1、6.5 同构及同态同构及同态 6.5.1 同同 态态 映映 射射 6.5.2 同同 构构 映映 射射 6.5.3 同同 态态 核核 6.5.1 同同 态态 映映 射射 v定义定义.设设G是一个群，其运算是是一个群，其运算是*；K是一是一个乘法系统，其运算为个乘法系统，其运算为，称，称G到到K的一个的一个映射映射是一个同态映射，如果对是一个同态映射，如果对G中任意元中任意元素素a，b，有，有 (a*b)=(a)(b)注意：注意：这个映射既不一定是单射也不一定这个映射既不一定是单射也不一定是满射。是满射。v例例.设设(G，*)，(K，+)是两个群，令是两个群，令 ：x e，xG，其中其中e是是K的
2、单位元。的单位元。则则是是G到到K内的映射，且对任意内的映射，且对任意a,bG，有有 (a*b)=e=e+e=(a)+(b)。即，即，是是G到到K的同态映射。的同态映射。(G)=e是是K的一个子群的一个子群,记记G(G)。v例例.设设G1是整数加法群，是整数加法群，G2是模是模n的整数加的整数加法群，法群，G2上的运算上的运算 如下：如下：a b=令令：x x(mod n)，xG1，则则是是G1到到G2的满射，且对任意的满射，且对任意a,bG1，有有 (a+b)=a+b(mod n)=a(mod n)b(mod n)=(a)(b)。是是G1到到G2的满同态映射。的满同态映射。nbanbanba
3、ba当当,v 例例.设设G为整数加群，为整数加群，G 为实数加群，为实数加群，令令 ：x -x，xG，则则是是G到到G内的映射，内的映射，且对任意且对任意x1,x2 G，有有(x1+x2)=-(x1+x2)=(-x1)+(-x2)=(x1)+(x2)，所以所以是是G到到 G的同态映射，显然是单射的同态映射，显然是单射但不是满射，但不是满射，(G)=Z 是是G的子群。的子群。设设G是一个群，是一个群，K是一个乘法系统，是一个乘法系统，是是G到到K中的一个同态映射，中的一个同态映射，G=(G)，则，则v G是一个群，是一个群，v G的单位元的单位元1就是就是G的单位元的单位元1的映像的映像(1)，
4、即，即，1=(1)；v 对任意对任意a G，（(a)）-1=(a-1)。称称G和和G同态，记为同态，记为GG。定理定理6.5.1例例.对群对群(Z，+)和和(C*，)，若令，若令 ：n in，n Z，其中其中i是是C的虚数单位。的虚数单位。则则是是Z到到C*内的一个映射，且对内的一个映射，且对m,nZ，有有 (m+n)=im+n=imin=(m)(n)。即，即，是是(Z，+)到到(C*，)的同态映射，的同态映射，Z(Z)。(Z)=1，-1，i，-i是是C*的一个子群。的一个子群。v例例.群（群（R，+）和）和(R+,)是同态的，是同态的，因为若令因为若令：x ex，xR，则则是是R到到R+的的
5、1-1映射，且对映射，且对任意任意x1,x2 R，有有(x1+x2)=ex1+x2=ex1 ex2=(x1)(x2)，是（是（R，+）到）到(R+,)的满同态映射。的满同态映射。证明证明(1)因为群因为群G非空，至少非空，至少1G，故至少，故至少 (1)G，即，即G非空。非空。(2)任取任取aG，bG，往证往证abG。因有因有a,bG,使得使得 a=(a),b=(b)，故按故按的同态性，的同态性，ab=(a)(b)=(ab)，而而ab G,因而因而ab=(ab)(G),即即 ab G。(3)往证往证G中有结合律成立：中有结合律成立：任取任取a,b,cG，往证，往证 a(bc)=(ab)c。因有
6、因有a,b,cG,使得使得 a=(a),b=(b),c=(c)，故按故按的同态性，的同态性，a(b c)=(a)(b)(c)=(a(bc)(ab)c=(a)(b)(c)=(ab)c)因群因群G中有结合律成立中有结合律成立,所以所以 a(bc)=(ab)c。于是于是(a(bc)=(ab)c)。因此，因此，a(b c)=(ab)c。(4)往证往证G有左壹而且就是有左壹而且就是(1)，即证对于任意的即证对于任意的aG，有，有(1)a=a。因有因有aG,使得使得 a=(a)，按，按的同态性的同态性(1)a=(1)(a)=(1a)=(a)=a。(5)往证往证G中任意元素中任意元素(a)有左逆且就是有左逆
7、且就是(a-1)。由由aG，且，且G是群，知是群，知a-1G，故，故(a-1)G。由由的同态性的同态性(a-1)(a)=(a-1a)=(1)。综上，综上，G做成一个群，做成一个群，G的壹的壹1=(1)，G中中(a)的逆是的逆是(a-1)。6.5.2 同同 构构 映映 射射 v定义定义.设设G是一个群，是一个群，K是一个乘法系统，是一个乘法系统，是是G到到K内的一个同态映射，如果内的一个同态映射，如果是是G到到(G)上的上的1-1映射，则称映射，则称是同构映射。是同构映射。称称G与与(G)同构，记成同构，记成G (G)。例例.群（群（R+，）和（）和（R，+）是同构的。因为若）是同构的。因为若令
