1、响应面法在试验设计中应用响应面法在试验设计中应用2007-12-25 科研过程中，为了提高目标产物产量科研过程中，为了提高目标产物产量、品质，或者品质，或者是减低成本，都需要做试验。是减低成本，都需要做试验。如何安排试验，有一个方法问题如何安排试验，有一个方法问题不好的试验设计方法，即使做了大量的试不好的试验设计方法，即使做了大量的试验，也未必能达到预期的目的；验，也未必能达到预期的目的；一个好的试验设计方法，既可以减少实验次数，缩短试验时间和一个好的试验设计方法，既可以减少实验次数，缩短试验时间和避免盲目性，又能迅速得到有效的结果。避免盲目性，又能迅速得到有效的结果。什么叫做（优化）试验设计
2、方法？什么叫做（优化）试验设计方法？把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，把数学上优化理论、技术应用于试验设计中，科学的安排试验、处理试验结果的方法。科学的安排试验、处理试验结果的方法。采用科学的方法去安排试验，处理试验结果，采用科学的方法去安排试验，处理试验结果，以最少的人力和物力消费，在最短的时间内以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的生产和科研成果的最有效取得更多、更好的生产和科研成果的最有效的技术方法。的技术方法。优化试验设计方法起源优化试验设计方法起源 上世纪上世纪30年代，由于农业试验的需要，费年代，由于农业试验的需要，费歇尔歇尔(R.A.Fisher)在试验设计
3、和统计分析方面在试验设计和统计分析方面做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统做出了一系列先驱工作，从此试验设计成为统计科学的一个分支。计科学的一个分支。上世纪上世纪40年代，在二次世界大战期间，美年代，在二次世界大战期间，美国军方大量应用试验设计方法。国军方大量应用试验设计方法。随后，随后，F.Yates,R.C.Bose,O.Kempthome,W.G.Cochran,D.R.Cox和和G.E.P.Box对试验设计都作出对试验设计都作出了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完了杰出的贡献，使该分支在理论上日趋完善，在应用上日趋广泛。善，在应用上日趋广泛。50年代，日本统计学家田口玄一将试验设年
4、代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，在方法计中应用最广的正交设计表格化，在方法解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使解说方面深入浅出为试验设计的更广泛使用作出了众所周知的贡献用作出了众所周知的贡献。我国优化试验设计方法我国优化试验设计方法 60末期末期代，华罗庚教授在我国倡导与普及的代，华罗庚教授在我国倡导与普及的“优优选法选法”，如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等。，如黄金分割法、分数法和斐波那契数列法等。数理统计学者在工业部门中普及数理统计学者在工业部门中普及“正交设计正交设计”法法。7070年代中期，优选法在全国各行各业取得明显成效。年代中期，优选法在全国各行
5、各业取得明显成效。1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素有多余五因素的试验，希望每个因素有多余10个水个水平，而平，而试验总数又不超过试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不，显然优选法和正交设计都不能用，随后，方开泰教授（中国科学院应用数学研能用，随后，方开泰教授（中国科学院应用数学研究所）和王元院士提出究所）和王元院士提出“均匀设计均匀设计”法，这一方法法，这一方法在导弹设计中取得了成效。在导弹设计中取得了成效。优化试验设计在科学研究中的地位与意义优化试验设计在科学研究中的地位与意义 1.试验设计方法是一项通
6、用技术，是当代科技人员必试验设计方法是一项通用技术，是当代科技人员必须掌握的技术方法。须掌握的技术方法。2.科学地安排实验，科学地安排实验，以最少的人力和物力消费，在最以最少的人力和物力消费，在最短的时间内取得更多、更好的科研成果短的时间内取得更多、更好的科研成果。简称为：。简称为：多、快、好、省。多、快、好、省。可应用于：可应用于：提高试验效率、优化产品设计、改进工艺技术等。提高试验效率、优化产品设计、改进工艺技术等。试验设计流程建立试验目标。明确试验指标。寻找对试验指标的可能影响因素。识别可控因素和噪声因素。选择适用的试验设计方法安排和实施试验。分析试验数据，寻找因素水平的最优组合。验证和
