1、第2课时 平面向量的基本定 理及其坐标表示 基础知识梳理基础知识梳理 1平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1和和e2是同一平面内的两个是同一平面内的两个 不平行的向量，那么该平面内任一向不平行的向量，那么该平面内任一向 量量a，存在唯一的一对实数，存在唯一的一对实数a1，a2使使a ，把不共线向量，把不共线向量e1，e2叫叫 做表示这一平面内所有向量的一组做表示这一平面内所有向量的一组基基 底底，记为，记为 叫做向叫做向 量量a关于基底关于基底e1，e2的分解式的分解式 a1e1a2e2 e1，e2，a1e1a2e2 精品PPT 2正交分解正交分解 如果基底的两个基向量如果基底的两个
2、基向量e1，e2 互相垂直，则称这个基底为互相垂直，则称这个基底为 ，在正交基底下分解向量，在正交基底下分解向量， 叫做叫做 基础知识梳理基础知识梳理 基底基底 正交正交 正交分解正交分解 3向量坐标向量坐标 设设e1，e2为平面直角坐标系内的为平面直角坐标系内的 正交基底，由平面向量基本定理，对于正交基底，由平面向量基本定理，对于 平面上的一个向量平面上的一个向量a，有且只有一对实，有且只有一对实 数数x，y，使得，使得axe1ye2，我们把有序，我们把有序 实数对实数对(x，y)叫做向量叫做向量 ，记作：记作： ， 叫叫a 在在x轴上的坐标轴上的坐标， 叫叫a在在y轴上的坐轴上的坐 标标把
3、把a(x，y)叫做向量的坐标表叫做向量的坐标表 示示 基础知识梳理基础知识梳理 a在基底在基底e1，e2 下的坐标下的坐标 a(x，y) x y 向量与它的坐标之间是什么关系？向量与它的坐标之间是什么关系？ 【思考思考 提示提示】 向量与它的坐标向量与它的坐标 之间是一一对应关系，即向量确定，之间是一一对应关系，即向量确定， 则坐标唯一；坐标确定，则向量唯则坐标唯一；坐标确定，则向量唯 一一 基础知识梳理基础知识梳理 4向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算 设设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则，则ab ，ab ， a 基础知识梳理基础知识梳理 (a1b1，a2b2) (a1b1，a2b2
4、) (a1，a2) 基础知识梳理基础知识梳理 5 5用平面向量坐标表示向量共线条用平面向量坐标表示向量共线条 件件 设设 a(a1， a2)， b(b1， b2)， 向量向量 ab a1b2a2b10a1 b1 a2 b2(b10 且 且 b20) 1(2009年高考湖北卷改编年高考湖北卷改编)若向若向 量量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则，则 b( ) A3ac B3ac Ca3c Da3c 答案：答案：B 三基能力强化三基能力强化 A(2，4) B(3，5) C(3,5) D(2,4) 答案：答案：B 三基能力强化三基能力强化 2在平行四边形在平行四边形 ABCD 中中，AC
5、为为 一条对角线一条对角线，若若AB (2,4)，AC (1,3)， 则则BD 等于等于( ) 答案：答案：A 三基能力强化三基能力强化 3已知两点已知两点 A(4,1)，B(7，3)，则则 与与AB 同向的单位向量是同向的单位向量是( ) A(3 5， ，4 5) B (3 5， ，4 5) C(4 5， ，3 5) D (4 5， ，3 5) 答案：答案：8 三基能力强化三基能力强化 4若若 p(1，2)，q(1 2， ，0)，a (3,4)且满足且满足 ampnq.则则 mn _. 5(教材习题改编教材习题改编)已知向量已知向量a (1,2)，b(x,1)，若，若ua2b，v2a b，且
6、，且uv，则，则x_. 三基能力强化三基能力强化 答案：答案：1 2 1以平面内任意两个不共线的以平面内任意两个不共线的 向量为一组基底，该平面内的任意一向量为一组基底，该平面内的任意一 个向量都可表示成这组基底的线性组个向量都可表示成这组基底的线性组 合，基底不同，表示也不同合，基底不同，表示也不同 2利用已知向量表示未知向量，利用已知向量表示未知向量， 实质就是利用平行四边形法则或三角实质就是利用平行四边形法则或三角 形法则进行向量的加减运算或数乘运形法则进行向量的加减运算或数乘运 算算 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点一考点一 平面向量的基本定理及其应用平面向量的基本定理及其应用 提醒提醒
7、：由于基底向量不共线，所：由于基底向量不共线，所 以以0不能作为一个基底向量不能作为一个基底向量 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 例例1 如图所示，在如图所示，在 OAB 中，中，OC 1 4 OA ，OD 1 2 OB ， AD 与与 BC 交于点交于点 M，设，设a，b，以，以a、b为基底表示为基底表示. 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨】【思路点拨】 先用平面向量基先用平面向量基 本定理设出本定理设出OM manb，再利用共，再利用共 线向量的条件列出方程组，确定线向量的条件列出方程组，确定 m，n 的值的值 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解】【解】 设设OM ma
