1、 数学参考答案 第 1 页（共 6 页） 2020 年北京市高考适应性测试 数学参考答案 一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分） （ 1 ）B （ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ） A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10） D 二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分） （11）1 （12）2 （13）1 （14） 3 4 15 7 4 （15） 注：第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得分，其他 得 3 分。 三、解答题（共 6 题，共 85 分） （16） （共 14
2、分） 解： （）因为,M N分别为,AD PD的中点， 所以/PAMN 又因为PA平面MNC， 所以/PA平面MNC （）如图建立空间直角坐标系Dxyz设2AD ， 则(2, 2,0)B，(0, 2,0)C，(0,0, 4)P，(1,0,0)M， (0,0, 2)N，(2,2,4)PB ， (0, 2,2)NC ，( 1,0, 2)MN 设平面MNC的法向量为( , , )nx y z，则 0, 0, MN NC n n 即 20, 220. xz yz 令1z ，则2x ，1y 所以(2,1,1)n 0 D z y C B A P N M x 数学参考答案 第 2 页（共 6 页） 设直线P
3、B与平面MNC所成角为， 所以 |1 sin|cos,| 6 | PB PB PB n n n （17） （共 14 分） 解 1：选择 因为 3 12a ，所以 1 3a 所以 3(12 ) 3(21) 12 n n n S 令 2020 k S ， 即 2023 2 3 k 所以使得 2020 k S 的正整数k的最小值为10 解 2：选择 因为 3 12a ，所以 1 48a ， 1 48(1) 1 2 96(1) 1 2 1 2 n n n S 因为 962020 n S ， 所以不存在满足条件的正整数k. 解 3：选择 因为 3 12a ，所以 1 3a ， 所以 3 (1( 2)
4、) 1( 2) 1( 2) n n n S 令 2020 k S , 即1( 2)2020 k ，整理得( 2)2019 k 当k为偶数时，原不等式无解； 当k为奇数时，原不等式等价于22019 k ， 所以使得 2020 k S 的正整数k的最小值为11 数学参考答案 第 3 页（共 6 页） （18） （共 14 分） 解：设事件 i A为“甲是A组的第i株植物”， 事件 i B为“乙是B组的第i株植物”， 事件 i C为“丙是C组的第i株植物”，1, 2,7i 由题意可知 1 ()()() 7 iii P AP BP C，1, 2,7i （）设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，
5、 12 DCC ，又 1 C与 2 C互斥， 所以事件D的概率 1212 2 ( )()()() 7 P DP CCP CP C （）设事件E为“甲的高度大于乙的高度”由题意知， 41516171526272637374 EA BA BA BA BA BA BA BA BA BA B 所以事件E的概率 4151617152 ( )()()()()()P EP A BP A BP A BP A BP A B 6272637374 ()()()()()P A BP A BP A BP A BP A B 41 10 ()P A B 41 10 () ()P A P B 10 49 （） 0 1 （1
6、9） （共 15 分） 解： （）因为 2 1 ( )e (1)e 2 xa f xxx，所以( )ee xa fxxx 所以(0)1f ，(0)0 f 所以曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线为1y （）因为( )ee(ee ) xaxa fxxxx， 令( )0fx，得0x 或a(0)a 数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ( )f x与( )fx 在R上的变化情况如下： x (, )a a ( ,0)a 0 (0,) ( )fx 0 0 ( )f x 由上表可知，当0x 时，( )f x有极小值(0)1f （）当1x时，( )0f x ，且 22 (2)e2e e20 a f
7、 由（）可知，( )f x在(0,)上单调递增， 所以函数( )f x的零点个数为1 （20） （共 14 分） 解： （）由题设，得 1, 3. b c 所以 222 4abc，即2a 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）设 1 ( ,)M x m，则 1 (,)Nx m ， 1 0x ，11m 所以直线BM的斜率为 11 ( 1)1 0 mm xx 因为直线BD，BM的斜率的积为 1 4 ， 所以直线BD的斜率为 1 4(1) x m 直线AN的方程为 1 1 1 m yx x 直线BD的方程为 1 1 4(1) x yx m 联立 1 1 1 1, 1, 4(1) m yx x
8、 x yx m 数学参考答案 第 5 页（共 6 页） 解得点D的纵坐标为 22 1 22 1 1 1 4 1 1 4 D xm y xm 因为点M在椭圆C上，所以 2 21 1 4 x m， 则0 D y 所以点D在x轴上 （21） （共 14 分） 解： （） 1 12 15 A （） 0 13 36 A 经 S 变换后得 13 36 ， 故 0 ()13365 S TA （）若 1112 aa，在1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有 11 a且不含 12 a的子集共 4 2 个，经过变换后第一行均变为 1112 ,aa；含有 12 a且不含 11 a的子集共 4 2个，经 过变换
9、后第一行均变为 1112 ,aa；同时含有 11 a和 12 a的子集共 4 2个，经过变换 后第一行仍为 1112 ,aa；不含 11 a也不含 12 a的子集共 4 21个，经过变换后第一行 仍为 1112 ,aa 所以经过变换后所有 l A的第一行的所有数的和为 4444 1112111211121112 2()2()2()(21)()aaaaaaaa 1112 aa 若 1112 aa，则1,2,3,4,5,6的所有非空子集中，含有 11 a的子集共 5 2个，经过 变换后第一行均变为 1112 ,aa；不含有 11 a的子集共 5 21个，经过变换后第一行 仍为 1112 ,aa 数学参考答案 第 6 页（共 6 页） 所以经过变换后所有 l A的第一行的所有数的和为 55 11121112 2()(21)()aaaa 1112 aa 同理，经过变换后所有 l A的第二行的所有数的和为 2122 aa 所以 0 () S TA的所有可能取值的和为 11122122 aaaa， 又因为 11122122 ,1,2,6aaaa， 所以 0 () S TA的所有可能取值的和不超过4