7、应用试验结果，评价试验绩效。Response surface methodology缩写缩写RSM响应面设计方法响应面设计方法(Response Surface Methodology(Response Surface Methodology，RSM)RSM)是利用是利用合理的试验设计方法合理的试验设计方法并通过实验得到一定并通过实验得到一定数据，采用数据，采用多元二次回归多元二次回归方程来拟合因素与响应值之方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工寻求最优工艺参数艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。，解决多变量问题的一种统计方
8、法。什么是什么是RSM？在响应分析中，观察值y可以表述为：其中 是自变量 的函数，是误差项。在响应面分析中，首先要得到回归方程，然后通过对自变量 的合理取值，求得使 最优的值，这就是响应面设计试验的目的。)，(lxxxfy21)，(lxxxf21lxxx，21)，(lxxxfy21 lxxx，21确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；因素个数因素个数2-72-7个，一般不超过个，一般不超过4 4个；个；所有因素均为计量值数据；所有因素均为计量值数据；试验区域已接近最优区域；试验区域已接近最优区域；基于基于2 2水平的全因子正交试验。水平的全因子正交试验。适用范
9、围适用范围中心复合试验设计中心复合试验设计(Central Composite Design，CCD)；Box-Behnken试验设计。试验设计。响应面方法分类响应面方法分类1.确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量值数据；2.创建“中心复合”或“Box-Behnken”设计；3.确定试验运行顺序(Display Design)；4.进行试验并收集数据；5.分析试验数据；6.优化因素的设置水平。一般步骤一般步骤1.1.中心复合试验设计中心复合试验设计Central Composite Design,CCD 立方点立方点 轴向点轴向点 中心点中心点 区组区组 旋转性旋
10、转性基本概念基本概念三因子中心复合设计布点示意图 立方点立方点(cube point)(cube point)立方点，也称立方体点、角点，即2水平对应的“-1”和“+1”点。各点坐标皆为+1或-1。在k个因素的情况下，共有2k个立方点 轴向点轴向点(axial point)(axial point)轴向点，又称始点、星号点，分布在轴向上。除一个坐标为+或-外，其余坐标皆为0。在k个因素的情况下，共有2k个轴向点。中心点中心点(center point)(center point)中心点，亦即设计中心，表示在图上，坐标皆为0。区组区组(block)(block)也叫块。设计包含正交模块，正交模块
11、可以允许独立评估模型中的各项及模块影响，并使误差最小化。但由于把区组也作为一个因素来安排，增加了分析的复杂程度。旋转性旋转性(rotatable)(rotatable)旋转设计具有在设计中心等距点上预测方差恒定的性质，这改善了预测精度。的选取的选取在的选取上可以有多种出发点，旋转性是个很有意义的考虑。在k个因素的情况下，应取=2k/4当k=2，=1.414；当k=3，=1.682；当k=4，=2.000；当k=5，=2.378 按上述公式选定的值来安排中心复合试验设计(CCD)是最典型的情形，它可以实现试验的序贯性，这种CCD设计特称中心复合序贯设计(central composite cir
12、cumscribed design,CCC)，它是CCD中最常用的一种。如果要求进行CCD设计，但又希望试验水平安排不超过立方体边界，可以将轴向点设置为+1及-1，则计算机会自动将原CCD缩小到整个立方体内，这种设计也称为中心复合有界设计(central composite inscribed design,CCI)。这种设计失去了序贯性，前一次在立方点上已经做过的试验结果，在后续的CCI设计中不能继续使用。对于值选取的另一个出发点也是有意义的，就是取=1，这意味着将轴向点设在立方体的表面上，同时不改变原来立方体点的设置，这样的设计称为中心复合表面设计(central composite fa
