1、1第三节本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分 第八章第八章 三、隐函数求导法则三、隐函数求导法则2)(),(ttfz一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理.若函数若函数,)(,)(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续处偏导连续,),(vu在点在点在点 t 可导可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数则复合函数证证:设设 t 取增量取增量t,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量则相应中间变量且有链式法则且有链式法则vutt有增量有增量u,v,3,
2、0t令,0,0vu则有to)(全导数公式全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu)(o )()(22tvtu0(t0 时时,根式前加根式前加“”号号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd4若定理中若定理中 说明说明:),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu,易知易知:,0)0,0()0,0(ufuz但复合函数但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0,0()0,0(vfvz偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立则定
3、理结论不一定成立.5推广推广:1)中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.,),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(,)(,)(twtvtu例如例如,例如例如,yx6又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时,有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里这里xzxfxz表示
4、表示 f(x,(x,y)固定固定 y 对对 x 求导求导xf表示表示f(x,v)固定固定 v 对对 x 求导求导口诀口诀:xfxvvfyvvf与与不同不同,v分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导7例例1.设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx8 解解 例例2.求函数求函数 的偏导数的偏导数.(2)xyzxy2,uxy vxy令令则则vzuzzuzvxuxvx11l
5、nvvvuuu y 1(2)(2)ln(2)xyy xyxxyxyzzuzvyuyvy12lnvvvuuu x1(2)2(2)ln(2)xyx xyyxyxy9例例3.,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos210例例4.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzdd
6、tz求全导数求全导数,etu,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.11(当当 在二、三象限时在二、三象限时,)xyarctan例例5.设二阶偏导数连续二阶偏导数连续,求下列表达式在求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()()1(yuxuyuxu解解:已知已知sin,cosryrxuryxyx极坐标极坐标系下的形式系下的形式xrruxu
7、(1),则则xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos12yuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目题目 ryru2rxuuryxyxruruxusincos13 已知已知rsin)(rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx)(rxu)(xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2注意利用注意利用已有公式已有公式cos)
8、(r1422yu2222yuxu21r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目题目 15二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)d
9、d(yyvxxv则复合函数则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性.16)cos()sin(e yxyxyx例例 6.利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.解解:)(dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdy
10、d)dd(yxxy171、一个方程所确定的隐函数、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 2、方程组所确定的隐函数组、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数三、三、隐函数的求导方法隐函数的求导方法 181、一个方程所确定的隐函数及其导数、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1.设函数设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程则方程00),(xyxF在点单值连续函数单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数具有连续
11、的偏导数;的的某邻域内可唯一确定一个某邻域内可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件满足条件导数导数190)(,(xfxF两边对两边对 x 求导求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在在),(00yx的某邻域内的某邻域内则则20例例7.验证方程01esinyxyx在点在点(0,0)某邻域某邻域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数,)(xfy 0ddxxy解解:令令,1esin),(yxyyxFx;0)0,0(F,eyFxx连续连续;由由 定理定理1 可知可知,1)0,0(yF,0,)(x
12、fy 导的隐函数导的隐函数 则则xyFy cos在在 x=0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且并求并求210ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe0,0yx22定理定理2.若函数若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数的某邻域内具有连续偏导数;则方程则方程0),(zyxF在点在点),(00yx并有连续偏导数并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略定理证明从略,仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足;0),(000zyxF,0),(000zy
13、xFz 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确230),(,(yxfyxF两边对两边对 x 求偏导求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得同样可得则则所所确确定定的的隐隐函函数数，是是方方程程设设0),(),(zyxFyxfzzFxz00),(000zFzyx的某邻域内在24解：解：利用公式设设zzyxzyxF4),(222则则yFxFyx2,2zxFFxz422zxzx242 zFz例例8.所确定的是由方程设04),(222zzyxyxzzyzxz,隐函数，求zyFFyz422zyzy2252、方程组所确定的隐函数组及其导数、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可
14、以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为称为F、G 的雅可比的雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即即雅可比雅可比 26雅可比雅可比(1804 1851)德国数学家德国数学家.他在数学方面最主要他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列他对行列式理论也作了奠基性的工
15、作式理论也作了奠基性的工作.在偏微分在偏微分方程的研究中引进了方程的研究中引进了“雅可比行列式雅可比行列式”,并应用在微积并应用在微积 分中分中.他的工作还包括代数学他的工作还包括代数学,变分法变分法,复变函数和微复变函数和微 分方程分方程,在分析力学在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教他在柯尼斯堡大学任教18年年,形成了以他为首的学派形成了以他为首的学派.27定理定理3 3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组则方程组0),(
16、,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数的单值连续函数),(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式且有偏导数公式 :在点在点的某一邻域内可唯一确定一组满足条件的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；导数；,),(000yxuu),(000yxvv 28(P86)vuvuGGFFvuGFJ),(),(),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGG
17、FF1xxGFyyGFxxGFyyGF290),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点在点P 的某邻域内的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式解的公式 故得故得系数行列式系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF30 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGF
18、Jxv),(),(1yuGFJyv31例例9.设,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习:求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设由题设故有故有32内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22.全微分形式不变性全微分形式不变性,),(vufz 对不论不论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d333.隐函数隐函数(组组)存在定理存在定理4.隐函数隐函数(组组)求导方法求导方法方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算;方法方法2.利用微分形式不变性利用微分形式不变性;方法方法3.代公式代公式.第三次作业第三次作业22)1(15)4(11)1(10)1(7:10099P
