1、2-1单变量函数的微分学及应用单变量函数的微分学及应用第二章第二章2-2第二章第二章 基本内容基本内容u导数与微分导数与微分u经济学概念经济学概念u导数与微分的应导数与微分的应用（用（II）供求理论供求理论 消费理论消费理论 厂商理论厂商理论 市场理论市场理论u导数与微分的应导数与微分的应用（用（I）Lagrangian中值中值定理与定理与Taylor中中值定理值定理 函数单调性函数单调性 函数凹凸性函数凹凸性 函数的极值函数的极值2-3导数与微分导数与微分u变量与函数变量与函数 变量变量v经济学中的实际问题，往往由许多因素组成可经济学中的实际问题，往往由许多因素组成可分为两类：分为两类：v1
2、)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；作外生变量（不可控因素）；v2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）作内生变量（可控因素，即模型的解）函数函数v我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述2-4导数导数u定义定义 设设y=f(x)是定义在集合是定义在集合S上的一元函数，上的一元函数，x0 S，则则f(x)在在x0处的导数定义为处
3、的导数定义为0 xxdxdy000)()(lim)(0 xxxfxfxfxxxxfxxfxfx)()(lim)(0000或或称称f (x)为定义在为定义在S上的导函数上的导函数由导数定义可知由导数定义可知f(x+1)f(x)f (x)（参见后面参见后面的应用的应用）2-5导数导数（续）续）u几何解释几何解释 f (x0)是函数是函数f(x)的图形在点的图形在点(x0，f(x0)点处切点处切线的斜率，该点处切线的方程为线的斜率，该点处切线的方程为y f(x0)=f (x0)(x x0)u经济解释经济解释 经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；数学上的数学
4、上的导数导数，对应着经济学上的，对应着经济学上的边际边际；利用导数进行经济分析，简称利用导数进行经济分析，简称边际分析边际分析；例如，需求量例如，需求量Qd=f(P)对价格对价格P的导数的导数f (P)称称为价格的边际需求量为价格的边际需求量2-6导数导数（续）续）u经济应用经济学中的边际概念经济应用经济学中的边际概念 经济学中的边际概念定义为一个经济量经济学中的边际概念定义为一个经济量X 在在原有值原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量另一个经济量 F(X)的增量，数学上表示为的增量，数学上表示为F(X0+1)F(X0)F (X0)劳动的边际产量是
5、指再雇用一个单位的劳动劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量；假设生产函数为所增加的产量；假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为个单位，则劳动的边际产量为F(L0+1)F(L0)F (L0)2-7导数与微分导数与微分（续）续）v例如，设有生产函数例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。计计算知算知F (L0)=F (100)=0.025，F(101)F(100)=0.0249v可见导数可见导数F (100)是边际产量是边际产量F(101)F(100)的一个很的一个很好的近似值好的近似值 尽管尽管F (X)不能精确表示由不能
6、精确表示由X 增加一个单位而导增加一个单位而导致的致的F(X)的增加量，但经济学家们仍然用它来表的增加量，但经济学家们仍然用它来表示示F(X)的边际变化这是因为的边际变化这是因为v1）单一项）单一项F (X)比差比差F(X+1)F(X)简单；简单；v2）F (X)避免了避免了“用何单位度量用何单位度量 X 增加一个单位增加一个单位”这一问题这一问题2-8微分微分 u定义定义 设设y=f(x)是定义在集合是定义在集合S上的一元函数，上的一元函数，x0 S给定自变量给定自变量x的一个增量的一个增量 x，若函数若函数的增量的增量 y可表示为：可表示为：y=f(x0+x)f(x0)=A x+o(x)则
7、称函数则称函数f(x)在在x0处可微，并称处可微，并称A x为函数为函数f(x)在在x0处的微分，记作处的微分，记作dy|x=x 0=A x或或dy|x=x 0=Adxu微分的计算微分的计算 若函数若函数f(x)在在x0处可微，则处可微，则dy|x=x0=f (x0)x2-9微分微分（续）续）u微分的应用微分的应用 微分可用于近似计算这是因为由微分的定微分可用于近似计算这是因为由微分的定义可知义可知 y=f(x0+x)f(x0)f (x0)x或或f(x0+x)f(x0)+f (x0)x.在前面知道可用导数计算某个经济量在前面知道可用导数计算某个经济量 x 增加增加一个单位时相应的另一个经济量的
