1、第三章第三章生命表基础生命表基础 背景背景 通常，我们把寿险公司出售的合同称为通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单寿险保单。按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。险金。这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支付。其最重要特征就是它发生的件支付。其最重要特征就是它发生的不确定性不确定性。一个。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊情况下才人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊情况下才是预先
2、可知的。对这个不确定性事件的研究是寿险精是预先可知的。对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之一。算中最重要的工作之一。生存状况生存状况 从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特征：这个过程有如下的特征：1.存在两种状态：生存和死亡。存在两种状态：生存和死亡。2.生命个体可从生命个体可从“生存生存”状态到状态到“死亡死亡”状态，但不能状态，但不能相反。相反。3.任何个体的未来生存时间都是未知的任何个体的未来生存时间都是未知的.我们应从我们应从生存或死亡概率生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究。的探讨而着手生存状况的研究。生
3、存模型生存模型就是用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡就是用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。率的问题作出一些解释。下面就是生存模型可回答的例子：下面就是生存模型可回答的例子：一个一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少岁的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有假若有1000个个45岁的人，那么他们中有多少人可能岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死亡在下一年内死亡?如果某一如果某一45岁的男性公民，投保了一个岁的男性公民，投保了一个10年的定期的年的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少保费某种人寿保险，那么应该向他收多少保费?一些特定因素一些特定因素(如一天吸如一天
4、吸50根烟根烟)对于对于45岁的男性公民岁的男性公民的未来生存时间的影响是怎样的的未来生存时间的影响是怎样的?生存模型生存模型生命函数生命函数生命表生命表3.1.1 分布函数分布函数用随机变量用随机变量 表示初生婴儿的未来寿命。表示初生婴儿的未来寿命。分布函数分布函数意义：新生儿在意义：新生儿在 岁之前死亡的概率。岁之前死亡的概率。密度函数密度函数新生儿的平均寿命新生儿的平均寿命例：例：表示新生儿表示新生儿50岁仍然生存的概率岁仍然生存的概率 或或50岁以后死亡的概率。岁以后死亡的概率。X0)Pr()(xxXxFx0)()(xxFxf)50(1)50Pr(FX0)(dxxxfEX3.1.2 生
5、存函数生存函数生存函数生存函数 意义：新生儿能活过意义：新生儿能活过 岁的概率。岁的概率。与分布函数的关系：与分布函数的关系：与密度函数的关系：与密度函数的关系：例例 x()Pr()0S xXxx)(1)(xFxS)()(xSxf1)0(S)50()50Pr(SX前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄 开开始考虑的，但实际购买保险的被保险人往往已经活到始考虑的，但实际购买保险的被保险人往往已经活到某个年龄某个年龄 岁的人，这时我们关心的是岁的人，这时我们关心的是 岁的人剩岁的人剩余寿命余寿命 的分布。的分布。表示一个表示一个 岁的人或已经活到岁的人或已经活
6、到 岁的人岁的人.表示表示 未来寿命的随机变量未来寿命的随机变量,即即剩余剩余寿命寿命,简称余命简称余命.关于关于T的分布的分布,就是就是 时时,X 的条件分布的条件分布.（X:出生婴儿的未来寿命出生婴儿的未来寿命.）x0 xxxX)(xxxXxT)()(xxX x练习：设)80(1)800(80)(xxxxF)(xs求：1）2）新生儿在30岁前死亡的概率；3）新生儿活过50岁的概率；4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。解：)80(0)800(801)(xxxxs375.08030)30()30Pr(FX375.080501)50()50Pr(sx25.0)30()50()5030Pr(
7、FFX1）2）3）4）3.1.3 剩余寿命剩余寿命剩余寿命剩余寿命 的的分布函数分布函数，记作，记作TtxqxXtxXtxTqxtPr)(PrxXtxXxPrPr )()()(1xStxSxSxFxFtxF概率密度概率密度函数为函数为T)()()(xStxStfT表示表示 岁的岁的人在人在 岁之前死亡岁之前死亡的概率的概率.xtx关于关于t求导求导剩余寿命剩余寿命 的的生存函数生存函数,记作记作 ：表示表示 岁的人在岁的人在 岁时仍活着的概率岁时仍活着的概率.txpPr()Pr()()()txpT xtXxt Xts xts xtxpxtxTxtxtqp1；时，当XTx)0(0。)(),(00
