1、统计实务 项目5 动态数列的分析 1.了解动态数列的含义、构成及种类。 2.了解水平指标与速度指标的种类，并掌握各种指标的计算方法。 3.掌握现象变动的趋势分析。 2018年是淘宝推出 “双11购物节的第10年，张华和胡琴也参与过零点抢购的热潮， 移动互联网的快速发展，使得越来越多的在校学生也加入了 “双11的热潮当中。在短 短10年中，网络购物的发展突飞猛进，张华和胡琴准备研究2015-2018年我国网络购 物的发展情况。 任务1 编制动态数列 任务2 分析动态数列的水平指标 任务3 分析动态数列的速度指标 任务4 分析动态数列的发展趋势 任务1 为研究我国2015-2018 年网络购物用户
2、规模，张华和胡琴通过网络搜集有关数据：2015- 2018年，我国网民规模分别为6.68亿人、7.31亿人、7.51亿人、8.29亿人，而网络购物用户规 模分别为4.13亿人、4.48亿人、5.33亿人、6.10亿人。张华看若这组数据，发现网络购物用户 是在增长的。张华应该如何去分析这些数据呢？ 编制动态数列 知识链接 一 动态数列的含义及构成 动态数列是将同类社会经济现象的某种统计指标按照时间的先后顺序排列所形成的数列，又称时间 数列。 一是现象所属的时间。 第一 第二 二是与时间对应的统计指标数值。 动态数列由两个基本要素组成 20132017年年末我国个体户数 知识链接 二 动态数列的种
3、类 动态数列按指标的表现形式分为 绝对数动态数列、相对数动态数列 和 平均数动态数列。 绝对数动态数列是指将说明现象总体的总量指标按时间先后顺序排列而形成的数列，它反映了现象 在不同时间上所达到的规模或水平的变化情况。绝对数动态数列按其反映现象所属时间状态，可分为 时点数列 和 时期数列。 1. 绝对数动态数列 知识链接 (1) 时点数列 当绝对数动态数列中每项指标反映的是某种 现象在某一时点状态上所达到的规模或水平时， 这种动态数列就称为时点数列。在时点数列中， 两个时点之间的间距称为间隔。 (2) 时期数列 当绝对数动态数列中每项指标反映的是某种 现象在一定时期内的发展过程的总量时，这种动
4、 态数列就称为时期数列。在时期数列中，每个指 标所涉及的时间长度称为时期。 相对数动态数列是指将说明总体的相对指标按时间先后顺序排列起来而形成的数列，它反映了现象 间的数量对比关系和发展变化情况。 2. 相对数动态数列 某饮料有限公司2018年产品销售情况 知识链接 3. 平均数动态数列 平均数动态数列是指将说明总体的平均数指标按时间先后顺序排列起来而形成的数列，它反映了现 象总体某一标志一般水平的发展变化趋势。 20142018年我国居民人均可支配收入 做一做 请根据表中的要求在国家统计局网站查找相关信息并填写相应指标数值， 然后分析表中动态数列的种类。 20142018年我国若干经济指标
5、任务实施 STEP 1 绘制动态数列表格。 STEP 2 将相应数据填入表。 动态数列表格形式 20152018 年我国网民及网络购物用户规模 任务2 张华编制出2015-2018年我国网民规模及网络购物用户规模的动态数列后，发现该时间数 列仅仅反映近年我国网民及网络购物用户规模的发展趋势。如果她想要深入研究，对其动 态 水平指标进行分析，她该怎么做？ 分析动态数列的水平指标 知识链接 一 发展水平 动态数列中每项指标数值称为发展水平。它反映社会经济现象在各个时间所达到的规模或水平。发 展水平可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标，它是计算其他动态分析指标的基础。 动态数列a0，a1，a2
6、，an的首项指标数值a0称为最初水平，未项指标数值an称为最未水平，其余各项 a1，a2，an1称为中间水平。在进行动态分析时，我们把所研究的那项指标称为报告期水平或计算期水平， 把用作对比基础的那项指标称为基期水平。 发展水平在文字上习惯用 “增加到”“增加为”“降低到”“降低为”等来表示，在说明时 “到”字不能漏掉。 我国2000年的国内生产总值为100280.1亿元，2018年增加到900309.5亿元。我国2000年年末的总人口数为126743万人， 2018年年末增加到139538万人。 例 知识链接 二 平均发展水平 平均发展水平又称序时平均数或动态平均数，是动态数列中不同时期的发
7、展水平的平均数。 平均发展水平与一般平均水平的联系与区别 平均发展水平可以根据绝对数时间数列计算，也可以根据相对数时间数列或平均数时间数列来计算。绝对 数动态数列平均发展水平的计算方法是最基本的方法。 知识链接 1. 由绝对数动态数列计算平均发展水平（序时平均数） 绝对数动态数列分为 时期数列 和 时点数列，两者计算平均发展水平的方法有所不同。 由于时期数列中各项指标所属时期长短一般都相等，且具有可加性，因此可直接采用算术平均法来计算其序时 平均数。设a1，a2，an为时期数列中各期的发展水平，其计算公式为： (1) 由时期数列计算平均发展水平 式中：a为平均发展水平；ai为各期时期指标； n
8、为时期指标的项数。 根据相关资料，计算20142018年我国财政收入的年平均水平，其计算过程为： 例 计算结果表明，2014 2018年我国平均每年的财政收入为161639.37亿元。 知识链接 (2) 由时点数列计算平均发展水平 时点数列都是某种状态在某一瞬间状态的资料，两个时点之间存在着一定的间隔，因此严格来说， 时点数列都是间断的。但如果掌握了计算期内每一个时点上的统计资料，那么这个时点数列可以看成 连续时点数列，否则就是 间断时点数列 。 由连续时点数列计算序时平均数。 间隔相等的连续时点数列的计算公式为： 由间断时点数列求序时平均数。 如果掌握的是间隔相等的每期期初或期末资料， 则用
9、简单算术平均数分层计算序时平均数，即“首未 折半法”。其计算公式为： 知识链接 某市2018年6月上旬的最高气温情况如下表所示。 例 则该市2018年6月上旬的平均气温为 某饮料有限公司6月1日工人数为800人，因正值生产旺季，6月22日新招收100人，即增加到900人，则该饮料有限公司6月 份平均工人数为： 例 知识链接 某饮料有限公司第二季度生产工人人数资料见下表。计算第二季度平均工人数。 例 根据上述资料，先计算各月的平均工人数，其计算公式为： 即 4月份平均工人数 5月份平均工人数 6月份平均工人数 则 第二季度平均工人数 或 第二季度平均工人数 知识链接 如果掌握的是间隔不等的每期期
10、初或期未资料，则可以两个相邻时点指标先求平均数，然后用间隔 长度（f）为权数，用加权算术平均法来计算序时平均数。其计算公式为： 某饮料有限公司2018年瓶装汽水库存量资料见下表。计算其平均库存量。 例 该公司2018年平均库存量为： 知识链接 2. 由相对数动态数列计算平均发展水平 相对指标时间数列不能直接计算平均发展水平，要分别计算出相对指标分子、分母时间序列的序时 平均数，然后求比值，所得比值就是其序时平均数 其计算公式为： 式中：a 表示分子数列的序时平均数；b表示分母数列的序时平均数 由两个时期数列对比所形成 的相对指标时间数列，其计 算公式为： 由两个时点数列相应项对比所形成的相对指
11、标时间数列 计算序时平均数。其计算公式为： 知识链接 某饮料有限公司2018年第二季度瓶装汽水产量计划完成情况如下表所示。 例 该饮料有限公司第二季度瓶装汽水产量的平均计划完成程度为： 由于 将其代入公式，可得： 或 知识链接 做一做 请根据相关资料，分别推算某饮料有限公司2018年第二季度瓶装汽水产量的序时平均数。 某饮料有限公司 2018 年第二季度瓶装汽水产量计划完成清况 某饮料有限公司 2018 年第二季度瓶装汽水产量计划完成清况 知识链接 某饮料有限公司2014-2018年年末瓶装汽水库存量见下表，试计算该饮料有限公司2015-2018年橙味汽水占该公司汽水库存 总量的序时平均数。
12、例 该饮料有限公司2015-2018年橙味汽水占该公司汽水库存总量的序时平均数为： 计算结果表明，该饮料有限公司2015-2018年橙味汽水占该公司汽水库存总量的平均比重为39.38%。 知识链接 2. 由相对数动态数列计算平均发展水平 由时期数列和时点数列相应项对比所形成的相对数动态数列计算序时平均数。 此类数列的计算公式仍然是 ，具体计算时要根据数列中分子、分母指标性质分别求序时平均数，然 后加以对比。其计算公式为： 式中：n1表示时期数列的项数； n2表示时点数列的项数。 3. 由平均数动态数列求平均发展水平 平均数动态数列的序时平均数计算也和相对 数动态数列一样即要先分别计算分子数列和
13、分母数列 的序时平均数，然后将这两个序时平均数进行对比，才能求得这个平均数动态数列的序时平均数。 知识链接 某饮料有限公司2014-2018年年末净利润与资产总额资料见下表，试计算该饮料有限公司2015-2018年的平均资产利润率。 例 该饮料有限公司2015-2018年的平均资产利润率为： 计算结果表明，该饮料有限公司2015-2018年的平均资产利润率为16.12%。 知识链接 增长量是用来说明社会现象在一定时期内所增长的绝对数量的指标，它是报告期水平与基期水平之 差。其计算公式为： 1. 增长量 三 增长量和平均增长量 如果增长量为正值，表示现象水平不断增加，是增加量 如果增长量为负值，
14、表示现象水平不断降 低，是降低量。 增长量的种类 知识链接 根据某饮料有限公司20142018年年末净利润与资产总额资料，计算20152018年的逐期增长量和累计增长量。 例 平均增长量是现象在一定时期内平均每期增长的数量，它是一定时期内逐期增长量的序时平均数。 其计算公式为： 2. 平均增长量 用字母表示为： 任务实施 STEP 1 计算逐期增长量。 由编制的动态数列表计算逐年增长量，则： 2016年网民规模逐年增长量=7.316.68=0.63 （亿人） 2017年网民规模逐年增长量=7.517.31=0.2 （亿人） 2018年网民规模逐年增长量=8.297.51=0.78 （亿人） 2
15、016年网络购物用户规模逐年增长量=4.484.13=0.35 （亿人） 2017年网络购物用户规模逐年增长量=5.334.48=0.85 （亿人） 2018年网络购物用户规模逐年增长量=6.105.33=0.77 （亿人） STEP 2 计算年平均增长量。 由公式 ，得 STEP 3 整理数据，将2015-2018年我国网民规模和网络购物用户规模的逐年增长量和年平均 增长量填入表中，获得下表。 2015-2018年网民规模年平均增长量 2015-2018年网络购物用户规模年平均增长量 我国网民规模动态水平指标计算表 我国网络购物用户规模动态水平指标计算表 任务3 通过对动态水平指标的计算和分
16、析，张华得出我国网民规模及网络购物用户规模呈逐年上 升趋势，但是她却不知道其上升幅度如何，发展速度又如何。于是她搜集了更早之前的数据， 即截至2014年12月我国网民规模为6.49亿人，网络购物用户规模为3.61亿人。她想要对近年我 国网民规模及网络购物用户规模的发展速度进行分析，她该怎么做？ 分析动态数列的速度指标 知识链接 一 发展速度 发展速度是报告期水平和基期水平对比所得到的动态相对指标，它表明社会经济现象发展的方向和 程度，是研究事物发展变化的重要分析指标。 发展速度通常以百分数或倍数表示，其计算公式为： 定基发展速度是指报告期水平与某一固定基期水平的比值，所得为动态相对数。它表明现
17、象在较长 时期内总的变动方向和程度，又称总发展速度。 1. 定基发展速度 用符号表示为： 其计算公式为： 知识链接 2. 环比发展速度 环比发展速度是指报告期水平与前一期水平 的比值，所得为动态相对数。它表明现象在单位 时间内发展的方向和程度。 其计算公式为： 3. 定基发展速度和环比发展速度的关系 定基发展速度等于环比发展速度的连乘积， 即： 用符号表示为： 相邻两个时期的定基发展速度相除等于相应 的环比发展速度，即： 知识链接 二 增长速度 增长速度是增长量与基期水平之比所得到的商数，它是反映某种现象增长的相对程度的指标。增长 速度通常用百分数或倍数表示，其计算公式为： 定基增长速度是累计
18、增长量与某一固定基期发展水平之比，它表示现象在一较长时期内总的增长程 度。其计算公式为： 1. 定基增长速度 知识链接 2. 环比增长速度 环比增长速度是逐期增长量与前一期发展水平之比，它表示现象逐期增长的方向和程度。其计算公 式为： 根据2014-2018年我国手机产量相关资朴，计算的定基增长速度和环比增长速度见表。 例 20142018 年我国手机产量相关资料及计算结果 知识链接 延伸阅读 增长速度和发展速度的关系 增长速度与发展速度其实是一个问题的两种说法，两者既有 区别又有密切的联系两者的关系如下： 增长速度表示报告期水平比基期水平增长（或降低）了百分 之几，它不包括基期水平；发展速度