8、变化若一个单位时相应的另一个经济量的变化若经济量经济量X 增加增加 X 个个单位，则可用上式式计单位，则可用上式式计算相应的另一个经济量算相应的另一个经济量F(X)的变化的变化2-10导数与微分导数与微分（续）续）例如，设有生产函数例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，将将劳动力劳动力L由由900个单位削减到个单位削减到896个单位，试个单位，试估计产量的变化和在估计产量的变化和在L0=896处的新产量处的新产量 解：解：Q=f (900)(896 900)=1/30单位单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位单位2-11Lagrangian中值定理中值定理 若若f(x)
9、在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)上可导，则上可导，则至少存在一个至少存在一个(a，b)使下式成立使下式成立f(b)f(a)=f ()(b a).几何解释：在弧几何解释：在弧AB上至少有一点上至少有一点C，使曲使曲线线f(x)在在C点处的切线平行于弦点处的切线平行于弦ABOCABabf(x)2-12Taylor中值定理中值定理u设设x0 (a，b)，f(x)在在(a，b)内有直到内有直到n+1阶的导数，则当阶的导数，则当x (a，b)时，存在时，存在 在在x0与与x之间，之间，使得下式成立使得下式成立)()(!)()(2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxf
10、xfxfnnn 其中其中称作称作Taylor余项余项当当n=0时，时，Taylor公式成为公式成为Lagrangian中值公式，因中值公式，因此此Taylor中值定理是中值定理是Largrangian中值定理的推广中值定理的推广2-13应用应用(I)单调性、凸凹性、极值单调性、凸凹性、极值u介绍介绍Largrangian中值定理和中值定理和Taylor中值中值定理在函数的单调性、极值和凹凸性等定理在函数的单调性、极值和凹凸性等方面的应用方面的应用 函数单调性的判定函数单调性的判定 函数凹凸性的判定函数凹凸性的判定 函数的极值函数的极值2-14应用应用(I)单调性单调性u f(x)单调的单调的充
11、分条件充分条件 设函数设函数f(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)上可导上可导，则，则(1)f(x)在在a，b上上严格严格单调增加的充分条件是在单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有上恒有f(x)0；(2)f(x)在在a，b上上严格严格单调减少的充分条件是在单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有上恒有f(x)0；(2)f(x)在在a，b上上严格严格单调减少的必要条件是在单调减少的必要条件是在(a，b)上恒有上恒有f(x)0证明：可由导数的定义证明证明：可由导数的定义证明2-16应用应用(I)单调性单调性（续）续）u f (x)单调的单调的充分条件充分条件若对任意若对任意x1，x2 (
12、a，b)，f(x2)（或或 ）f(x1)+f (x1)(x2 x1)，则则f (x)在在(a，b)上单调增加（减少）上单调增加（减少）f (x)是单调减少的是单调减少的x1x2f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)f(x1)几何解释：几何解释：f (x)在在a，b上单调增加（或减少）上单调增加（或减少）等价于等价于f(x)图形上任一点处的切线在图形上任一点处的切线在f(x)图形的下图形的下方（或上方）方（或上方）2-17应用应用(I)凸凹性凸凹性（续）续）u凸凹性定义凸凹性定义 （1）称函数）称函数f(x)在在(a，b)上是凸的（或凹的）上是凸的（或凹的），若对任意，若对任意）0，1