8、nb(m，nR)， 则则AM OM OA (m1)anb， AD OD OA 1 2b aa1 2b. 因为因为 A，M，D 三点共线，所以三点共线，所以m 1 1 n 1 2 ，即，即 m2n1. 课堂互动讲练课堂互动讲练 而而CM OM OC (m1 4)a nb， CB OB OC b1 4a 1 4a b， 因为因为 C，M，B 三点共线，所以三点共线，所以 m1 4 1 4 n 1，即 ，即 4mn1. 课堂互动讲练课堂互动讲练 由由 m2n1， 4mn1， 解得解得 m1 7， ， n3 7， ， 所以所以OM 1 7a 3 7b. 【名师点评名师点评】 (1)本题两次利用本题两次
9、利用 了共线的条件，并且注意方程思想的了共线的条件，并且注意方程思想的 利用；利用； (2)解决类似问题应重视平面几何解决类似问题应重视平面几何 知识的应用；知识的应用； (3)用基底表示向量是用向量解决用基底表示向量是用向量解决 问题的基础，应根据条件灵活应用，问题的基础，应根据条件灵活应用， 并熟练掌握并熟练掌握 课堂互动讲练课堂互动讲练 向量的坐标运算，使得向量的线向量的坐标运算，使得向量的线 性运算都可用坐标来进行，实现了向性运算都可用坐标来进行，实现了向 量运算完全代数化，将数与形紧密结量运算完全代数化，将数与形紧密结 合起来，就可以使很多几何问题的解合起来，就可以使很多几何问题的解
10、 答转化为我们熟知的数量运算答转化为我们熟知的数量运算 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点二考点二 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 课堂互动讲练课堂互动讲练 例例2 已知 已知 A(2,4)， B(3， ， 1)， C( 3，4) 设设AB a，BC b，CA c， (1)求求：3ab3c； (2)求满足求满足 ambnc 的实数的实数 m，n； 【思路点拨思路点拨】 利用向量的坐标利用向量的坐标 运算及向量的坐标与其起点、终点坐运算及向量的坐标与其起点、终点坐 标的关系求解标的关系求解 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解】【解】 由已知得由已知得 a(5，5)， b(
11、6，3)，c(1,8) (1)3ab3c 3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324) (6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n) (5，5)， 6mn5 3m8n5 ，解得，解得 m1 n1 【名师点评名师点评】 利用向量的坐标利用向量的坐标 运算解题，主要是根据相等的向量坐运算解题，主要是根据相等的向量坐 标相同这一原则，通过列方程组求解；标相同这一原则，通过列方程组求解； 在将向量用坐标表示时，要看准向量在将向量用坐标表示时，要看准向量 的起点和终点坐标，也就是要注意向的起点和终点坐标，也就是要注意向 量的方向不能写错量的方向不能写错 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂
12、互动讲练课堂互动讲练 互动探究 若例若例 2 条件不变条件不变，又已知又已知CM 3c， CN 2b. 求求 M、N 的坐标及向量的坐标及向量MN 的坐标的坐标 课堂互动讲练课堂互动讲练 解：解：CM OM OC 3c， OM 3cOC (3,24)(3， 4)(0,20) M(0,20) 又又CN ON OC 2b， ON 2bOC (12,6)(3， ， 4)(9,2)， N(9,2)，MN (9，18) 两平面向量共线的充要条件有两两平面向量共线的充要条件有两 种形式：种形式：(1)若若a(x1，y1)，b(x2， y2)，则，则ab的充要条件是的充要条件是x1y2x2y1 0； (2)
13、若若ab(a0)，则，则ba. 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点三考点三 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 课堂互动讲练课堂互动讲练 例例3 已知平面内三个向量：已知平面内三个向量：a (3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)求满足求满足ambnc的实数的实数 m、n； (2)若若(akc)(2ba)，求，求 实数实数k. 【思路点拨思路点拨】 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解】【解】 (1)ambnc，m，nR. (3,2)m(1,2)n(4,1)(m 4n,2mn) m4n3， 2mn2， 解之得解之得 m5 9， ， n8 9. 课堂互动讲练课堂互
14、动讲练 (2)(akc)(2ba)， 且且 akc(34k,2k),2ba( 5,2)， (34k)2(5)(2k)0， k16 13. 课堂互动讲练课堂互动讲练 【误区警示】【误区警示】 (1)在解答第在解答第(2)问的问的 过程中易出现：过程中易出现：(34k)(5)(2 k)20，即，即 k 11 18的情况 的情况导致此导致此 种错误的原因是：没有准确记忆两个向种错误的原因是：没有准确记忆两个向 量平行的充要条件，将其与两个向量垂量平行的充要条件，将其与两个向量垂 直的条件混淆直的条件混淆 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)若若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则 ab 的充要条
