1、13 序列的极限序列的极限一、一、序列极限的定义序列极限的定义序列的极限用定义证明极限举例序列定义、序列举例、序列的几何意义极限的定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛序列的有界性收敛序列与其子序列间的关系二、夹逼定理二、夹逼定理三、收敛序列的性质三、收敛序列的性质极限的保序性四、极限的四则运算四、极限的四则运算五、一个重要的极限五、一个重要的极限1.序列的概念序列的概念 如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：1r四边形2r八边形3r十六边形 一个实际问题2sin221rA 4sin422rA 8sin823rA nnrAn2sin22序列：如果按照某一法则，使得对任
2、何一个正整数n 有一个确定的数xn，则得到一列有次序的数 x1，x2，x3，xn，这一列有次序的数就叫做序列，记为xn，其中第n 项xn 叫做数列的通项序列举例：21，32，43，1nn，；序列举例：2，4，8，2n，通项为2n通项为 1 2n 1，-1，1，(-1)n1，；通项为(-1)n+1通项为21，41，81，n21，；1552(1),123nnn-通项为2(1)nnn-02021(1),1234nn-1(1)nn-序列的几何意义：序列xn可以看作自变量为正整数 n 的函数：xn=f(n)，它的定义域是全体正整数x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx序列与函数：x1=f(1)x2=f
3、(2)x3=f(3)x4=f(4)x5=f(5)x6=f(6).xn=f(n)序列xn可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点 x1，x2，x3，xn，2.序列的极限序列的极限 例如如果序列没有极限，就说序列是发散的nlimxn a而序列2n，(-1)n1，是发散的,11nnnlim,021nnlimnnn 1(-1)-nlim序列的极限的通俗定义：对于序列xn，如果当n 无限增大时，序列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a ，则称常数a 是序列xn的极限，或称序列xn收敛a 记为 对无限接近的刻划：“当n无限增大时，xn无限接近于a”等价于：当n无限增大时，|xn-a|无限接近于0；
4、或者说，要|xn-a|有多小，只要n足够大，|xn-a|就能有多小 nnn 1)1(-比如，当n无限增大时，xn=无限接近于1，1001n1|xn-1|=无限接近于0，要使|xn-1|100；要使|xn-1|10000100001一般地，要使|xn-1|1极限的精确定义：定义 如果序列xn与常数a 有下列关系：对于任意给定的正数(不论它多么小)，总存在正整数N，使得对于n N 时的一切xn，不等式|xn-a|N时的一切xn，不等式|xn-a|N 时，所有的点xn都落在区间(a-,a+)内，而只有有限(至多只有N个)在区间(a ,a+)以外.xOaaa+()x 1x NxN+1xN+2xN+3x
5、N+5xN+4x 2对于任意给定的正数0，例 1 证明数列 2，21，34，nnn 1(-1)-，的极限是 1.1)1()1(1)1(|1|111nnnnnnnxnnnn-要使,1|1|-nxn,1n只需故取.1N注意，当 时，1Nn.1n有3.用定义证明极限举例用定义证明极限举例 分析：证明：因为对于任意给定的0，存在N=1/，使当nN时，有 所以,1|1|-nxn.1)1(lim1-nnnn 例 1 证明数列 2，21，34，nnn 1(-1)-，的极限是 13.用定义证明极限举例用定义证明极限举例0,1,NnN 则当时,1|1|-nxn也可写成:所以.1)1(lim1-nnnn对于任意给
6、定的 0，要使只需故取 分析：例 2 已知 xn21)(n)1(-n，证明数列xn的极限是 022)1(10)1()1(|0|-nnxnn,)1(1|0|2-nxn,11-n.11-N注意：当n-11N时，.11-n所以，证明：因为对任意给定的正数0，存在使当nN时，有 例 2 已知 xn21)(n)1(-n，证明数列xn的极限是 0,11-N,)1(10)1()1(|0|22-nnxnn.0)1()1(lim2-nnn10,1,NnN-则当时也可写成:所以,)1(10)1()1(|0|22-nnxnn.0)1()1(lim2-nnn 例 3 设|q|0，分析：11|0|0|-nnnqqx要使