13、，对任意，对任意x1，x2 (a，b)，恒有下式成立恒有下式成立f(x1+(1)x2)（或或 ）f(x1)+(1 )f(x2)（2）若对任意）若对任意(0，1)，对任意，对任意x1，x2 (a，b)且且x1 x2，恒有上式中的严格不等式成立，则恒有上式中的严格不等式成立，则称函数称函数f(x)是是(a，b)上的严格凸（或凹）函数上的严格凸（或凹）函数 由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数或凹）函数2-18应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性几何意义凸凹性几何意义 所以所以f(x)是凹函数是凹函数x1x2f(x2)x3=x1+
14、(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)f(x1)+(1 )f(x2)O x32-19应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性判断法凸凹性判断法 判定法之一（利用一阶导数）判定法之一（利用一阶导数）v设函数设函数f(x)在在(a，b)上可导，则上可导，则f(x)在在(a，b)上为上为凸（或凹）函数的充要条件是对任意凸（或凹）函数的充要条件是对任意x1，x2(a，b)有有f(x2)（或或）f(x1)+f (x1)(x2 x1)v当上面的严格不等式对任意当上面的严格不等式对任意x1，x2 (a，b)且且x1 x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条成立时，即为严格凸（或
15、凹）函数的充要条件件2-20应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedv几何意义几何意义x1x2f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)f(x1)f (x)是凹函数是凹函数f(x2)f(x1)+f (x1)(x2 x1)几何解释：几何解释：f (x)是是a，b上的凹函数（或上的凹函数（或凸函数）等价于凸函数）等价于f(x)图形上任一点处的切线图形上任一点处的切线在在f(x)图形的上方（或下方）图形的上方（或下方）2-21应用应用(I)凸凹性凸凹性continuedu凸凹性判断法凸凹性判断法 判定法之二（利用二阶导数）判定法之二（利用二阶导数）v若函数若函数f(x)在在(a，b)上是二
16、阶连续可微的，则上是二阶连续可微的，则f(x)是是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意意x(a，b)有有f (x)0(或或f (x)0)，v而而f(x)是是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立条件是上面的严格不等式成立 几何意义几何意义凸函数凸函数2-22应用应用(I)函数的极值函数的极值u极值的必要条件极值的必要条件 设函数设函数f(x)在在x0可导，且在可导，且在x0取得极值，则取得极值，则f (x0)=0 几何解释：几何解释：v曲线在函数取得极值的点曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平
17、的处的切线是水平的x02-23应用应用(I)函数的极值函数的极值（续）续）u极值的充分条件极值的充分条件(I)（一阶充分条件）设（一阶充分条件）设f(x)在在x0的一个领域内的一个领域内可导且可导且 f (x0)=0（1）若若x取取x0左侧邻近的值时，左侧邻近的值时，f (x)的符号的符号恒为正；当恒为正；当x取取x0右侧邻近的值时，右侧邻近的值时，f (x)的的符号恒为负，则符号恒为负，则f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值;（2）若）若x取取x0左侧邻近的值时，左侧邻近的值时，f (x)的符号的符号恒为负；当恒为负；当x取取x0右侧邻近的值时，右侧邻近的值时，f (x)的的符号恒为正，
18、则符号恒为正，则f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值2-24应用应用(I)函数的极值函数的极值（续）续）u极值的充分条件极值的充分条件(II)（二阶充分条件）设（二阶充分条件）设f (x0)=0，f(x)在在x0处处具有二阶导数且具有二阶导数且f (x0)0（1）当当f (x0)0时，时，f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值2-25应用应用(I)函数的极值函数的极值（续）续）u极值的充分条件极值的充分条件(III)（N 阶充分条件）阶充分条件）设设f (x0)=f (x0)=f(N 1)(x0)=0，f(N)(x0)0（1）当）当N为偶数且为偶数且f(N)(x0)0时，时，f(x)在在
