1、3.3.2函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0,x(x-1)0,得得x0 x1x1，则则f(x)单增区间（单增区间（，0 0）,（1 1，+）令令x(x-1)0,x(x-1)0,得得0 x1,0 x1,f(x)单减区单减区(0,1).(0,1).注意注意:求单调区间求单调区间:1:首先注意首先注意 定义域定义域,2:其次区间其次区间不能不能用用(U)连接连接（第一步）（第一步）解：解：（第二步）（第二步）（第三步）（第三步）单调区间27x21-x31f(x)23 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧
2、 f (x)0 f (x)0极值极值x2 xXx2 2 f(x)f(x)xXx1 1 f(x)f(x)增增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值极大值减减f(x)0注意注意:(1)f(x0)=0，x0不一定是极值点不一定是极值点(2)只有只有f(x0)=0且且x0两侧单调性不同不同，x0才是极值点才是极值点.(3)求求极值点，极值点，可以先求可以先求f(x0)=0的点，的点，再再列表判断单调列表判断单调性性结论：结论：极值点处，极值点处，f(x)=0求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方
3、程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格若干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况小结小结因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令令 解得解得 或或,0)(xf,2x.2x当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .0)(xf0)(xf2x2x22x当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2
4、,+)00f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.变式变式求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,112)()1(xxf令令 解得解得 列表列表:,0)(xf.121xx0f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减)121,(),121(1212449所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值121x.2449)121(f)(xf
5、求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0273)()2(2xxf令解得解得 列表列表:.3,321xxx(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.)(xf求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0312)()3(
6、2xxf令解得解得 .2,221xx所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.,033)()4(2xxf令解得解得 .1,121xx所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一
7、定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数 而x10，x1.再代入f(x1)或f(x2)，得a2.a2，b0.注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考思考1.判断下面判断下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。f (x0)=0,则则f(x0)必为
8、必为极值；极值；f(x)=在在x=0 处取处取极大值极大值0，函数的极小值函数的极小值一定小于一定小于极大值极大值函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极值即为最值函数的极值即为最值3x1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值有极大值和极小值,求求a范围范围?思考思考2解析:f(x)有极大值和极小值极大值和极小值 f(x)=0有2实根,0已知函数已知函数解得 a6或a3练习练习1：求求 在在 时极值。时极值。44xx31y3),0(x练习练习2:若若f(x)=ax3+bx2-x在在x=1与与 x=-1 处有极值处有极值.(1)求求a、b的值的值
9、(2)求求f(x)的极值的极值.练习练习3：已知函数已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间在区间1,5内内的最小值为的最小值为2，求，求m的值的值 练习练习4：设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定实恰有三个单调区间，试确定实数数a的取值范围，并求出这三个单调区间的取值范围，并求出这三个单调区间.小结：小结：1个定义:极值定义2个关键：可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0。极值点左右两边的导数必须异号。3 3个步骤：个步骤：确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格 用方程用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个的根，顺次将函数的定义域分成若干个开开 区间，并列成表格由区间，并列成表格由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的的根左右的符号，来判断符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况