7、,|0|1-nnqx,|lnln1qn只需故取.|lnln1qN注意，当 时，|lnln1qNn有.|lnln1qn11,1.nq-如果自然成立 故不妨设,(1)lnln,nq-两边取对数 得于是 例 3 设|q|N时，有|qn-1-0|=|q|n-10，存在,|lnln1qN也可写成:ln0,1,lnNnNq 令则当时|qn-1-0|=|q|n-11是给定的实数,求证lim1.nna分析:对110,1,1,nnaa-要证即1两边取对数,得11log(1),log(1).aann-即证 对0,令1log(1)1,aN-则当n N 时,即有11,na-lim1.nna于是证毕.小结:证明序列an
8、极限是l的一般步骤:求差;nal-对任给的0,;nnal-解关于 的不等式由不等式的解确定N,使得当nN时,;nal-成 立 最后完成证明.二、夹逼定理二、夹逼定理定理定理 0,nnnabcN设为三个序列 并且存在一个自然数,nnncab使得 0nN ,nncbl若与极限都存在并都等于.nal则的极限存在,且也等于证 12limlim,0,nnnnbclNN 因为故和使得1,nblnN-只要2,nclnN-只要1,nlblnN-只要2,nlclnN-只要即012max,NNN NnN取则当时，,nnnlcabl-也即,nalnN-只要此即lim.nnal证毕.51,1,2,?!nnaaann例
9、设常数记问此序列是否有极限解 1,na设则 ,nanaaaa-故 0!1 2naanaaaaaaaan-个,!aaaan 0!anaaaan也即显然 lim0,lim00,!annaaan由定理1,即得lim0.!nnan例 设k为大于1的正整数,证明1lim0.(1)(2)()knnnnnk-证明 1,().,(1)(2)()kknnanknnnnk-令分子分母度除以得()()()10,1 11 21nnannk n-(),2,11 2,knki n-这里 为固定的常数 当时故()()()1102(2),1 11 21knnanknnk nn-1lim20,knn而由夹逼定理即得1lim0.
10、(1)(2)()knnnnnk-例 1,a 设常数求证lim0.nnna1,0,hah-证明令则且2(1)(1)12nnn nahnhh-1(1)().(1)!knn nnkhhk-2(1),1,2nn nnah-因此 当时于是22220.(1)(1)nnnan nhnh-22lim0,(1)nnh-而由夹逼定理,即得lim0.nnna类似可证,对任意k 1,lim0.knnna三、收敛序列的性质三、收敛序列的性质定理1(极限的唯一性)序列xn不能收敛于两个不同的极限存在正整数N2 ，这是不可能的这矛盾证明了本定理的断言nlimnlim 证证 用反证法假设同时有 xn=a及 xn=b，aN1时
11、，有不等式|xn-a|，从而xnN2时，有不等式|xn-b|2ab-2ba2ba 取N=maxN1，N2，则当nN时，同时有xn ，序列的有界性的定义：对于序列xn，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式|xn|M，则称序列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，就说序列xn是无界的序列xn=2n(n=1，2，)是无界的 定理2(收敛序列的有界性)如果序列xn收敛，那么序列xn一定有界 例如，数列 xn=(n=1，2，)是有界的：1nn11nn 证明：设序列xn收敛，且收敛于a根据序列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于nN时的一切xn，不等式|xn-a|N时，|xn|=|(xn-a)+
12、a|xn-a|+|a|N,就有 .nnab证 120,NN 及使得1122,;,;nnalnNblnN-只要只要12max,NN NnN取则当时1122;.nnlallbl-1212,()2.nnabllll-要使只要即即可证毕.推论推论 设序列 有极限 l 0,则存在自然数N,使得当nN时,na2.0.nnala有特别地有,证 在上面的定理中,取2,1,2,.nbln 即可,lim0,20.nnnalNnNal 同样 当则有当时 有定理4 120,nnabllN设序列及各有极限 及并且存在使得 012.nnabnNll 只要,则 证 用反证法.若12,ll 则由上一定理,可推出:存在一个自然