19、x0处处取得极小值；取得极小值；（3）当）当N为奇数时，为奇数时，(x0，f(x0)为拐点为拐点练习练习：考虑函数：考虑函数y=x3 和和y=x6+6极值点和拐极值点和拐点点2-26应用应用(I)函数的极值函数的极值（续）续）u几类特定函数的最大值和最小值几类特定函数的最大值和最小值 只有一个驻点只有一个驻点x0(f (x0)=0)的函数的函数v设设a）f(x)的定义域是一个区间的定义域是一个区间I；b）x0是是f(x)在在区间区间I上的唯一驻点；上的唯一驻点；c）x0是是f(x)的（局部）极值的（局部）极值点则点则x0是是f(x)在区间在区间I上的（全局）最值点上的（全局）最值点 二阶导数处
20、处非零的函数二阶导数处处非零的函数v若若f(x)是区间是区间I上的二阶连续可微函数，且上的二阶连续可微函数，且f (x)在在区间区间I上处处非零，则上处处非零，则f(x)在区间在区间I上至多有一个上至多有一个驻点若有一个驻点驻点若有一个驻点x0，则则x0是最值点若是最值点若f (x0)0，则则x0是最小值点；若是最小值点；若f (x0)0是常数是常数将需求量作为横坐标，价格作为纵坐标将需求量作为横坐标，价格作为纵坐标v 垂直线垂直线 Qd=Q0，其中其中Q0是常数此时是常数此时Edp=0v 水平线水平线 P=m，其中其中m是常数此时是常数此时Edp=+Edp=pQpQdd/pQdpdQdd/=
21、Q=Q0POQ完全无弹性完全无弹性P=mPOQ完全弹性完全弹性2-39应用应用(II)供求理论供求理论（续）续）线性需求函数的点弹性线性需求函数的点弹性v斜线斜线 Qd=a bP，其中其中b 0 中点中点E处的点弹性为处的点弹性为1；线段线段AE上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(1，+)；线段线段EB上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(0，1)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-40应用应用(II)供求理论供求理论（续）续）下面证明线段下面证明线段AE上任一点处的点弹性位于区间上任一点处的点弹性位于区间(1，+)/(11bPabPaPbQPdPdQE
22、dddp对AE上任一点（Q0，P0）有 baPba20所以1 a/(bP0)1a/bP0 1因此|Edp|1 易知易知A(0，a/b)，E(a/2，a/2b)，B(a，0)ABEQPOa/baa/2a/(2b)2-41应用应用(II)供求理论供求理论（续）续）需求价格弹性与消费者总支出的关系需求价格弹性与消费者总支出的关系v考虑完全垄断市场当某种商品的价格考虑完全垄断市场当某种商品的价格P上升，上升，消费者总支出消费者总支出PQd将如何变化呢？将如何变化呢？v变化是不确定的这是因为变化是不确定的这是因为P和和Qd反向变化但反向变化但有下面的结论有下面的结论 1)价格的增加导致总支出的增加的充要
23、条件是商价格的增加导致总支出的增加的充要条件是商品的需求缺乏弹性；品的需求缺乏弹性；2)价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商价格的增加导致总支出的减少的充要条件是商品的需求富有弹性品的需求富有弹性;3)无论价格上升或下降，总支出不变的充要条件无论价格上升或下降，总支出不变的充要条件是商品的需求是单一弹性是商品的需求是单一弹性 证明：设商品的需求函数为证明：设商品的需求函数为Q=F(P)，则总支出则总支出为为E(P)=PQ进而进而dPdQPQdPdQQPQ 1)1(dpEQE(P)=2-42应用应用(II)供求理论供求理论（续）续）需求收入弹性需求收入弹性v指消费者收入的相对变动所引起的需求
24、量的变动指消费者收入的相对变动所引起的需求量的变动v需求量是收入需求量是收入I的连续且可导的函数时的连续且可导的函数时EdI=IIQQdd/EdI=IQdIdQdd/供给价格弹性（略）供给价格弹性（略）2-43应用应用(II)消费理论消费理论 研究需求函数背后的消费者的行为理论研究需求函数背后的消费者的行为理论从生产者的角度可称为需求理论从生产者的角度可称为需求理论 需求的实现或欲望的满足，就是消费消需求的实现或欲望的满足，就是消费消费是人们为满足欲望而使用物品的一种经费是人们为满足欲望而使用物品的一种经济行为，是人类一切经济活动的出发点和济行为，是人类一切经济活动的出发点和归宿点，是经济学研
