1、1第二节第二节2数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正整数n n的函数：的函数：xn=f(n)数列数列xn的极限为的极限为a,即当自变量即当自变量n取正整数且无限增取正整数且无限增大大(n)时时,对应的函数值对应的函数值f(n)无限接近于常数无限接近于常数a.若将数列极限概念中自变量若将数列极限概念中自变量n和函数值和函数值f(n)的特殊性的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量量x的某个变化过程中，如果对应的函数值的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限无限接近于某个确定的数接近于某个确定的数a，则，则a就称为就称为x在该
2、变化过程中在该变化过程中函数函数f(x)的极限的极限.3显然极限显然极限a是与自变量是与自变量x的变化过程紧密相关的的变化过程紧密相关的.自变自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式.本节分下列两种情况来讨论：本节分下列两种情况来讨论：(1)自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限(2)自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限4一、一、xx0时函数时函数f(x)的极限的极限xyo0()xxf x所谓“时函数的极限”，就是研究当自变量00()()xxxxf x无限接近于 时 记为,函数的变化趋势.0()()(
3、).f xaxxf xaf xa如果无限接近于某个常数,则称时，函数以 为极限或的极限为2()21xf xx例如由观察知时，函数2150(2,5)M(,()M x f x5函数值无限接近于数2lim(21)5xx5xyo2211lim(109)29,lim215xxxx类似地,由观察可知2150(2,5)M(,()M x f x0,()2f xx 在上述例子中函数在处是有定义的.22322,()2xxxf xx但是有时需考虑当时 函数的极限2232(2)(21)()21(2)22xxxxf xxxxx由于2222232(2)(21)limlim22lim(21)5xxxxxxxxxx60()x
4、xf x关于时函数的极限的确切含义，可仿照对数列极限所作过的分析:22,xx例如上面的例子可作如下分析 当且时2232()2152xxf xxx无限接近于，是指()5(21)522f xxx可以任意小,2x即对任意给定的正数只要 位于 的某去心邻域之内022x即满足不等式()522f xx则恒有7定义定义5 5设函数设函数f(x)在在x0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,a为常数为常数记为记为0lim(),xxf xa0()().f xaxx或或0如果对任意给定的，0,总存在00 xx使得当时，恒有83.几何意义几何意义:)(xfy aaa 0 x 0 x0 x xyo0,(),2.x
5、xyf xya当 在 的去心 邻域时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内说明：说明：01.();f xx函数极限与在点处是否有定义,定义为多少无关2.定义中的是任意给定的正数,但一经给定就暂时定下来,并由此确定 的取值0()f xaxx是用来刻画函数与常数 的接近程度用来刻画 与 的接近程度9单侧极限：单侧极限：,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近0;xx记作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近0.xx记作左极限：左极限：00,0,0,xx使当时右极限：右极限：00,0,0,xx使当时000()lim()(0).xxf xf xaf xa记作或000()lim()(0).xxf
6、 xf xaf xa记作或 x0 x 0 x 0 x().f xa恒有().f xa恒有000:lim()lim()lim().xxxxxxf xaf xf xa定理4100 ,证证得证。得证。例例2-611yox解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 x,1 1,左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,0lim()xf x故不存在例例2-71,0()001,0 xxf xxxx设，0lim()xf x讨论是否存在)(lim0 xfx 0lim(1)xx)(lim0 xfx 0lim(1)xx111112二、二、x时函数时函数f(x)的极限的极限(),f xxxx
7、对于函数的自变量 若 取正值且无限增大,则记为xxx 若 取负值,且其绝对值无限增大,则记为xxx 若 既取正值又取负值,且其绝对值无限增大,则记为()xf x 所谓“时函数的极限”,就是研究当自变量()()xxf x 趋于无穷大 即时,函数的变化趋势.()()().f xaxf xaf xa 如果无限接近于某个常数,则称时，函数以 为极限或的极限为131()f xx例如xyoxy1 1()0 xf xx 当时，无限接近于1lim0 xx14定义定义7 7设函数设函数f(x)在在|x|A(A0)时有定义时有定义,a为常数为常数记为记为lim(),xf xa()().f xax 或或0如果对任意
8、给定的，0,M 总存在xM使得当时，恒有15说明：说明：1.M定义中的是任意给定的正数,但一经给定就暂时定下来,并由此确定的取值()f xaMx是用来刻画函数与常数 的接近程度用来刻画无限增大的程度162.几何意义几何意义:MM,(),2.xMxMyf xya 当或时 函数图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内alim()xf xaxyo17:lim()lim()lim().xxxf xaf xf xa定理5()f xa函数无限接近于某个常数,xx 若 取正值且无限增大,则记为xxx 若 取负值,且其绝对值无限增大,则记为()()axxf x 则称常数 为或时函数的极限()xx 若当或时l
9、im()(lim()xxf xaf xa记为或18xxysin 例例2-8.0sinlim xxx证明证明证证，欲使欲使 0sinxx，只需只需 x1,0 1,M取xM则当时恒有,1sinxxx.0sinlim xxx故故，0sinxx19,2arctanlim xx例例2-9解解 x时时，xxfarctan)(有有无无极极限限？.arctanlim不不存存在在故故xx,2arctanlim xxxy2 2 20三、函数极限的性质三、函数极限的性质性质性质1 1 唯一性唯一性性质性质2 2 局部有界性局部有界性.)(lim0为代表为代表以以xfxx210)(,0,00 xfxx时时当当若若 推论推论3性质性质3 3 局部保号性局部保号性0lim(),0(0),0,xxf xaaa若且或则.)0)(0)(,00 xfxfxx或或时时当当 0()0),lim(),0 (0).xxf xf xaaa或且则或