15、件不能表示成的充要条件不能表示成x1 x2 y1 y2，因 ，因 为为 x2，y2有可能等于有可能等于 0，所以应表示为，所以应表示为 x1y2x2y10. 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点四考点四 向量坐标运算的综合应用向量坐标运算的综合应用 例例4 (解题示范解题示范)(本题满分本题满分 12 分分) 已知点已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5) 及及OP OA tAB .试问试问： (1)t为何值时，为何值时，P在在x轴上？在轴上？在y轴轴 上？在第二象限？上？在第二象限？ (2)四边形四边形OABP能否为平行四边能否为平行四边 形？若能，求出相应的形？若能，求出相应的t值；若不
16、能，值；若不能， 请说明理由请说明理由 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨】【思路点拨】 (1)用参数用参数 t 表示表示 向量向量OP 的坐标， 再由的坐标， 再由 P 点位置的特殊点位置的特殊 性确定性确定 t 的值的值(或范围或范围) (2)利用反证法，假设利用反证法，假设OA PB 的的 条件下，求是否有满足条件的条件下，求是否有满足条件的 t 值值 课堂互动讲练课堂互动讲练 【解】【解】 (1)AB (3,3)， OP OA tAB (13t,23t). 2 分分 若若 P 在在 x 轴上，则轴上，则 23t0，解得，解得 t2 3. 3 分 分 若若 P
17、 在在 y 轴上，则轴上，则 13t0，解得，解得 t1 3. 4 分 分 若若 P 在第二象限，则在第二象限，则 13t0 ， 解得解得2 3t 1 3. 6 分 分 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)法一：法一： OA (1,2)， PB PO OB (33t,3 3t) 若四边形若四边形 OABP 为平行四边形，则为平行四边形，则OA PB ， 而而 33t1 33t2 无解无解 四边形四边形 OABP 不能为平行四边形不能为平行四边形. 12 分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 法二：法二：由由OP OA tAB ，得，得AP tAB 知知 A、P、B 三点共线三点共线 故四边形故四边形 O
18、ABP 不能为平行四边形不能为平行四边形. 12 分分 【思维总结思维总结】 利用设参数求参利用设参数求参 数是解决向量问题的常用技巧，这里数是解决向量问题的常用技巧，这里 方程方程(或方程组或方程组)是求解工具，体现了是求解工具，体现了 向量坐标运算的优越性向量坐标运算的优越性 课堂互动讲练课堂互动讲练 高考检阅 (本题满分本题满分 12 分分)A(2,3)，B(5,4)， C(7,10)，AP AB AC .当当 为何值时为何值时， (1)点点 P 在第一在第一、三象限的角平分线三象限的角平分线 上上？ (2)点点 P 到两坐标轴的距离相等到两坐标轴的距离相等？ 课堂互动讲练课堂互动讲练
19、解：解：(1)由已知由已知AB (3,1)，AC (5,7)， 则则AB AC (3,1)(5,7)(35，17). 2 分分 设设 P(x，y)，则，则AP (x2，y3)， x235 y317 ， x55 y47 . 5 分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 点点 P 在第一、三象限的角平分线上，在第一、三象限的角平分线上， xy，即，即 5547，1 2. 7 分 分 (2)若点若点 P 到两坐标轴的距离相等，到两坐标轴的距离相等， 则则|x|y|，即，即|55|47|， 1 2或 或 3 4. 12 分 分 1向量的坐标表示向量的坐标表示 (1)对向量对向量a(x，y)的理解的理解 axe1
20、ye2(e1，e2分别是分别是x轴、轴、 y轴正方向上的单位向量轴正方向上的单位向量)； 若向量若向量a的起点是原点，则的起点是原点，则(x， y)就是其终点的坐标就是其终点的坐标 规律方法总结规律方法总结 规律方法总结规律方法总结 (2)向量向量AB 的坐标的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐有向线段的终点的坐标减去起点的坐 标标 即如果即如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有则有AB (x2x1，y2y1) 规律方法总结规律方法总结 注意：注意：要把点的坐标与向量的坐标要把点的坐标与向量的坐标 区分开来区分开来相等
21、的向量的坐标是相同的，相等的向量的坐标是相同的， 但起点和终点的坐标却可以不同但起点和终点的坐标却可以不同如如 A(3,5)、B(6,8)，AB (3,3)；C(5,3)、 D(2,6)，CD (3,3)，AB CD ，而，而 A、 B、C、D 四点坐标各不相同四点坐标各不相同 2平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 (1)a(x1，y1)，b(x2，y2)其中其中 (b0) ab的充要条件的充要条件ab与与x1y2 x2y10在本质上是相同的，只是形式在本质上是相同的，只是形式 上的差异上的差异 (2)要记准公式坐标特点，不要用要记准公式坐标特点，不要用 错公式错公式 规律方法总结规律方法总结 规律方法总结规律方法总结 3三点共线的判断方法三点共线的判断方法 判断判断 A、B、C 三点是否共线三点是否共线，先求先求 出每两点对应的向量出每两点对应的向量，然后再按两向量共然后再按两向量共 线进行判断线进行判断，如求出如求出AB ，AC ，再判断再判断AB 与与AC 是否平行是否平行 随堂即时巩固随堂即时巩固 点击进入点击进入 课时活页训练课时活页训练 点击进入点击进入