19、表示报告期水平是基期 水平的百分之几或若干倍，它包括基期水平。两者的关系如 上述公式，增长速度等于发展速度减1。 增长速度有正负值之分，而发展速度一般没有正负值之分。 当发展速度大于1时，增长速度为正值，表明现象的正增长 程度，即为增长率；当发展速度小于1时，增长速度为负值， 表明现象的负增长程度（降低程度），即为降低率。 知识链接 做一做 2014-2018年我国汽车产量相关资料见下表，请分别计算定基发展速度、环比发展速度、定基增长速度和 环比增长速度，并填入表中。 20142018 年我国汽车产量相关资料 知识链接 三 平均发展速度和平均增长速度 1. 平均发展速度 平均发展速度是动态数列
20、中各个环比发展速 度的序时平均数。它说明某种现象在一个较长时 期内逐期平均发展变化的程度。 其计算公式为： 2. 平均增长速度 平均增长速度是反映现象在一段时期内平均 每年增减的程度。它不能用环比增长速度直接求 得，而要通过求出平均发展速度后减1得到。 其计算公式为： x 表示平均发展速度； x 表示各期的环比发展速度； R 表示总速度。 式中： 知识链接 根据资料，试计算2015 2018年我国手机产量的年平均发展速度和平均增长速度。 平均发展速度为： 例 或 平均增长速度 =101.69% 100% =1.69% 。 计算结果表明，2015 2018年我国手机产量每年平均递增1.69%。
21、知识链接 四 增长1%的绝对值 增长1%的绝对值是指现象在以前时期水平的基础上，报告期每增长1%所增加的绝对量。由于相对 指标具有抽象化的作用，因而即使在低水平基础上计算的增长速度与在高水平基础上计算的增长速度的 数值相同，其经济意义却不同。 2009 年 我 国 国 内 生 产 总 值 为 348517.7亿元，2018年我国国内生产 总值为900309.5亿元。不同年份国内生 产总值每增长1%时绝对值是不一样的。 例 知识链接 因此在动态分析中，既要研究现象的增长速度，又要研究现象每增长1%时所包含的绝对值。其计 算公式为： 2014-2018年我国手机产量情况和计算其增长1%的绝对值见下
22、表。 例 20142018 年我国手机产量增长1的绝对值计算表 任务实施 STEP 1 以2014年网络购物用户规模3.61亿作为定基，计算2015 2018年各年定基发展速度。 STEP 2 将报告期限与上一期数进行对比，计算2015 2018年各年环比发展速度。 STEP 3 将累计增长量与定基数据进行对比，计算各期定基增长速度。 STEP 4 根据各期环比发展速度，计算平均发展速度。 STEP 5 根据平均发展速度，计算平均增长速度。 平均增长速度113.27%-113.27% 任务4 张华计算并分析了20142018年我国网络购物用户规模数据，得出2019年我国网络购物 用户会持续增长
23、，她兴高采烈地向胡琴讲述了自己的预测。胡琴肯定了张华的猜测，并问她： “你能根据现在已有数据，预测2019年我国网络购物用户规模吗？“张华应怎么做才能完成胡琴 交给她的任务呢？ 分析动态数列的发展趋势 知识链接 动态分析的任务除编制动态数列，计算增长量、发展速度、增长速度、平均速度等分析指标，并通 过这些指标来研究现象的发展规律外，还要消除一些非本质的偶然因素的影响。研究现象的长期趋势和 季节变动，即用数学模型来表明客观现象的长期趋势和季节变动的具体情况，并用以预测现象未来的数 量特征。 一 长期趋势的测定 长期趋势是指现象在相当长的时期内发展过程表现为不断增长或下降的总趋势。 时距扩大法是把
24、原有动态数列中各时期的数值加以合并，扩大每期所包括的时间，得出较长时距的 数值，形成一个新的时间序列，以消除原数列中受偶然因素的影响而引起的波动，清楚地显示现象发展 趋势的方法。 1. 时距扩大法 知识链接 某饮料有限公司2018年各月销售额情况 例 某饮料有限公司 2018 年各月销售额情况 表中各月的销售额有升有降，现象的发展趋势变化不明显。采用时距扩大法，将时距由月扩大到季度，依次把每季度中各 月的销售额累加，得到一个新的时间数列。 某饮料有限公司 2018 年各季度销售额清况 通过时距扩大法可以发现，原来数列有升有降的波动消失了，销售额逐季上升的趋势呈 现出来了。 知识链接 2. 移动