13、ce-centered design,CCF)。这样做，每个因素的取值水平只有3个(-1,0,1)，而一般的CCD设计，因素的水平是5个(-,-1,0,1,),这在更换水平较困难的情况下是有意义的。这种设计失去了旋转性。但保留了序贯性，即前一次在立方点上已经做过的试验结果，在后续的CCF设计中可以继续使用，可以在二阶回归中采用。中心点的个数选择中心点的个数选择 满足旋转性的前提下，如果适当选择Nc，则可以使整个试验区域内的预测值都有一致均匀精度(uniform precision)。见下表：但有时认为，这样做的试验次数多，代价太大，Nc其实取2以上也可以；如果中心点的选取主要是为了估计试验误差
14、，Nc取4以上也够了。总之，当时间和资源条件都允许时，应尽可能按推荐的Nc个数去安排试验，设计结果和推测出的最佳点都比较可信。实在需要减少试验次数时，中心点至少也要2-5次。2.Box-Behnken2.Box-Behnken试验设计试验设计将各试验点取在立方体棱的中点上三因子布点示意图 在因素相同时，比中心复合设计的在因素相同时，比中心复合设计的试验次数少；试验次数少；没有将所有试验因素同时安排为高没有将所有试验因素同时安排为高水平的试验组合，对某些有安全要求水平的试验组合，对某些有安全要求或特别需求的试验尤为适用；或特别需求的试验尤为适用；具有近似旋转性，没有序贯性。具有近似旋转性，没有序
15、贯性。特点特点 拟合选定模型；拟合选定模型；分析模型的有效性：分析模型的有效性：P P值、值、R R2 2及及R R2 2(adj)(adj)、s s值、值、失拟分析、残差图等；失拟分析、残差图等；如果模型需要改进，重复如果模型需要改进，重复1-31-3步；步；对选定模型分析解释：等高线图、曲面图；对选定模型分析解释：等高线图、曲面图；求解最佳点的因素水平及最佳值；求解最佳点的因素水平及最佳值；进行验证试验。进行验证试验。3.3.分析响应面设计的一般步骤分析响应面设计的一般步骤4.4.响应面设计的响应面设计的SASSAS实现实现 SAS 全球专业认证 SAS专业认证是一项拥有极高国际声誉的专业
16、认证，在欧美等国的职场上流行的一句话“If you have a SAS certification,You will never lose your job”。获取SAS全球专业认证，既是你自身技术能力的体现，也将帮助您开创美好的未来，在激烈的竞争中处于领先位置。SAS的模块化结构 SAS系统是一个组合软件系统，连同正在开发的模块，它一共由50个左右的功能模块组合而成。SAS的基本部分是SAS/BASE模块，该模块是SAS系统的核心，承担着主要的数据管理任务，并管理SAS的用户使用环境，进行用户语言的处理，调用其它SAS模块和产品。在SAS/BASE的基础上，用户还可以增加各种模块而增加不同
17、的功能，如SAS/STAT（统计分析模块）、SAS/GRAPH（绘图模块）、SAS/OR（运筹学模块）、SAS/IML（交互式矩阵程序设计语言模块）等。菜单栏菜单栏命令栏命令栏工具栏工具栏窗体窗体窗口栏窗口栏状态栏状态栏打印预览打印预览新建新建打开打开保存保存打印打印剪切剪切复制复制粘贴粘贴撤销撤销建立新库建立新库资源浏览器窗口资源浏览器窗口执行执行清除清除暂停暂停帮助帮助进入方法Solution Analysis Design of Experiments 点Yes 提供ADX 模块的操作信息或 点No 则直接进入ADX 模块工具栏上第3-8 个图标分别可进入响应面设计 以下为响应面设计的一
18、个实例点击后选择自变量与响应变量点击后录入试验结果，即响应变量值录入试验结果后注:本例输入的自变量已是编码自变量(coded)故输出coded 与uncoded 没有区别Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 9 36.465 36.465 4.0517 4.08 0.019 Linear 3 7.789 7.789 2.5962 2.62 0.109 Square 3 13.386 13.386 4.4619 4.50 0.030 Interaction 3 15.291 15.291 5.0970 5.14 0.021Residual Er
19、ror 10 9.920 9.920 0.9920 Lack-of-Fit 5 7.380 7.380 1.4760 2.91 0.133 Pure Error 5 2.540 2.540 0.5079 Total 19 46.385S=0.9960 R-Sq=78.6%R-Sq(adj)=59.4%此值较大，说明二次多项式回归效果比较好。此值大于0.05，表示二次多项式回归模型正确。此值小于0.05的项显著有效，回归的整体、二次项和交叉乘积项都显著有效，但是一次项的效果不显著。输出结果：二次多项式回归方差分析表输出结果：二次多项式回归方差分析表Term Coef(coded)SE Coef