25、究的首要问题归宿点，是经济学研究的首要问题 消费者行为的分析法消费者行为的分析法v确定性分析：包括基数效用理论和序数效用理确定性分析：包括基数效用理论和序数效用理论；论；v不确定性分析：风险情况下的消费选择不确定性分析：风险情况下的消费选择2-44应用应用(II)消费理论消费理论（续）续）经济学上一般用效用理论分析消费者的行为经济学上一般用效用理论分析消费者的行为效用效用是人们从消费一种产品中所得到的满足是人们从消费一种产品中所得到的满足一种产品，必须既有满足人们欲望的性能，人一种产品，必须既有满足人们欲望的性能，人们又有对它满足的欲望，才能产生效用它是们又有对它满足的欲望，才能产生效用它是一
26、种主观的使用价值一种主观的使用价值u基数效用分析方法基数效用分析方法 原理原理v基数效用分析方法（基数效用分析方法（Cardinal utility approach），），即边际效用分析方法即边际效用分析方法，认为一种产品对一个人的效认为一种产品对一个人的效用可用一个基数度量，如用可用一个基数度量，如1，2.1，6，7，7.32，且每个人都能说出这种产品对自己的效用，单位为且每个人都能说出这种产品对自己的效用，单位为尤特尔（尤特尔（util）2-45应用应用(II)消费理论消费理论（续）续）u总效用总效用v总效用是指消费者在一定时间内消费某种产品总效用是指消费者在一定时间内消费某种产品而获得
27、的效用总量若只消费一种产品，则总而获得的效用总量若只消费一种产品，则总效用函数（简称效用函数）可表示为为效用函数（简称效用函数）可表示为为TU=TU(X)v这个概念对序数效用分析法同样适用这个概念对序数效用分析法同样适用2-46应用应用(II)消费理论消费理论（续）续）边际效用函数边际效用函数v一种产品的一种产品的边际效用边际效用（以（以MU表示），是指在原表示），是指在原有的消费水平有的消费水平X0下，再追加一个消费单位所增加下，再追加一个消费单位所增加的总效用，即的总效用，即MU=TU(X0+1)TU(X0)v边际效用的度量法边际效用的度量法MU=TU (X0)这是因为这是因为TU(X0+
28、1)TU(X0)TU (X0)vMU 0，即即TU(x)是增函数是增函数2-47应用应用(II)消费理论消费理论（续）续）边际效用递减法则边际效用递减法则v也叫也叫Gossen第一法则，是指在一定时间内，一个第一法则，是指在一定时间内，一个人消费一种产品的边际效用，随其消费量的增加人消费一种产品的边际效用，随其消费量的增加而减少而减少v数学分析数学分析022dXTUddXdMUGossen第一法则等第一法则等价于价于TU是凹函数是凹函数2-48应用应用(II)消费理论消费理论（续）续）消费者均衡消费者均衡 v消费者均衡消费者均衡是指消费者以一定的收入，在一定市是指消费者以一定的收入，在一定市场
29、价格下，购买一定数量的产品，能够获得最大场价格下，购买一定数量的产品，能够获得最大满足的状态满足的状态总效用最大状态总效用最大状态v无约束消费者均衡无约束消费者均衡消费者的消费行为不受任何限制，他消费一种产消费者的消费行为不受任何限制，他消费一种产品的最大效用可表示为一个自由极值问题：品的最大效用可表示为一个自由极值问题：max TU(X)X*是均衡消费量的必要条件是是均衡消费量的必要条件是0*XXdXdTU0*22XXdXTUd0*XXdXdTU 假设假设X*满足满足则则X*是均衡消费量的二阶充分条件是是均衡消费量的二阶充分条件是2-49应用应用(II)消费理论消费理论endv有约束消费者均
30、衡有约束消费者均衡 消费者的消费行为受某种限制，如消费量消费者的消费行为受某种限制，如消费量X I，I是一个区间他消费一种产品的最大效用可表是一个区间他消费一种产品的最大效用可表示为一个约束极值问题：示为一个约束极值问题：max TU(X)s.t.X I 这等价于求函数这等价于求函数TU(X)在区间在区间I上的极大值或最大上的极大值或最大值值u序数效用分析方法序数效用分析方法 在多元函数微分法和优化理论中介绍在多元函数微分法和优化理论中介绍2-50应用应用(II)厂商理论厂商理论v厂商理论具有两重性，可从两个方面进行研究：厂商理论具有两重性，可从两个方面进行研究：1)从实物形态上研究生产的原理
31、，叫从实物形态上研究生产的原理，叫生产理论生产理论；2)从货币形态上研究成本的结构，叫从货币形态上研究成本的结构，叫成本理成本理论论二者是同一生产者行为的两个方面，只是表二者是同一生产者行为的两个方面，只是表现形式不同现形式不同v我们将看到厂商理论中所采用的分析方法，基本我们将看到厂商理论中所采用的分析方法，基本上是消费理论中用过的方法上是消费理论中用过的方法u生产理论生产理论 仅考虑短期生产函数：仅考虑短期生产函数：Q=F(L)或或Q=F(K)，即劳动和资本中只有一个发生变化即劳动和资本中只有一个发生变化2-51应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）生产函数假设生产函数假设考虑生产函数考