8、tFqtSptt基本符号基本符号 ：x岁的人至少能活到岁的人至少能活到x+1岁的概率岁的概率 ：x岁的人将在岁的人将在1年内去世的概率年内去世的概率 ：x岁的人活过岁的人活过t年后的年后的u年内死亡的概率年内死亡的概率.即即x岁的人将在岁的人将在x+t岁至岁至x+t+u岁之间去世的概率岁之间去世的概率 utxTt)(Prxpxqxt uq1xxpp1xxqqtxTutxT)(Pr)(Prxtxutqq)()()(xSutxStxSxutxtppxt uq)()()()()(|txSutxStxSxStxSqxut另外，txuxtqpxtxutqq 基本符号基本符号xutxtpp岁之间死亡的概率
9、岁和）在表示（简记为时，当11|txtxxquxt3.1.4 取整余命取整余命定义：定义：未来存活的完整年数，简记未来存活的完整年数，简记例例:对某个对某个5050岁的人开始观察岁的人开始观察,在在5555岁零岁零6 6个月时死亡个月时死亡,则其余命则其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函数概率函数的最大整数不超过)()()(xTxTxK()x()K x(),()1,0,1,K XkkT xkk11Pr()Pr()1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqpppqq是个离散型随机变量。,2,1,0)()1()(kxSkxSkxS练习：用精算符号表示下列概率1）Pr(50)
10、在 51岁之前死亡2）Pr(22)活至23岁3）Pr(22)活至24岁4）Pr(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死亡5）Pr(20)活至80岁6）Pr(50)在 55岁和70岁之间死亡7）Pr(50)在 52岁之前死亡答案：用精算符号表示下列概率1）Pr(50)在 51岁之前死亡2）Pr(22)活至23岁3）Pr(22)活至24岁4）Pr(35)在 55岁之前死亡或在70岁以后死亡5）Pr(20)活至80岁6）Pr(50)在 55岁和70岁之间死亡7）Pr(50)在 52岁之前死亡3520q2060p502q50155q50q3535p222p22p练习：已知)1000(10100)(x
11、xxs1917p3615q361315q8889.0)19()36(1917ssp125.0)36()51()36(3615sssq125.036283615361315ppq解：1）2）3）求：3.1.5 死亡效力死亡效力定义：定义：的瞬时死亡率，简记的瞬时死亡率，简记用生存函数的相对变化率来表示用生存函数的相对变化率来表示.用死力表示生存函数用死力表示生存函数xydyxS0exp)()xx联想联想利息利息力力dxxSdxSxSs)(ln)()(用死力表示其他函数用死力表示其他函数 用死力表示余命用死力表示余命 的密度函数的密度函数)(tfTtxxdyyxtexStxSp)()(tdssxe
12、0)(xT)()()(xStxStfT)()()()(txStxSxStxStxxtp3.1.6 生存函数的解析表达式生存函数的解析表达式有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型模型(1729)提出随机变量提出随机变量X服从均匀分布服从均匀分布(De Moivre假设假设)假设人的极限年龄为假设人的极限年龄为100岁岁,其他0),01)(wxxf)(1)(xFxSxdyyf)(xx110001001)(xxxS则xq)1()()1()(xSxSxSx1001De Moivre模型模型xkq|)2()()1()(xSkxSkxSx1001EX)3(0)(dxxxf0)
13、(dxxSx20dxx显然显然,假设和实际有很多不符的情况假设和实际有很多不符的情况.有关寿命分布的参数模型De Moivre模型模型(1729)Gompertz模型模型(1825)1()1 ,0 xxxs xx()exp(1),B0,c1,0 xxxBcs xB cx有关寿命分布的参数模型 Makeham模型模型(1860)Weibull模型模型(1939)()exp(1),B0,A-B,c1,0 xxxA Bcs xAxB cx1()exp ,0,0,0nxnkxs xkxknx参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用
14、模型的拟合效果未令人满意。四个常用模型的拟合效果未令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差的误差.还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具,即生命表即生命表.用随机变量用随机变量 表示初生婴儿的未来寿命。表示初生婴儿的未来寿命。分布函数分布函数生存函数生存函数剩余寿命剩余寿命 分布函数分布函数,记作记作生存函数生存函数,记作记作取整余命取整余命X0)Pr()(xxXxF0)Pr()(xxXxS总结：xXxT)(txqtxp的最大整数不超过)()()(xTxTxK其概率函数其概率函数死
15、亡效力死亡效力11Pr()Pr()1)kxkxkxkxkxx kxkK XkkT xkqqppp qq xydyxS0exp)(练习：已知xxs 1)(xtxxstxspxt)()(xtpqxtxt1xtpxtq求：求：解：解：练习：已知，死亡服从Markeham死亡律：006.0004.0003.04030201010:p求006.0004.0003.0404030302020BCABCABCA1.0200025.0002.0CBA解：得：。xx1.0200025.0002.0 xydyexs0)()12(0036067.0002.01.0 xxe97315.0)10()20(1010ssp451,2.P作业：