13、数N,当n N时,nnab这和假定矛盾.故必有12.ll注:在定理结论中的等号不能去掉,既使是 严格大于na,nb仍然只能得出 的结论.这里等号是可能发生的.如limlimnnnnab2421,nnnnabnn,nnab显然但lim2lim.nnnnab此定理可简称为”极限的保序性”定理5(收敛序列与其子序列间的关系)如果序列xn收敛于a，那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a 子序列：在序列xn中任意抽取无限多项并保持这些项在原序列中的先后次序，这样得到的一个序列称为原序列xn的子序列 例如，序列 xn：1，-1，1，-1，(-1)n+1，的一子序列为x2n：-1，-1，-1，(-1)2n
14、+1，1nnxx一般说来，我们在中先挑出作为子序列的第一项，然12nnxx后再在后面再挑一项作为子序列的第二项，如此下去，:knnxx我们得到序列的一个子序列12,knnnxxxknx 证明：设序列 是序列xn的任一子序列knx定理5(收敛序列与其子序列间的关系)如果序列xn收敛于a,那么它的任一子序列 也收敛，且极限也是a 由于 ，故对于任意给定的正数，存在正整数N，当nN时，有|xn-a|K时，nk nK =nN N 于是 这就证明了 证毕-|axknaxknklimknx注：子序列的足标不是n,也不是nk,而是k.且不难看出1212;,.kkknkkknn且如果则,:0,0,.knKkK
15、xa-要证定理 即要证当有 2如果序列xn收敛，那么序列xn一定有界发散的数列是否一定无界?有界的序列是否收敛?3序列的子序列如果发散，原序列是否发散?序列的两个子序列收敛，但其极限不同，原序列的收敛性如何?发散的序列的子序列都发散吗？4如何判断序列 1，-1，1，-1，(-1)n+1，是发散的？1对某一正0，如果存在正整数N，使当nN时，有|xn-a|0 是否有?axnnlim讨论：323332101210limlim331nnnnnnnn-四、极限的四则运算四、极限的四则运算12lim,lim,nnnnalbl定理设则12lim()limlim,nnnnnnnabllab12lim()li
16、mlim,nnnnnnnabl lab()122limlim,lim0.limnnnnnnnnnaalblblb证明从略。例 求极限33210lim.3nnnn-解233210lim 11.3lim1nnnnn-例 求极限()lim.nnnn-nnnnnnn-解1.111n()1limlim.111nnnnnn-1111lim 111lim1nnnn1.2于是作业 习题1.3 4(1)(3)(5),5,6五、一个重要极限五、一个重要极限极限存在的一个准则:单调有界序列必有极限单调有界序列必有极限.11110.,.12nnxxnnnn例设证明序列有极限111112111nnxxnnnnnn-证1
17、1122211nnn-110,2122nn-11111111nnxnnnn又,lim.nnnxx即序列单调增加且有上界 由是存在单调增加有上界单调增加有上界(或单调减少有下界或单调减少有下界)的序列必有极限的序列必有极限.更确切地:注 本例中构成xn的每一项都趋于零,由于和式中的项数随着n增大而无限增多,因此 不能用极限的加法性质.注:本定理只说明极限存在,而不具体指出极限是什么.现在我们介绍一个重要的极限1lim 1.nnen定理证 先证序列 有界.事实上,由牛顿二项式定理,11nn11nn211(1)12!n nnnn-31(1)(2)1!3!nn nnnnnn-1111 12!3!n 1
18、111 11 22 3(1)n n -111111 112231nn -13n-3.21112111 1111,!nnkknknnn-再证此序列是递增的,为此,把 分别展开,111111nnnn与111111nnnn与121112111 11111!111nnkknknnn-111nn比较两个式子右端的对应项,显然前者较小,又110,1nn11111.1nnnn于是由单调有界定理,此序列有极限.证毕.记此极限为 e(Euler名字的第一个字母).即1lim 1.nnen.2.7182818.ee 其中 为无理数例11 求21lim 1.nnn2222111lim 1lim1lim 1.nnnnnnennn解112.lim 1.nnn-例求111nnnnn-因得11111lim 11 lim 11.11nnnnennn-作业 习题1.3 8(1)(2)7(1)(2)(4)(习题1.3,7(5)11nnn-111,1nn-解21lim 1.nnn-求补充题:
