1、21 椭椭 圆圆 21.1 椭圆的定义与标准方程椭圆的定义与标准方程 2.1.1 课堂互动讲练课堂互动讲练 知能优化训练知能优化训练 课前自主学案课前自主学案 学习目标学习目标 精品PPT 学习目标学习目标 1.了解椭圆的实际背景了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出经历从具体情境中抽象出 椭圆的过程椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程椭圆标准方程的推导与化简过程 2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形 课前自主学案课前自主学案 温故夯基温故夯基 1经过经过(1,3)、(2,5)的直线方程为的直线方程为_. 2与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆与定点的距
2、离等于定长的点的轨迹是圆 3已知已知P1(1,1)、P2(2,5)，则，则P1在圆在圆(x1)2y21 上，而上，而P2不在圆不在圆(x1)2y21上上 2xy10 1椭圆的定义椭圆的定义 平面上到两个定点平面上到两个定点F1，F2的距离之和为的距离之和为_ (大于大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点F1， F2叫作椭圆的叫作椭圆的_，两焦点之间的距离叫作，两焦点之间的距离叫作 椭圆的椭圆的_ 知新益能知新益能 固定值固定值 焦点焦点 焦距焦距 1平面内动点平面内动点M满足满足|MF1|MF2|2a，当当2a |F1F2|时时，点点M的轨迹是什么的轨迹
3、是什么？当当2a0) y2 a2 x 2 b2 1(ab0) (c,0) (0，c) 2椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点椭圆的两种标准方程有什么相同点和不同点？ 提示：提示：相同点：它们的大小和形状都相同相同点：它们的大小和形状都相同，都有都有 ab0，a2b2c2，焦距都是焦距都是2c，椭圆上的点到椭圆上的点到 两焦点距离的和均为两焦点距离的和均为2a. 不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在 坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴轴 上的两焦点坐标分别为上的两焦点坐标分别为(c,0)和和(c,
4、0)，焦点在，焦点在y轴轴 上的两焦点坐标分别为上的两焦点坐标分别为(0，c)和和(0，c) 思考感悟思考感悟 课堂互动讲练课堂互动讲练 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 考点突破考点突破 求椭圆的标准方程时，要求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量先定型，再定量”， 即要先判断焦点位置，再用待定系数即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适法设出适 合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待 定系数即可定系数即可当所求椭圆的焦点位置不能确定当所求椭圆的焦点位置不能确定 时，应按焦点在时，应按焦点在 x 轴上和焦点在轴上和焦点在 y 轴上进行分轴上进行分 类
5、讨论，但要注意类讨论，但要注意 ab0 这一条件这一条件 例例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为两个焦点的坐标分别为(4,0)和和(4,0)，且椭圆经，且椭圆经 过点过点(5,0)； (2)焦点在焦点在 y轴上，且经过两个点轴上，且经过两个点(0,2)和和(1,0) 【思路点拨思路点拨】 求椭圆的标准方程时求椭圆的标准方程时，要先要先 判断焦点位置判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准确定出适合题意的椭圆标准 方程的形式方程的形式，最后由条件确定出最后由条件确定出a和和b即可即可 【解】【解】 (1)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在
6、 x 轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为x 2 a2 y 2 b2 1(ab0) 2a 54 2 54 210， a5.又又 c4，b 2 a2c225169. 故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为 x2 25 y 2 9 1. (2)由于椭圆的焦点在由于椭圆的焦点在 y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为y 2 a2 x 2 b2 1(ab0) 由于椭圆经过点由于椭圆经过点(0,2)和和(1,0)， 4 a2 0 b2 1 0 a2 1 b2 1 a24， b21. 故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为y 2 4 x 2 1. 【方法小结】【方法小结】 (1)当且仅当椭
7、圆的中心在原点，其当且仅当椭圆的中心在原点，其 焦点在坐标轴上时， 椭圆的方程才具有标准形式焦点在坐标轴上时， 椭圆的方程才具有标准形式 焦焦 点在点在 x 轴上的标准方程为轴上的标准方程为x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)； 焦点在； 焦点在 y 轴上的标准方程为轴上的标准方程为y 2 a2 x 2 b2 1(ab0)在这两种标在这两种标 准方程中，总有准方程中，总有 ab0，焦点所在轴与，焦点所在轴与 a2的分子相的分子相 对应对应方程中的参数方程中的参数 a，b，c是椭圆所固有的，与是椭圆所固有的，与 坐标系的建立无关，且始终满足关系式坐标系的建立无关，且始终满足关系式 a 2 b
8、2c2. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下：用待定系数法求椭圆的标准方程步骤如下： 作判断：依据条件判断椭圆的焦点在作判断：依据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是轴上还是 在在 y轴上，还是两个坐标轴上都有可能轴上，还是两个坐标轴上都有可能 设方程：设方程： ()依据上述判断，设方程为依据上述判断，设方程为x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)或或 x2 b2 y 2 a2 1(ab0) ()在不能确定焦点位置的情况下也可设在不能确定焦点位置的情况下也可设 mx2ny2 1(m0，n0 且且 mn) 找关系：依据已知条件，建立关于找关系：依据已知条件，建立关于 a，b，c 或或 m
9、， n 的方程组的方程组 得方程：解方程组，代入所设方程即为所求得方程：解方程组，代入所设方程即为所求 自我挑战自我挑战 1 根据下列条件，求椭圆的标准方程根据下列条件，求椭圆的标准方程 (1)坐标轴为对称轴，并且经过两点坐标轴为对称轴，并且经过两点 A(0,2)和和 B( 1 2， ， 3)； (2)经过点经过点(2，3)且与椭圆且与椭圆 9x24y236 有共同的有共同的 焦点焦点 解：解：(1)设所求椭圆的方程为设所求椭圆的方程为x 2 m y2 n 1(m0，n0 且且 mn) 椭圆经过两点椭圆经过两点 A(0,2)、B( 1 2， ， 3)， 0 m 4 n 1， 1 4m 3 n
10、1， 解得解得 m1， n4. 所求椭圆方程为所求椭圆方程为 x2y 2 4 1. (2)椭圆椭圆 9x24y236 的焦点为的焦点为(0， 5)，则可设，则可设 所求椭圆方程为所求椭圆方程为x 2 m y2 m5 1(m0) 又椭圆经过点又椭圆经过点(2，3)， 则有则有 4 m 9 m5 1. 解得解得 m10 或或 m2(舍去舍去) 所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 x2 10 y2 15 1. 椭圆的定义与标准方程的应用椭圆的定义与标准方程的应用 椭圆上一点椭圆上一点P与椭圆的两焦点与椭圆的两焦点F1、F2构成的构成的F1PF2 称为焦点三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问
11、题解关于椭圆中的焦点三角形问题 时要充分利用椭圆的定义时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理三角形中的正弦定理、 余弦定理等知识余弦定理等知识 例例2 已知椭圆的焦点是已知椭圆的焦点是F1(1,0)，F2(1,0)，P为椭为椭 圆上一点圆上一点，且且|F1F2|是是|PF1|和和|PF2|的等差中项的等差中项 (1)求椭圆的方程；求椭圆的方程； (2)若点若点P在第二象限在第二象限，且且PF1F2120，求求 PF1F2的面积的面积 【思路点拨思路点拨】 求得标准方程后求得标准方程后，借助定义利用借助定义利用 余弦定理求值余弦定理求值 【解】【解】 (1)由题设得由题设得 2|F1F2|P
12、F1|PF2|， 2a4，又，又 2c2，b 3， 椭圆的方椭圆的方程为程为x 2 4 y 2 3 1. (2)由由(1)知知 a2，b 3.|F1F2|2c2， 在在PF1F2中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得 |PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos120 ， 即即|PF2| 2 |PF1|242|PF1|. 由椭圆定义，得由椭圆定义，得|PF1|PF2|4， 即即|PF2|4|PF1|， 代入代入解得解得|PF1|6 5. SPF1F21 2|PF1| |F1F2| sin120 1 2 6 5 2 3 2 3 3 5 ， 即即PF1F2的面积是的面积是3 5