20、T P Coef(uncoded)Constant 10.4623 0.4062 25.756 0.000 12.4512A -0.5738 0.2695 -2.129 0.059 0.9626B 0.1834 0.2695 0.680 0.512 -2.2841C 0.4555 0.2695 1.690 0.122 -1.4794A*A -0.6764 0.2624 -2.578 0.027 -0.2676B*B 0.5628 0.2624 2.145 0.058 1.1164C*C -0.2734 0.2624 -1.042 0.322 -0.2388A*B -0.6775 0.3521
21、-1.924 0.083 -0.6001A*C 1.1825 0.3521 3.358 0.007 0.6951B*C 0.2325 0.3521 0.660 0.524 0.3060输出结果：二次多项式回归系数及显著性检验输出结果：二次多项式回归系数及显著性检验对因素实际值的回归系数P值大的项不显著对编码值的回归系数回归方程的可信程度分析回归方程的可信程度分析T T检验检验计算得到的计算得到的T T如果大于如果大于T T临界，临界，表表示回归效果好，否则，说明回示回归效果好，否则，说明回归效果不好。归效果不好。F F检验检验计算得到的计算得到的F F如果大于如果大于F F临界，临界，表表示随
22、机误差引起的波动较小，示随机误差引起的波动较小，回归效果好，否则，说明回归回归效果好，否则，说明回归效果不好。效果不好。标准差标准差s s 标准差标准差s s的值小，表示回归效果的值小，表示回归效果比较好；比较好；特别对于同一组数据的不同回归特别对于同一组数据的不同回归方程，比较其回归标准差的大小，方程，比较其回归标准差的大小，也是评价方程优劣的重要指标之一。也是评价方程优劣的重要指标之一。P P值值 在对回归系数的分析以及对在对回归系数的分析以及对回归方程的方差分析中，回归方程的方差分析中，P P值小值小于于0.050.05表示回归方程或系数显表示回归方程或系数显著，回归效果比较理想；著，回
23、归效果比较理想；P P值大于值大于0.050.05表示不显著，回表示不显著，回归效果不好。归效果不好。R R2 2和和R R2 2(adj)(adj)R R2 2 称为多元相关的相关指数，也称决定系称为多元相关的相关指数，也称决定系数，它表示用回归方程进行预测的可靠；数，它表示用回归方程进行预测的可靠；对于一元回归，对于一元回归，R=R=相关系数相关系数r r；R R2 2(adj)(adj)是对回归方程式中变量过多的一种是对回归方程式中变量过多的一种调整，调整，R R2 2(adj),(adj),其中其中n n为观测为观测值的数量，值的数量，k k为回归方程的项数；为回归方程的项数；R R2
24、 2和和R R2 2(adj)(adj)接近接近1 1，并且两者接近，表示回，并且两者接近，表示回归方程效果好；否则，说明回归效果不显著。归方程效果好；否则，说明回归效果不显著。)()1()1(12knnR-残差分析残差分析v 残差为实际值和预测值之差。残差为实际值和预测值之差。v残差服从以残差服从以0 0为均值的正态随机为均值的正态随机分布，则回归效果好。分布，则回归效果好。失拟分析失拟分析v 失拟分析的原假设为回归方失拟分析的原假设为回归方程没有失拟。程没有失拟。v注意：如果注意：如果P0.05P0.05，则回归，则回归方程没有失拟，即拟合良好；方程没有失拟，即拟合良好；P0.05P0.0
25、5，则回归方程失拟，即，则回归方程失拟，即拟合欠佳。拟合欠佳。因子最优水平值最优预测值 在研究大豆产量在研究大豆产量Y Y的试验中，考虑氮肥的试验中，考虑氮肥A A、磷肥磷肥B B、钾肥、钾肥C C这三种肥料的施肥量。每个这三种肥料的施肥量。每个因素取两个基本水平，采用中心复合试验，因素取两个基本水平，采用中心复合试验，其中：其中：氮肥的编码值-1和+1对应的实际值是2.03和5.21;磷肥的编码值-1和+1对应的实际值是1.07和2.49;钾肥的编码值-1和+1对应的实际值是1.35和3.49;例例6.2-1 6.2-1 大豆施肥量最优化设计大豆施肥量最优化设计大豆产量试验设计与结果表大豆产