8、令 ：xlogx，xR+，则则是是R+到到R上的上的1-1映射，且对任意映射，且对任意a,bR+，(ab)=log(ab)=log a+log b=(a)+(b)。故故是（是（R+，）到（）到（R，+）上的同构映射。）上的同构映射。Log x是以是以e为底的为底的x的对数，若取的对数，若取(x)=log2 x，或，或若取若取(x)=log10 x，则得到，则得到R+到到R上的不同的同构上的不同的同构映射。映射。由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同由此可见，群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射。构映射。例例.（R*，）与（）与（R，+）不可能同构。）不可能同构。证明：证明：用反证法。假设
9、（用反证法。假设（R*，）与（）与（R，+）同构，可设映射同构，可设映射为为R*到到R上的一个同构映上的一个同构映射，于是必有射，于是必有：1 0，-1 a，a 0。从而，从而，(1)=(-1)(-1)=(-1)+(-1)=a+a=2a。则有则有2a=0，a=0，与，与a 0矛盾。故，原假矛盾。故，原假设不对，（设不对，（R*，）与（）与（R，+）不可能同构。）不可能同构。例例.无限循环群同构于整数加法群。无限循环群同构于整数加法群。证明：证明：设设G=（g）是无限循环群，）是无限循环群，Z为整数为整数加法群，则对加法群，则对aG，n Z，使得，使得a=gn，令令f：a n。不难验证不难验证
10、f 是是G到到Z上的上的1-11-1映射；任取映射；任取a,ba,bG，则存在，则存在i,ji,jZ，使得，使得a=gi，b=gj，f(f(gi gj)=f()=f(gi+j)=i+j=f()=i+j=f(gi)+f()+f(gj),),因此，因此，f 是是G到到Z上的同构映射，即上的同构映射，即G Z。自同构映射自同构映射v定义定义.设设G是一个群，若是一个群，若是是G到到G上的同上的同构映射，则称构映射，则称为自同构映射。为自同构映射。v例例.恒等映射，称为恒等自同构映射。恒等映射，称为恒等自同构映射。v例例.设（设（Z，+）是整数加法群，令）是整数加法群，令：n -n，nZ，则则是是Z的
11、一个自同构映射。的一个自同构映射。v例例.设设G是一个是一个Abel群，将群，将G的每个元素都的每个元素都映到其逆元素的映射映到其逆元素的映射：a a-1(aG）是是G的一个自同构映射的一个自同构映射:(ab)=(ab)-1=b-1a-1=a-1b-1=(a)(b)6.5.3 同同 态态 核核 v定义定义.设设是是G到到G上的一个同态映射，命上的一个同态映射，命N为为G中所有变成中所有变成G中中1的元素的元素g的集合，记的集合，记为为-1(1)，即，即N=-1(1)=g gG,(g)=1则称则称N为为的核。的核。v例例.设设G是整数加法群，是整数加法群，G是模是模3的加法群：的加法群：0，1，
12、2，：x x（mod 3），），xG，则则是是G 到到G上的同态映射。上的同态映射。的核为的核为3G。群的第一同态定理群的第一同态定理定理定理6.5.2 设设是群是群G到到G上的一个上的一个同态映射，于是，同态映射，于是，v 的核的核N是是G的一个正规子群，的一个正规子群，v 对于对于G的任意元素的任意元素a，-1(a)=x|xG,(x)=a是是N在在G中的一个陪集，因此，中的一个陪集，因此，G的的元素和元素和N在在G中的陪集一一对应。中的陪集一一对应。证明证明先证先证N是是G的子群。的子群。1）证）证N非空。因为非空。因为(1)=1，所以，所以1N。2）若）若aN，bN，往证，往证ab-1N
13、。由。由（a）=1，（b）=1，可得可得(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1 =1(1)-1=1，故故ab-1N。再证再证N是是G的正规子群的正规子群，即证对于任意的，即证对于任意的gG，gNg-1 N。事实上，。事实上，(gNg-1)=(g)(N)(g-1)=(g)1(g)-1=(g)(g)-1=1。故故gNg-1 N。（任取（任取x gNg-1,则有则有n N，使得，使得x=gng-1,故(x)=(gng-1)=(g)(n)(g-1)=(g)1(g-1)=(g)(g)-1=1，因此，因此，x N。最后证明：最后证明：若若aG而而(a)=a,往证往证 -1(a)=)=Na。事实上