13、 3. 【名师点评】【名师点评】 对于求焦点三角形的面积，若已对于求焦点三角形的面积，若已 知知F1PF2，可利用，可利用 S 1 2absinC.把 把|PF1| |PF2|看看 成一个整体，运用公式成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1| |PF2|)22|PF1| |PF2|及余弦定理求出及余弦定理求出|PF1| |PF2|， 而无需单独求出，这样可而无需单独求出，这样可以减少运算量以减少运算量 自我挑战自我挑战 2 如图所示，已知经过椭圆如图所示，已知经过椭圆 x2 25 y2 16 1 的右焦点的右焦点 F2的直线的直线 AB垂直于垂直于 x 轴， 交椭圆于轴， 交椭
14、圆于 A、 B 两点，两点，F1是椭圆的左焦点是椭圆的左焦点 (1)求求AF1B 的周长；的周长； (2)如果直线如果直线 AB不垂直于不垂直于 x 轴，轴， AF1B的周长有的周长有 变化吗？为什么？变化吗？为什么？ 解：解：(1)由题意知，由题意知，A、B在椭圆在椭圆 x2 25 y2 16 1 上，上， 故有故有|AF2|AF1|2a10， |BF1|BF2|2a10，|AF2|BF2|AB， ABF1的周长的周长|AF1| |BF1| |AB| |AF1| |BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 2a2a4a4520. ABF1的周长为的周长为 20.
15、(2)如果直线如果直线 AB不垂直于不垂直于 x 轴，轴， AF1B的周长仍为的周长仍为 20 不变，因为不变，因为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1| |AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a， 与直线与直线 AB是否与是否与 x 轴垂直无关轴垂直无关 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已 知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义， 若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可 利用椭圆的定义求轨迹方程利用椭圆的定义求轨迹方程 已知动圆已
16、知动圆 M 过定点过定点 A(3,0)，并且内切于，并且内切于 定圆定圆 B：(x3)2y 2 64，求动圆圆心，求动圆圆心 M 的轨迹的轨迹 方程方程 例例3 【思路点拨】【思路点拨】 确定确定M与与A，B的关系的关系 圆的圆的 性质性质 |MA|MB|8 坐标化坐标化 方程方程 【解】【解】 设动圆设动圆 M的半径为的半径为 r，则，则|MA|r，|MB| 8r， |MA|MB|8，且，且 8|AB|6， 动点动点 M的轨迹是椭圆， 且焦点分别是的轨迹是椭圆， 且焦点分别是 A(3,0)， B(3,0)，且，且 2a8，a4，c3，b2a2c2 1697. 所求动圆圆心所求动圆圆心 M的轨
17、迹方程是的轨迹方程是 x2 16 y 2 7 1. 【名师点评名师点评】 (1)本例用定义法求轨迹方程本例用定义法求轨迹方程 (2)巧妙地应用几何知识巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径两圆内切时圆心距与半径 之间的关系之间的关系)，寻求到寻求到|MA|MB|8，而且而且8|AB| 6，从而判断动点从而判断动点M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆 1椭圆的定义中只有当两定点间的距离之和椭圆的定义中只有当两定点间的距离之和 2a|F1F2|时，轨迹才是椭圆；时，轨迹才是椭圆；2a|F1F2|时，轨迹时，轨迹 是线段是线段F1F2；2a|F1F2|时没有轨迹时没有轨迹 2求椭圆标准方程时应注意的问题求
18、椭圆标准方程时应注意的问题 (1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两 个方面“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位个方面“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位 置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条置，即在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条 坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”则是指确 定定a2、b2的具体数值，常用待定系数法的具体数值，常用待定系数法 方法感悟方法感悟 (2)当椭圆的焦点位置不明确当椭圆的焦点位置不明确(无法确定无法确定)求其标准求其标准 方程时，可设方程为方程时，可设方程为x 2 m y 2 n 1(m0，n0 且且 mn)，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为，从而避免讨论和繁杂的计算；也可设为 Ax2By21(A0，B0 且且 AB)，这种形式在，这种形式在 解题中较为方便解题中较为方便
