1、9.2 Laplace 变换的性质变换的性质一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质二、延迟性质与位移性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质三、微分性质四、积分性质四、积分性质五、周期函数的像函数五、周期函数的像函数六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理 对于涉及到的一些运算对于涉及到的一些运算(如如求导求导、积分积分、极限极限及及求和求和等等)的次序交换问题，均不另作说明。的次序交换问题，均不另作说明。所涉及到的函数的所涉及到的函数的 Laplace )(sF)(sG.)(tg 在下面给出的基本性质中，在下面给出的基本性质中，且且 ,)(tf变换均假定存在，它们的变换均假定存在，它们的增长
2、指数增长指数均假定为均假定为 c。9.2 Laplace 变换的性质变换的性质证明证明 (略略)性质性质 一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质 1.线性性质线性性质 P216 P216 ,)5cos(cos213sin2sin)(tttttf 解解.)25()1(1222 sss 2512122ssss)5coscos(21)(tttf 解解,1121)(sssF)()(1sFtf 211s111 s.ee2tt 0d)(1exxfaxastax 令令 .1 asFa 0d)()(ettaftaft s证明证明 性质性质 一、线性性质与相似性质一、线性性质与相似性质 2.相似性质相似性
3、质(尺度性质尺度性质)P217 二、延迟性质与位移性质二、延迟性质与位移性质1.延迟性质延迟性质 则对任一非负实数则对任一非负实数 有有 设当设当 t 0 时时 ,0)(tf)(tf.)(esFs 性质性质 .)(esFs 0d)(eexxfsxs tx令令 ttft sd)(e证明证明 0d)()(ettftft s P222 P222 二、延迟性质与位移性质二、延迟性质与位移性质1.延迟性质延迟性质 则对任一非负实数则对任一非负实数 有有 设当设当 t 0 时时 ,0)(tf)(tf.)(esFs 性质性质 可见，在利用本性质可见，在利用本性质求逆变换时求逆变换时应为：应为：因此，本性质也
4、可以因此，本性质也可以直接表述直接表述为：为：)()(tutf.)(esFs .)()(tutf)(e1sFs 注意注意 在延迟性质中专门强调了当在延迟性质中专门强调了当 t 0 时时 这一这一约定约定。0)(tf已知已知,112 ssint解解 方法一方法一 方法二方法二 112 s.)(s 两种方法为什么会得到不同的结果？两种方法为什么会得到不同的结果？根据根据延迟性质延迟性质有有 )2sin(t cost 112 s.2es )2sin(t )2()2sin(tut )()2sin(tut 方法二方法二 先平移再充零先平移再充零 P222 例例9.12 方法一方法一 先充零再平移先充零再
5、平移 .2,0,2,2ettt根据根据延迟性质延迟性质有有 设设 求求 ,11)(2esssF 例例 .)(1sF 111 s,)(etut 解解 由于由于 )2(2e tut)(1sF P223 例例9.13 修改修改 证明证明 (略略).1)1(12 sscosett例如例如 .1)1(12 ssinett性质性质 2.位移性质位移性质 P223 二、延迟性质与位移性质二、延迟性质与位移性质三、微分性质三、微分性质)(tf .)0()(fssF 性质性质 ,d)()(00ee ttfstft st s证明证明 0d)()(ettftft s 0)(detft s由由 ,|)(|etcMtf
6、,0)(lime t sttf因此当因此当 时，有时，有 cs Re,|)(|)Re(eetcst sMtf 有有 )(tf .)0()(fssF 即得即得 1.导数的象函数导数的象函数 P217 P217 三、微分性质三、微分性质)(tf ;)0()(fssF 1.导数的象函数导数的象函数 性质性质 其中，其中，应理解为应理解为 )0()(kf.)(lim)(0tfkt)()(tfn.)0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs一般地，有一般地，有 l Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程方程(组组)的初值问题。的初
7、值问题。9.4 将专门介绍将专门介绍 ）（.!1 msm解解 利用导数的象函数性质来求解本题利用导数的象函数性质来求解本题 以及以及 有有 !)()(mtfm 0)0()0()0()1(mfff由由 )0()0()0()()1(21 mmmmffsfssFs)()(tfm!m 故有故有 mt!1msm )(tfsm,mmts 1!msm P218 例例9.7 三、微分性质三、微分性质2.象函数的导数象函数的导数 性质性质 )(sF;)(tft 一般地，有一般地，有 )()(sFn.)()1(tftnn 由由 有有 证明证明 0d)()(ettfsFt s 0d)(dd)(ettfssFt s
8、0d)(ettfst s 0d)(ettftt s;)(tft 同理可得同理可得 )()(sFn.)()1(tftnn P218 .)(2222 ss根据根据象函数的导数象函数的导数性质有性质有 sint,22 s解解 已知已知 22dd sssintt P219 例例9.8 .)4()3224(232326 sssstt22cos21,)2cos1(2tt 解解 根据根据线性性质线性性质以及以及象函数的导数象函数的导数性质有性质有 ,22cos22 sst已知已知 ,11s cos22tt21dd212222 ssssP219 例例9.9 .4)3()3(422 ss根据根据位移性质位移性质
9、有有 解解 ,222sin22 st已知已知 再由再由象函数的导数象函数的导数性质有性质有 2sin3ett,4)3(22 s 4)3(2dd2ss2sin3ettt 四、积分性质四、积分性质1.积分的象函数积分的象函数 d)(0 tttf.)(1sFs 性质性质 证明证明 令令 ,d)()(0 tttftg由由微分性质微分性质有有 则则 且且 )()(tftg ,0)0(g)(tg)0()(gsGs ,)(sGs ssG1)()(tg,)(1tfs d)(0 tttf.)(1sFs 即得即得 P219 P219 四、积分性质四、积分性质d)(0 tttf;)(1sFs 1.积分的象函数积分的