14、，对任意的事实上，对任意的bG，b-1(a)iff)iff（b）=a iff(iff(b)()(a)-1=1 iff(iff(b)()(a)-1 =(b)()(a-1)=(ba-1)=1 iff iff b a-1N iff iff bNa 引理引理1设设N是群是群G的正规子群。若的正规子群。若A，B是是N的的陪集，则陪集，则AB也是也是N的陪集。的陪集。证明：证明：因为因为N是正规子群，故是正规子群，故Nb=bN，今设今设A=aN，B=bN，则，则AB=aNbN=abNN=abN，所以所以AB也是也是N的的陪集陪集。群的第二同态定理群的第二同态定理定理定理6.5.3 设设N是群是群G的正规子
15、群，于是按的正规子群，于是按照陪集的乘法，照陪集的乘法，N的所有陪集作成一个的所有陪集作成一个群群 。命命 ：aaN，a G,则则是是G到到 上的一个同态映射，且上的一个同态映射，且的核就的核就是是N。v 称为称为G对于对于N的商群，记为的商群，记为GN。若若G是有限群，则商群中元素个数等于是有限群，则商群中元素个数等于N在在G中的指数，即等于陪集的个数。中的指数，即等于陪集的个数。GGG证明证明首先证明首先证明G 。1)1)显然，显然，是是G到到 上的映射。上的映射。2 2）任取）任取a,ba,bG，(a)()(b)=aNbN=abN=(ab)，故故是是G到到 上的同态映射上的同态映射.因此
16、，因此，是一是一个群。个群。其次证明其次证明的核是的核是N N。因。因 单位元就是单位元就是N本本身，所以，身，所以，核核=g(g)=N,gGG =ggN=N,gGG=ggN=N。GGGGG例例.设设R是整数环，是整数环，N=5I=,-10,-5,0,5,10,，则则N是是G的正规子群。令的正规子群。令 为为G中中N的所有的所有陪集作成的集合：陪集作成的集合：，=,-10,-5,0,5,10,=N=0+N，=,-9,-4,1,6,11,=1+N，用用表示陪集间的加法，则表示陪集间的加法，则 =(1+N)(4+N)=(1+4)+N=N=，在陪集加法下是一个群，若命在陪集加法下是一个群，若命：aa
17、+N，则则是是G到到 上的同态映射上的同态映射,且且的核就是的核就是N。0012341G140GG群的群的第三同态定理第三同态定理 定理定理6.5.4 设设是群是群G到到G上的一个同态映上的一个同态映射，若射，若的核为的核为N，则，则G G/N。v例例.设设G是整数加法群，是整数加法群，：xx（mod 5），），xG，则，则 G=（G）=0，1，2，3，4是模是模5的加法群，的加法群，是是G 到到G上的同态映射。上的同态映射。的核为的核为N=5G，G/N=,，则则G G/N。01234 证明证明 因为因为G的元素和的元素和G/N的元素一一对应，设在这的元素一一对应，设在这个一一对应之下，个一一
18、对应之下，G的元素的元素a和和b分别对应分别对应G/N的元素的元素aN 和和bN：a aN，b bN。于是于是a=（a），），b=（b），而且），而且ab=（ab），），可见可见G的元素的元素ab所对应的所对应的G/N的元素是的元素是abN=aNbN：ab aNbN。所以所以G和和G/N同构。同构。证法二：证法二：建立映射建立映射：a -1(a),aG。往证往证是是G到到G/N上的同构映射。上的同构映射。v证证是是G到到G/N内的映射。内的映射。任取任取aG,则有则有aG,使使a=(a)。由定理。由定理6.5.2，知，知-1(a)=aN。由。由定义，定义，(a)=-1(a)=aNG/N。v证证
19、是满映射。是满映射。任取任取aNG/N，设，设(a)=a，则，则aG，由定理由定理6.5.2，知，知(a)=-1(a)=aN。v证证是单射。是单射。任取任取a,bG,若若ab，证，证(a)(b)。若。若不然不然,(a)=(b)。设设a=(a),b=(b),a,bG,于是，于是，-1(a)=-1(b)，即，即aN=bN。又又a=a1aN,故故abN，即有，即有nN，使，使a=bn。因此，因此，(a)=(bn)=(b)(n)=(b)，与与ab矛盾。矛盾。v证证是是G到到G/N的同态映射。的同态映射。任取任取a,bG,设设a=(a),b=(b),a,bG,则则(ab)=(a)(b)=(ab)=-1(