32、虑生产函数Q=F(X)（1）是连续的或是连续的或C 2（即有二阶连续导数）即有二阶连续导数）（2）是增函数）是增函数（3）存在一个投入水平）存在一个投入水平LN，使使F(X)是（是（0，LN）上的凸函数，是（上的凸函数，是（LN，+）上的凹函数上的凹函数若若F(X)是是C 2的，则假设（的，则假设（2）和（）和（3）可表示为：）可表示为：（2）对任意的投入水平）对任意的投入水平L，F (X)0（3）存在一个投入水平存在一个投入水平LN ，使对任意的投入水使对任意的投入水平平X (0，LN)，F (X)0；对任意的投入水平对任意的投入水平X(LN，+)，F (X)0，即，即MP递增；当递增；当L
33、 (LN，+)时，时，F (L)AP（2）AP 递减的充要条件是递减的充要条件是MP AP；（3）AP在在LS 处达到极大的充分条件是处达到极大的充分条件是MP(LS)=AP(LS)且且F (LS)AP；（2）AP 递减的充要条件是递减的充要条件是MP AP；（3）AP在在LS 处达到极大的充分条件是处达到极大的充分条件是MP(LS)=AP(LS)且且F (LS)0图图2.4.2实物产量间的关系实物产量间的关系LAPMPQOLNLSLR分析：分析：为了获得为了获得AP的增减情况和极值的增减情况和极值情况，我们找到情况，我们找到AP的表达式，用其导的表达式，用其导数的符号来判断数的符号来判断证明
34、：据AP=F(L)/L，有 1/)()(1APMPLLLFLFLdLdAP从而结论（从而结论（1）和（）和（2）成立）成立 为了证明结论（为了证明结论（3 3），需要证明），需要证明 0022NNLLLLdLAPddLdAP和由由MP(LS)=AP(LS)及及AP导数的表达式可知导数的表达式可知0NLLdLdAP由由F (LS)0 及及SSLLLLFdLAPdN)(22可知可知022NLLdLAPd证毕证毕2-60应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）u成本理论成本理论 总成本、总固定成本和总变动成本总成本、总固定成本和总变动成本 平均固定成本、平均变动成本与平均成本平均固定成本、平均变动
35、成本与平均成本 边际成本边际成本2-61TRQCAQVQCQATCPOQBVBTVCTFCMMQM总固定成本总固定成本TFC总变动成本总变动成本TVC总成本总成本TC总收入总收入TR2-62应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）u总成本、总固定成本和总变动成本总成本、总固定成本和总变动成本（1）总固定成本（）总固定成本（TFC）v一定产量范围内，不随产量变动而变动的成本之一定产量范围内，不随产量变动而变动的成本之和，如厂房、机器以及保险费、常雇人员工资等和，如厂房、机器以及保险费、常雇人员工资等经常性的开支即使停产，产量为零，经常性的开支即使停产，产量为零，TFC仍存仍存在假设在假设 TF
36、C=b v可分为两类：可分为两类：1)与产量无关的当期支出，如利与产量无关的当期支出，如利息、租金、水电费、职员工资等息、租金、水电费、职员工资等2)不一定当不一定当期支出，但最后必须支付，如正常利润期支出，但最后必须支付，如正常利润2-63应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）（2）总变动成本（）总变动成本（TVC）v随产量变动而变动的成本之和，如原材料、燃料随产量变动而变动的成本之和，如原材料、燃料、电力、运输费、直接生产工人的工资等如暂、电力、运输费、直接生产工人的工资等如暂时停产，产量为时停产，产量为0，总变动成本也为，总变动成本也为0，总成本，总成本=总固定成本总固定成本v一般满
37、足假设：一般满足假设：TVC 在在(0，QM)上是上是 Q 的凹函的凹函数，在数，在(QM，+)上是上是 Q 的凸函数的凸函数2-64应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）（3）总成本（）总成本（TC）v总成本是总固定成本和总变动成本之和，即总成本是总固定成本和总变动成本之和，即TC=TVC+TFCv一般满足的假设与一般满足的假设与TVC满足的假设相同满足的假设相同，即，即TC 在在(0，QM)上是上是 Q 的凹函数，在的凹函数，在(QM，+)上是上是 Q 的的凸函数凸函数v若若 TC 是关于是关于 Q 的二阶连续可导函数，则此假设的二阶连续可导函数，则此假设可表示为：在可表示为：在(0，
38、QM)上上TC(Q)0，且且 TC (QM)=02-65应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）u平均固定成本、平均变动成本与平均成本平均固定成本、平均变动成本与平均成本（1）平均固定成本（）平均固定成本（AFC）QQfQTVCAVC)(vAVC是原点是原点O到到TVC上一点射线的斜率开始时上一点射线的斜率开始时，AVC递减；直到自原点的射线与递减；直到自原点的射线与TVC相切于点相切于点V 时，时，AVC最低；在这以后，最低；在这以后，AVC又递增在产又递增在产量量OQV之前，之前，AVC的斜率为负，在产量的斜率为负，在产量OQV 之后之后，AVC的斜率为正其数学分析见定理的斜率为正其数学
39、分析见定理2.4.3QbQTFCAFC（2）平均变动成本（）平均变动成本（AFC）2-66应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）（3）平均（总）成本（）平均（总）成本（ATC 或或 AC）AC=TC/Q=AFC+AVCv AC 是从原点到是从原点到 TC 曲线上一点射线的斜率开曲线上一点射线的斜率开始时，始时，AC 递减；直到自原点的射线与递减；直到自原点的射线与 TC 曲线曲线相切于点相切于点 C 时，时，AC 最低；在这以后，最低；在这以后，AC 又递又递增在产量增在产量 OQC 以前，以前，AC 的斜率为负，在产量的斜率为负，在产量 OQC 以后，以后，AC 的斜率为正其数学分析见定
40、理的斜率为正其数学分析见定理2.4.4v 注记：注记：TC TVC，AC AVC，AC 最低的产量最低的产量大于大于 AVC 最低的产量最低的产量2-67应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）u 边际成本（边际成本（MC）边际成本指每增加一个单位产量所增加的成边际成本指每增加一个单位产量所增加的成本可表示为本可表示为MC(Q)=TC(Q+1)TC(Q)当当TC(Q)是连续可导函数时，可表示为是连续可导函数时，可表示为 几何上，几何上，MC(Q)是是 TC(Q)曲线在曲线在 Q 处的斜处的斜率开始时，在拐点率开始时，在拐点M 之前，之前，TC曲线的斜曲线的斜率递减，因而率递减，因而 MC 递
41、减；到拐点递减；到拐点 M 时斜率时斜率最小，即最小，即 MC(QM)最小，在拐点最小，在拐点 M 之后，之后，TC 曲线的斜率递增，因而曲线的斜率递增，因而 MC 递增递增dQdTVCdQdTCQMC)(2-68应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）几何上，几何上，MC(Q)是是TC(Q)曲线在曲线在 Q 处的斜率处的斜率开始时，在拐点开始时，在拐点M 之前，之前，TC 曲线的斜率曲线的斜率递减，因而递减，因而 MC 递减；到拐点递减；到拐点 M 时斜率最时斜率最小，即小，即MC(QM)最小，在拐点最小，在拐点 M 之后，之后，TC 曲线的斜率递增，因而曲线的斜率递增，因而MC 递增递增
42、 MC(Q)在在 QM 达到极小来自对函数达到极小来自对函数 TC(Q)的的假设假设v即在即在(0，QM)上上MC (Q)=TC (Q)0，且且 MC (QM)=TC (QM)=0，因此因此MC(Q)在在 QM 达到极小达到极小2-69应用应用(II)厂商理论厂商理论（续）续）AVC与与MC之间的关系之间的关系v定理定理 2.4.3 设设TC(Q)是函数，则是函数，则（1）AVC 是增函数的充要条件是是增函数的充要条件是 MC AVC；（2）AVC 是减函数的充要条件是是减函数的充要条件是MC 0 AC与与MC之间的关系之间的关系v定理定理 2.4.4 设设 TC(Q)是函数，则是函数，则（1
43、）AC 是增函数的充要条件是是增函数的充要条件是 MC AC；（2）AC 是减函数的充要条件是是减函数的充要条件是 MC 02-70TRQCAQVQCQATCPOQBVBTVCTFCMMQM总固定成本总固定成本TFC总变动成本总变动成本TVC总成本总成本TC总收入总收入TR2-71MCQMVCAQVQMQCQAACAVCAFCPOAR=MR=PAAR=MR=PCAR=MR=PVAR=MR=PMQBBAR=MR=PRAR=MR=PSRS平均固定成本平均固定成本AFC平均变动成本平均变动成本AVC平均成本平均成本AC边际成本边际成本MC图图2.4.3 完全竞争厂商的盈亏分析完全竞争厂商的盈亏分析Q
44、S2-72应用应用(II)市场理论市场理论u前面已研究了消费者行为理论和生产者前面已研究了消费者行为理论和生产者行为理论，将两者结合起来，进一步研行为理论，将两者结合起来，进一步研究它们之间的交易行为怎样共同决定产究它们之间的交易行为怎样共同决定产品市场的价格和产量，通称品市场的价格和产量，通称市场理论市场理论 市场类型：市场类型：v完全竞争；完全竞争；v完全垄断；完全垄断；v垄断竞争和寡头垄断垄断竞争和寡头垄断u本小节仅考虑前两种市场，其余的放在本小节仅考虑前两种市场，其余的放在优化理论的章节中讨论优化理论的章节中讨论2-73应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争u 完全
45、竞争市场的特征完全竞争市场的特征 价格既定：个别家庭或厂商都是价格的接受价格既定：个别家庭或厂商都是价格的接受者即者即P=P0，P0是确定的常数是确定的常数 产品同质、无异产品同质、无异 投入要素可在产业间自由转移投入要素可在产业间自由转移 信息充分：所有厂商和顾客完全掌握现在信息充分：所有厂商和顾客完全掌握现在和将来的价格信息，因而不会有任何人以高和将来的价格信息，因而不会有任何人以高于市场的价格进行购买，以低于市场的价格于市场的价格进行购买，以低于市场的价格进行销售进行销售 完全竞争厂商面对既定的市场价格而调整自完全竞争厂商面对既定的市场价格而调整自己的产量，只能控制产量这一变量，中心问己
46、的产量，只能控制产量这一变量，中心问题是研究产量决策题是研究产量决策2-74应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争u短期均衡短期均衡 盈亏分析法盈亏分析法 （1）总收入）总收入 总成本分析法总成本分析法max (Q)=TR(Q)TC(Q)v几何上几何上(Q*)是极大值的条件可叙述为：是极大值的条件可叙述为：v(Q*)极大的必要条件是：极大的必要条件是：TR曲线的斜率曲线的斜率=TC曲线的斜率曲线的斜率v(Q*)极大的充分条件是：极大的充分条件是：MC曲线自右下方曲线自右下方与与MR曲线相交曲线相交v几何解释见下图几何解释见下图2-75QTOQBPQTRTCQM完完全全竞竞争
47、争厂厂商商的的亏亏损损分分析析QTQMMQTOQBQMMC=MR=PTPQMC PT2-76应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争u短期均衡短期均衡 盈亏分析法盈亏分析法（2）边际收入）边际收入 边际成本分析法边际成本分析法v 定理定理2.4.5 利润极大的利润极大的必要条件必要条件（MR=MC定理）定理）(Q)在在Q*处取得极大值的必要条件是处取得极大值的必要条件是MR(Q*)=MC(Q*)证明：见讲义几何解释见上图证明：见讲义几何解释见上图v推论推论2.4.7（MR=MC定理）定理）(Q)在在Q*处取处取得极大值或得极大值或S(Q)在在Q*处取得极小值的必要条处取得极小
48、值的必要条件是件是P*=MC(Q*)2-77应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争v定理定理2.4.5的解释：的解释：一个厂商应该继续生产产品，一直到再多一个厂商应该继续生产产品，一直到再多生产一单位产品的成本（生产一单位产品的成本（MC）刚好与该单刚好与该单位产品所带来的收入（位产品所带来的收入（MR）相抵消相抵消 若下一个单位产品给厂商增加的收入大于若下一个单位产品给厂商增加的收入大于它给厂商增加的成本（它给厂商增加的成本（MR MC），），则生则生产下一个单位的产品将增加厂商的利润，产下一个单位的产品将增加厂商的利润，因而厂商应进行生产因而厂商应进行生产 若再多生产一
49、单位产品所增加的成本大于若再多生产一单位产品所增加的成本大于它给厂商（在市场上）增加的收入（它给厂商（在市场上）增加的收入（MC MR），），则再多生产一单位的产品将减少厂则再多生产一单位的产品将减少厂商的利润，即厂商本应该早点儿停产商的利润，即厂商本应该早点儿停产2-78应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争（2）边际收入）边际收入 边际成本分析法边际成本分析法v定理定理 2.4.6（利润极大或损失极小的充分条件）（利润极大或损失极小的充分条件）假设假设Q*满足满足MR(Q*)=MC(Q*)，则则(Q)在在Q*处处取得极大值的取得极大值的充分条件充分条件是是v推论推论2.
50、4.8（利润极大或损失极小的充分条件）假（利润极大或损失极小的充分条件）假设设Q*满足满足MR(Q*)=MC(Q*)，则则 (Q)在在Q*处处取得极大值或取得极大值或S(Q)在在Q*处取得极小值的充分条处取得极小值的充分条件是件是*22*22QQQQdQTCddQTRd或*QQQQdQdMCdQdMR0*22QQdQTCd或0*QQdQdMC2-79应用应用(II)市场理论市场理论（续）续）完全竞争完全竞争v零利润点、停止生产点、停止决策、盈利与亏损零利润点、停止生产点、停止决策、盈利与亏损v1）零利润点）零利润点 对完全竞争市场，当市场价格为对完全竞争市场，当市场价格为PC时，时，即即MR曲