10、象函数 性质性质 一般地，有一般地，有 ,)4(422 ss.)4(422 s再由再由积分性质积分性质得得 根据根据微分性质微分性质有有 解解 ,222sin22 st已知已知 2222dd2sinsstt s1d2sin0 tttt22)4(4 ss一般地，有一般地，有 ssFssnsssd)(dd次次 .)(nttf 四、积分性质四、积分性质2.象函数的积分象函数的积分 sssFd)(.)(ttf 性质性质 证明证明 (略略)P220 .arccot s 根据根据象函数的积分象函数的积分性质有性质有 ,11sin2 st已知已知 解解 sintt sssd112即即 .arccotdsin
11、0essttst l 在上式中，如果令在上式中，如果令 s=0，则有，则有.2dsin0stt 启示启示 在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值，为某些特定的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以用来求一些函数的广义积分。利用拉氏变换利用拉氏变换计算广义积分计算广义积分P220 例例9.10 部分部分基本性质汇总基本性质汇总)()(tgbtfa;)()(sGbsFa )()(1sGbsFa .)()(tgbtfa 线性性质线性性质 )(taf.1 asFa相似性质相似性质 延迟性质延迟性质 )(tf.)(esFs .)()(tutf)(e1s
12、Fs 微分性质微分性质)(tf .)0()(fssF )()(tfn.)0()0()0()()1(21 nnnnffsfssFs)(sF;)(tft )()(sFn.)()1(tftnn 积分性质积分性质d)(0 tttf.)(1sFs sssFd)(.)(ttf 部分部分基本性质汇总基本性质汇总)(etfta.)(asF 位移性质位移性质 证明证明 )(tf TTt st sttfttf0d)(d)(ee,21II 记为记为 0)(d)(exTxfTxs其中，其中，2I令令 Ttx 0d)(eexxfxsTsTs e,)(tf即得即得 .d)(110ee Tt sTsttf)(tf性质性质
13、五、周期函数的像函数五、周期函数的像函数P223 22 ssTsT ee1122 s.2cth s函数函数 的周期为的周期为 )(tf,T 解解 故有故有 Tt sTstt0dsin11ee )(tf sTe1122)cossin(e sttst sT0P224 例例9.14 六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理1.卷积卷积 当当 时，时，如果函数满足：如果函数满足：0 t,0)()(21 tftf)()(21tftf.d)()(21 tff 按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指按照上一章中卷积的定义，两个函数的卷积是指 则有则有 )()(21tftf.)0(,d)()(021 ttff
14、t 显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律显然，由上式给出的卷积的仍然满足交换律、结合律 以及分配律等性质。以及分配律等性质。P224 tt0)cos(ttd)cos(0 .sintt )()(21tftf ttd)sin(0 解解 ttt0)sin(tt0)cos(d P224 例例9.15 六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理卷积定理 )()(21tftf.)()(21sFsF 定理定理 021d)()(ettftft s 0021dd)()(e ttfft st Dt sttffdd)()(e21 证明证明 )()(21tftf 左边左边 021dd)()(e ttf
15、ft s tD t t(跳过跳过?)?)()(21tftf.)()(21sFsF 定理定理 六、卷积与卷积定理六、卷积与卷积定理2.卷积定理卷积定理 证明证明 左边左边 021dd)()(e ttfft s令令 txxxfxssd)(02ee ,)(2esFs 记为记为 01d)(IfIttfIt sd)(e2 其中其中 左边左边 )(d)(201esFfs )()(21sFsF 右边。右边。ttd)cos(cos0 tttd)2cos(cos210 .)sincos(21ttt 故有故有 ,11)(22 sssssF12 ss,cost 解解 由于由于 tt coscos )()(1sFtf
16、 P225 例例9.16 轻松一下利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：附：;d)()(0e ttfsFt s 在在 Laplace 变换及其性质中，如果取变换及其性质中，如果取 s 为某些为某些特定特定的值，的值，就可以用来求一些函数的广义积分。就可以用来求一些函数的广义积分。)(sF 0;d)(ettftt s sssFd)(0.d)(etttft s;d)()0(0 ttfF)0(F 0;d)(ttft 0d)(ssF 0.d)(tttf 注意在注意在 使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察使用这些公式时必须谨慎，必要时需要事先考察一下一下 s 的取值范围以及
17、广义积分的存在性。的取值范围以及广义积分的存在性。P221 注注 2cost由由 解解 0d2cosettt s,42 ss得得 .133 03d2cosettt42 ss3 s3 s利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：附：P221 例例9.11(1)cos1t 已知已知 解解 112 sss,)1(12 ss由由积分性质积分性质有有 cos1tt ssssd)1(12 1ln2122 ss s,1ln2122ss .2ln21 1 s 1 s 0dcos1etttt221ln21ss 即得即得 (返回返回)利用利用 Laplace 变换计算广义积分变换计算广义积分附：附：P221 例例9.11(2)