25、平均法 移动平均法是在扩大时距后， 采用逐期递推移动的方法来计算扩大 时距的序时平均数，构成一个新的序 时平均数的动态数列，以削弱原来数 列中短期不规则变动的影响，显示动 态数列的基本趋势。 奇数项移动平均所得的数值放 在中 间一项的位置上，一次平均即 可得到趋势值 偶数项移动平均所得 的数值放在中间两项位置中间，它需 要再进行一次两项移动平均，才能得 到与时期相对应的趋势值。 某饮料有限公司 2018 年12 个月销售额移动平均计算表 知识链接 3. 数学模型法 数学模型法是利用回归分析的成果，建立数学模型，对原动态数列配合适当的趋势线进行修匀，以 表现动态数列长期趋势的一种方法。 最小二乘
26、法又称最小平方法，是统计学中估计数学模型参数使用的传统方法，也是测定长期趋势的常用方 法。最小二乘法可拟合直线趋势方程，也可拟合曲线趋势方程。 最小二乘法 一是实际值与趋势值离差平方和为最小值。 二是实际值与趋势值离差总和等千零，其计算公式为： 理论要求： 式中：y 表示实际值；yC 表示趋势值。 知识链接 当动态数列的逐期增减量大致相等时，说明现象的发展趋势呈直线状态，就可拟合相应的直线模型 来预测未来。若动态数列的二级增长量 (即增长量的二次差)大体相等时，可以拟合二次曲线来预测未来； 当现象的长期趋势每期大体按相同的增长速度递增或递减变化时，可拟合指数曲线方程。 本处只介绍直线模型的拟合
27、方法。直线模型的计算公式为： 式中：t表示动态数列的时间；a，b表示两个特定参数。 通过以上方程式求解可得其参数的计算公式为： 知识链接 某饮料有限公司2014-2018年销售一部的年终奖总额资料见下表，要求拟合直线趋势方程并预剧2019年的年终奖总额。 例 数列项数n5，将有关数据代入参数a，b的公式，得： 所拟合的直线方程为： 将表中t值代入此式，可得修匀数列，这就是长期趋势。 当t6时，可预测2019年的年终奖总额为102.3万元。 某饮料有限公司 20142018 年销售一部的年终奖总额资料 知识链接 为了简化计算过程，a，b两参数还可以采用简捷法（即假定零点法）计算。 由于直线趋势模
28、型中的是时间序号，因而可以设在任一时间原点（记作0），当我们把动态数列的 原点移至数列中间时，则 t=0。在奇数项的条件下，数列中间一项为原点，记作0，前后两端的时间 序号按正、负对称设置，即按，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，设置，两头延伸；在偶 数项的条件下，数列中间两项的中点为原点，则时间序号分别按，-5，-3，-1，1，3，5，设置， 两头延伸。 由于 t0，上述参数求解方法便可以简化为： 知识链接 某饮料有限公司20142018年销售一部的年终奖总额资料见下表，要求拟合直线趋势方程并预测2019年销售一部年终奖 总额。 例 将有关数据代入参数a，b的公式，得：
29、所拟合的直线方程为： 如果预测2019年年终奖总额，将t3代入方程可得： 某饮料有限公司20142018 年销售一部的年终奖励总额资料 由此可见，用简捷法计算的各年趋势预测值与一般方法计算结果相同。 知识链接 二 季节变动的分析 我们常在日常生活中听到 “销售旺季”“销售淡季”“旅游旺季”“旅游淡季”等术语，这些专业术语表明， 这些现象会因为季节的变化而发生变化。 季节变动中的 “季节”不仅仅指一年四季，而是指任何一种周期性变化，并且其反复循环的周期较短。 在现实生活中，季节变动是一种普遍现象，不论是社会现象还是自然现象都有很多。 国家法定节日 ”十一“，因假期较长，旅游消费特别旺盛，被称为”旅游黄 全周“。每年春节前期，返乡高峰期，人员流动较大，客运繁忙现象。如果通 过季节变动的测定，掌握现象的规律性，就能够妥善组织 安排好旅游和客运 活动，满足各方面需要。 例 任务实施 STEP 1 根据表中的数据，编制20142018年我国网络购物用户规模的最小二乘法计算表。 STEP 2 利用简捷法求得直线趋势方程。 所拟合的直线方程为： STEP 3 根据直线趋势方程，预测2019年我国网络购物用户规模。 当t=3时，yC =4.73+0.618X3=6.58(亿人） 通过计算，预测2019年我国网络购物用户规模将达到6.58亿人。 努力造就实力 态度决定高度