26、量试验设计与结果表 我校化学化工学院某研究小组在粘合剂我校化学化工学院某研究小组在粘合剂的试制中，经过因素的筛选，得知的试制中，经过因素的筛选，得知反应温反应温度和反应时间度和反应时间是两个关键因素，根据前期是两个关键因素，根据前期试验及经验判断，拟定因素水平表如下：试验及经验判断，拟定因素水平表如下：例例6.2-2 6.2-2 粘合剂生产条件优化粘合剂生产条件优化-+A 反应温度()200300B 反应时间(s)4070因素水平v 小组首先进行了小组首先进行了2 2因素因素2 2水平的全因子试水平的全因子试验，同时在中心点处也作了验，同时在中心点处也作了3 3次试验；次试验；v 分析发现试验
27、数据有明显的弯曲，说明分析发现试验数据有明显的弯曲，说明单纯拟合线性方程是不够的；因此补做单纯拟合线性方程是不够的；因此补做4 4次次轴向点上的试验，构成一个完整的响应曲轴向点上的试验，构成一个完整的响应曲面设计，拟合非线性方程；面设计，拟合非线性方程；v 由于确信补做试验的条件与上批都相同，由于确信补做试验的条件与上批都相同，因此两批数据可以直接在一起进行分析；因此两批数据可以直接在一起进行分析；v由于经费限制，未加做中心点。由于经费限制，未加做中心点。用用SASSAS处理处理吧吧 太原某公司生产的塑胶零件，有一个关太原某公司生产的塑胶零件，有一个关键尺寸键尺寸2522522mm2mm因变形
28、而难于有效控制。因变形而难于有效控制。经山西大学某研究小组的前期研究和分析经山西大学某研究小组的前期研究和分析判断，确定引起零件变形的关键因素为注判断，确定引起零件变形的关键因素为注塑时的塑时的射出压力、保持压力和射出时间射出压力、保持压力和射出时间。小组确信三个因素的交互作用对输出指标小组确信三个因素的交互作用对输出指标有重要影响，并怀疑因素的非线性影响也有重要影响，并怀疑因素的非线性影响也很重要。因此决定选择很重要。因此决定选择CCDCCD设计进行试验。设计进行试验。例例6.2-3 6.2-3 塑胶成型工艺改进塑胶成型工艺改进因素水平表如下：因素水平表如下：-+A 射出压力12001400
29、B 保持压力700800C 射出时间1.21.6因素水平让我们用让我们用MINITABMINITAB设计和分析实验设计和分析实验 一种响应面设计类型，不包含嵌入因子或部分因子设计。Box-Behnken 设计具有位于试验空间边缘中点处的处理组合，并要求至少有三个因子。下图所示为含三个因子的 Box-Behnken 设计。图上的点表示进行的试验运行：使用这些设计，可以有效估计一阶和二阶系数。因为 Box-Behnken 设计的设计点通常较少，所以它们的运行成本比具有相同数量因子的中心复合设计的运行成本低。但是，因为它们没有嵌入因子设计，所以不适用于顺序试验。如果您知道过程的安全操作区域，Box-
30、Behnken 设计也非常有用。中心复合设计通常具有位于“立方体”以外的轴点。这些点可能不在相关区域内，也可能由于超出安全操作限制而无法运行。Box-Behnken 设计没有轴点，因此，您可以确信所有设计点都在安全操作区域内。Box-Behnken 设计还可以确保所有因子绝不会同时设置在高水平。Box-BehnkenBox-Behnken 设计设计试验点试验点例如，您要确定塑料部件的最佳注塑成型条件。可设置的因子包括：温度：190 和 210 压力：50Mpa 和 100Mpa 注塑速度：10 mm/s 和 50 mm/s对于 Box-Behnken 设计，设计点落在高、低因子水平及其中点的组
31、合处：温度：190、200 和 210 压力：50Mpa、75Mpa 和 100Mpa 注塑速度：10 mm/s、30 mm/s 和 50 mm/s是一类分辨率 III 的二水平因子试验设计，可用来以较小代价研究许多因子。使用 Plackett-Burman 设计可以在试验阶段的早期识别出最重要的因子。该设计通常用于 8 个或更多（最多可为 47 个）因子。在 Plackett-Burman 设计中，主效应与双因子交互作用项之间具有容易混淆的复杂关系。因此，应在假设双因子交互作用可以忽略时才使用这些设计来研究主效应。Plackett-Burman 设计的运行数始终为 4 的倍数（从 12 到 48）。因子数必须少于运行数。例如，使用含 12 个运行的设计可以估计多达 11 个因子的主效应。假设您要了解影响冰激淋纹理组织的各种因子：脂肪含量、巴氏灭菌法温度、均匀化过程、混合速度、提取温度、乳化剂、稳定剂和冷却速度。可以使用 Plackett-Burman 试验来确定最重要的主效应，使用因子或全因子设计进一步研究它们，然后使用响应曲面设计来优化您的过程。
