy0 xxA0 xxAdy)(/xfA xxfdy)(/3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的定义 是 的线性函数，称增量 的线性主部；=是 的高阶无穷小。从定义注意两点：1）微分是函数增量的主部；2）微分的值与 x 及 都有关；xAxydyxAxo xx3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的几何意义设函数 y=f(x)在点 可微.如图,MT 是曲线 y=f(x)上点 处的切
33、线,它的倾角为 ,当横坐标 x 有增量 时,相应地曲线的纵坐标 Y 有增量 ,对应曲线上的点0 x),(00yxMxy),(00yyxxN3景点三：拨开云雾见导数内涵转化微分的几何意义如图所示 ,则 ,即 .xMQyQNxxfMQQP)(tan0QPdy 3景点三：拨开云雾见导数内涵转化几何定义因此函数的微分 dy 是曲线 y=f(x)在点 M 处切线的纵坐标的相应增量.而 是曲线在点 M 处纵坐标的相应增量.y3景点三：拨开云雾见导数内涵转化几何定义若用 dy 近似代替 ,产生的误差:是 的高阶无穷小,也就是说在 M 点附近可用切线段近似代替曲线段,即“以直代曲”.ydyyPNx3景点三：拨
34、开云雾见导数内涵转化3景点三：拨开云雾见导数内涵转化求函数 在x=1，时的改变量及微分.1.0 x例：3yx=3景点三：拨开云雾见导数内涵转化 在点 x=1处，所以 注：可见，函数值的改变量0.331与微分0.3十分接近，因此很多时候可以用微分近似代替函数改变量。解：3333()1.110.331yxxxD=+D-=-=21133xxyx=3 0.10.3dyyx=D=近似公式：当函数 y=f(x)在 处的导数 ，且 很小时，有近似公式 或 上式中令 ，则 0 x0)(0 xfxxxfxfxxfy)()()(000 xxfxfxxf)(000 xxx0)()()(000 xxxfxfxf3景点
35、三：拨开云雾见导数内涵转化注：在 很小，即 很小时，左边非线性函数能用右边近似代替。x0 xx 3景点三：拨开云雾见导数内涵转化3景点三：拨开云雾见导数内涵转化计算 的近似值.100002.1例：3景点三：拨开云雾见导数内涵转化解：设f(x)=,f(x)x ,f(1)由 f(1.002)f(10.002)f(1)f(1)0.002 1 0.0021.0000210011001100991001100002.110011.利用洛必达法则求极限 (1)(2)(3)(4)xxx2sin5sinlim0123lim2331xxxxxxxxxx4sin3lim20 xxex22lim3景点三：拨开云雾见
36、导数活动操练2.求出下列函数的单调区间(1)(2)10063)(2xxxf1243)(23xxxxf3景点三：拨开云雾见导数活动操练3.求函数的极值 (1)(2)(3)(4)1006)(2xxxf11292)(23xxxxf242)(xxxf)12ln(2)(xxxf3景点三：拨开云雾见导数活动操练4.求函数的最值 (1),-3,3 (2),-2,3 5.求曲线的凹凸区间和拐点 (1)(4)31()443f xxx23(1)1yx5623xxxy109234xxxy3景点三：拨开云雾见导数活动操练6.求曲线的曲率(1),点A(1，1)(2),t=/3 7.画出函数的大致形状曲线。(1)(4)1
37、yx)cos1()sin(tayttax1243)(23xxxxf242)(xxxf3景点三：拨开云雾见导数活动操练8.计算 的近似值.9.某球体的体积从972 增加到973 ，试求其半径改变量的近似值.10.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大?3653cm3cm3景点三：拨开云雾见导数活动操练11.铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB.为了运输需要，要在AB上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的费用与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？3景点三：拨开云雾见导数活动操练掌握导数应用问题的秘籍1.助力数学问题解决l 洛必达法则l 单调性、极值、凹凸性3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站掌握导数应用问题的秘籍2.挖掘现实生活案例l 生活中的曲线弧l 经济中的最值问题l 实际问题细微化（微分）3景点三：拨开云雾见导数攻略驿站