20、ab)=abN=aNbN=-1(a)-1(b)=)=(a)(b).综上，综上，是是G到到G/N上的同构映射，即上的同构映射，即G G/N。G中子群与中子群与G中子群的关系中子群的关系 设设为群为群G到到G上的同态映射上的同态映射。v结论结论1.若若H为为G之子群，则之子群，则 H=(H)亦为亦为G之子群。之子群。证明：证明：由由H为为G之子群，知之子群，知H为群，再为群，再 由由为群为群G到到G上的同态映射知，上的同态映射知，为群为群H到到H上的同态映射上的同态映射,由由定理定理6.5.1知，知，H亦亦为群，而为群，而 H=(=(H)G，故，故为为G之子群。之子群。结论结论2.若若H为为G之子
21、群，则之子群，则 H=-1（H）亦必为）亦必为G之子群，之子群，其中其中-1（H）=x|xG,(x)H 。证明：证明：v-1（H）非空，因）非空，因(1)=1(1)=1H,所以所以11-1（H）；）；v若若a，b-1(H)，即，即(a),(b)H，因，因H为子群，故为子群，故(ab-1)=(a)(b-1)=(a)(b)-1H，因之因之 ab-1-1（H）。）。思考题思考题v(-1(H)等于等于H吗吗？v-1(H)等于等于H吗吗？v例例.G是模是模12的整数加法群，的整数加法群，G=0,1,11,G是模是模4的整数加法群，的整数加法群，G=0,1,2,3,令令：x x(mod 4)，xG，则则为
22、为G到到G上的同态映射，上的同态映射，的核为的核为N=0,4,8。取取G的子群的子群H=0,6，则，则 H=(H)=0,2是是G的子群，而的子群，而-1(H)=-1(0,2)=0,4,8,2,6,10=H+N=0,6+0,4,8若取若取H=0,2，-1(H)=0,4,8,2,6,10,(-1(H)=0,2=H。v结论结论3.-1(H)=HN证明：证明：(1)任取任取aHN，则有，则有hH,nN，使得，使得a=hn。故。故(a)=(hn)=(h)(n)=(h)(H)，因此，因此，a-1(H),HN-1（H）；(2)任取任取a-1（H），往证），往证aHN。因因(a)=h(H)，又，又(H)为为H
23、之映像，故之映像，故必有必有hH使使(h)=h=(a)，即即(h-1a)=(h)-1(a)=(1)，故，故，h-1aN，即有，即有nN，使得，使得h-1a=n，故故a=hnHN,-1（H）HN；总之总之,-1（H）=HN。v结论结论4.4.若若 N H，则，则HN=H,即即 -1(H)=)=H。证明证明：（1）因因1N，故，故H=H1 HN。（2）若若 N H，则，则HN HH=H。因此，因此，HN=H。定理定理6.5.5G与与N之间之间的子群和的子群和G的子群一一对应，的子群一一对应，大群对应大群，小群对应小群，大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。正规子群对应正规子群。证明：证
24、明：一一对应已证一一对应已证:v若若 N H，则，则-1(H)=)=H。v(-1(H)=)=H。只需证明大群对应大群，小群对应小群，只需证明大群对应大群，小群对应小群，正规子群对应正规子群。正规子群对应正规子群。v 设设H1，H2是群是群G的子群，且的子群，且H1 H2，往证往证(H1)(H2)。任取任取h2(H2)，则有，则有h2 H2，使得，使得(h2)=)=h2.由由H1 H2，知，知h2 H1，故，故(h2)(H1)，即即h2(H1)。v设设H1，H2是群是群G的子群，且的子群，且H1 H2，往证往证-1(H1)-1(H2)。任取任取h2-1(H2)，于是有，于是有(h2)H2，而而H
25、1 H2，故，故(h2)H1，所以，所以h2-1(H1)，-1(H1)-1(H2)。v 证明证明H是是G的正规子群必要而且只要的正规子群必要而且只要 H=(H)是是G的正规子群。的正规子群。若若H是是G的正规子群，任取的正规子群，任取 G中元素中元素g，往证往证gHg-1 H。任取任取x gHg-1，则不妨设，则不妨设x=ghg=(g)(h)(g)-1 =(g)(h)(g-1)=(ghg-1)由由H是是G的正规子群，知的正规子群，知gHg-1 H，而，而ghg-1 gHg-1，故，故ghg-1 H。因此，。因此，x=(ghg-1)(H)=H.即，即，gHg-1 H,H=(H)是是G的正规子群。的正规子群。若若H是是G的正规子群，任取的正规子群，任取 G中元素中元素g，往证往证gHg-1 H。任取任取x gHg-1，设，设x=ghg-1，则，则(x)=(ghg-1)=(g)(h)(g-1)=(g)(h)(g)-1=g h g-1 由由H是是G的正规子群，知的正规子群，知gHg-1 H，而，而g h g-1 gHg-1，故，故(x)=g h g-1 H。因此，因此，x -1(H)。由。由 N H，则，则-1(H)=H，所以，所以，x H，即，即，gHg-1 H,H是是G的正规子群。的正规子群。
