1、 离散时间LTI系统的数学模型为00jkxbikyajmjini2.经典时域分析方法3.卷积法 系统响应求解方法:1.迭代法 已知 n 个 y1,y2,y2,yn 和，由差分方程迭代出系统的输出。01jkxbikyakyjmjini00jkxbikyajmjini1.迭代法迭代法 一阶线性常系数差分方程yk0.5yk1=uk,y1=1，用迭代法求解差分方程。将差分方程写成 15.0kykuky代入初始状态，可求得5.115.01 15.000yuy75.15.15.0105.0 1 1 yuy875.175.15.01 1 5.022yuy依此类推缺点：很难得到闭合形式的解。差分方程的全解即系
2、统的完全响应,由齐次解yhk和特解ypk组成:phkykyky齐次解yhk的形式由齐次方程的特征根确定特解ypk的形式由方程右边激励信号的形式确定2.经典时域分析方法经典时域分析方法例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2=x k 初始条件y0=0，y1=1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。特征根为齐次解yhk解解：(1)求齐次方程yk5yk1+6yk2=0的齐次解yhk特征方程为0652 rr3,221rrkkCCky3221h解解：(2)求非齐次方程yk5yk1+6yk2=xk的特解ypk由输入xk的形式，设方程的特解为将特解带入原差分方程即可
3、求得常数A=2。0,2pkAkkyk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2=xk 初始条件y0=0，y1=1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。解解：(3)求方程的全解，即系统的完全响应yk解得 C1=1，C2=10,232121phkkCCkykykykkk0021CCy1232 1 21CCy0,2321kkkykkk例已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程 yk5yk1+6yk2=xk 初始条件y0=0，y1=1，输入信号 xk=2k uk，求系统的完全响应yk。1)若初始条件不变，输入信号 xk=sin0 k uk，则系统的完全响应yk
4、=？2)若输入信号不变，初始条件y0=1,y1=1,则系统的完全响应yk=？若差分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响 应的物理概念。3.卷积法卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用信号分解和线性非时变特性可求出零状态响应zszikykyky*zikhkxky定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。00ikyaini 数学模型:求解方法：根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定待
5、定系数。(1)特征根是不等实根 r1,r2,rn(2)特征根是等实根 r1=r2=rn(3)特征根是成对共轭复根knnkkrCrCrCky2211knnkkrkCkrCrCky1210j2,1ejbarkCkCkykk0201sincos例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk+3yk1+2yk2=xk 系统的初始状态为y1=0，y2=1/2，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2=20232 rr2,121rrkkCCky)2()1(21zi21412021 12121CCyCCy0)2(2)1(zikkykk例 已知某线性时不变系统的动态方
6、程式为:yk+4yk1+4yk2=xk 系统的初始状态为y1=0，y2=1/2，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）解得 C1=4,C2=40442 rr221 rrkkCkCky)2()2(21zi022 121CCy142221CCy0,)2(4)2(4zikkkykk例 已知某线性时不变系统的动态方程式为:yk0.5yk1+yk2 0.5yk3=xk 系统的初始状态为y1=2，y2=1，y3=8，求系统的零输入响应yzik。解解：系统的特征方程为系统的特征根为解得 C1=1，C2=0，C5=505.05.023rrrkrr2j3,21ej,5.0
7、kCkCCkyk2cos2sin)21(321zi22 121CCy14231CCy88321CCy0,2cos5)21(zikkkyk求解系统的零状态响应yzsk方法：1)直接求解初始状态为零的差分方程。2)卷积法：利用信号分解和线性非时变系统的特性求解。定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励xk产生的响应称为系统的零状态响应，用yzsk表示。卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs k的思路的思路1)将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2)求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应3)利用线性非时变系统的特性，即可求出任意序列xk激励下系统的零状态响应yzsk
8、。卷积法求解卷积法求解系统零状态响应系统零状态响应yzs k推导推导由非时变特性由均匀特性由叠加特性khk nkhnknkhnxnknxnkhnxnknxTnn*zskhkxnkhnxkyn 例例 若描述某离散系统的差分方程为:22 13kxkykyky已知 ,)21(3kukxk)2(2)1(kukhkk求系统的。解：解：zsnkhnxkynnnknknnkunu)2(2)1()21(3000,)41()2(6)21()1(300kkknnknknk)21(51)2(524)1(2kukkk 单位脉冲序列 k作用于离散时间LTI系统所产生的零状态响应称为单位脉冲响应,用符号hk表示。00jk
9、bikhajmjini对 N 阶LTI离散时间系统，hk满足方程 将 kj对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。等效初始条件由差分方程和h1=h2=hn=0 递推求出。例例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kxkykyky解：解：hk满足方程22 13kkhkhkh对于因果系统有h1=h2=0，代入上面方程可推出122 1300hhh3 1203 1 1 hhh 注意：选择初始条件的基本原则是必须将k的作用体现在初始条件中二阶系统需要两个初始条件，可以选择h0和h1解解：hk满足方程22 13kkhkhkh特征方程为特征根为齐次解的表达式为0232 rr2,121rr0,)2()1(21kCCkhkk代入初始条件，有32 1 102121CChCCh解得 C1=1，C2=2)2(2)1(kukhkk例1 描述某离散因果LTI系统的差分方程为 求系统的单位脉冲响应hk。22 13kxkykyky
