1、不等式的证明不等式的证明一、知识梳理证明不等式的基本方法：1.1.比较法之一（作差法）比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的大小结论 比较法之二（作商法）比较法之二（作商法）步骤：作商步骤：作商变形变形判断与判断与1 1的大小的大小结论结论 不等式证明知识梳理3.3.分析法：分析法：其思路是其思路是“执果索因执果索因”，一般书写格，一般书写格式：式：要证：要证：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：只要证明：不等式成立不等式成立 原不等式成立原不等式成立2.2.综合法：综合法：运用已证明过的不等式及不等式的运用已证明过的不等式及不等式的性质，推导出所要求证的不等式，其思路是性
2、质，推导出所要求证的不等式，其思路是“由由因导果因导果”.不等式证明知识梳理bababa941,.11为正数，求证：已知0)(2)(9)(4)(941:2baabbabaababbaababbaba证明baba941二、例题二、例题解答题不等式证明解答题112,1.12222222accbbacba求证：已知222)(21:baba证明)(222222bababa)(22)(22:2222acaccbcb同理2)(2)(22)(22)(22222222cbaaccbbaaccbba不等式证明解答题12.)2()()(21,),10(log)(.132121*21的大小，并证明与比较若且已知xx
3、fxfxfRxxaaxxfa2log)2(,log)log(log21)()(21:2121212121xxxxfxxxxxfxfaaaa证明2)()(2112121xxfxfxfa时，当)2()()(21102121xxfxfxfa时，当不等式证明解答题1316)(16,0.142bababa求证：已知0:ba证明0ba42)(22ababbab166424/16)(16222aababa不等式证明解答题14abbaababa28,0.152求证：已知要证明原不等式成立证明：2822baaba只要证明：222baaba只需证明：baab2只需证明：成立baabba20原不等式成立不等式证明解
4、答题15恒成立问题恒成立问题一、知识梳理,.12cbxaxy对于二次函数恒成立问题知识梳理220040aaxbx cbac 恒成立220040aaxbx cbac 恒 成 立数问题：通过分离参数转化为函.2max)()(xfaxfa恒成立min)()(xfaxfa恒成立解决问题数形结合，通过画图来.3恒成立问题知识梳理解答题：)1(12.112xmxx的不等式已知关于恒成立？并说明理由，使不等式对任意是否存在实数Rxm)1(.,1能使不等式恒成立）设存在实数解：（m不成立；则若012,0 xm012,02mxmxm则原不等式变为：若此不等式无解0)1(440mmm，能使不等式恒成立不存在实数m
5、恒成立问题解答题11（1）二、例题的范围不等式恒成立，求实数若对于xm2,2)2(恒成立问题解答题11（2）012)1()2(2xxm原不等式变为：12)1()(2xxmmf令012)1(2)2(012)1(2)2(22xxfxxf231271x3)(.122axxxf函数的范围恒成立，求时，aaxfRx)()1(03)(12aaxxaxf得）由解：（0)3(42aa26a恒成立问题解答题12（1）的范围恒成立，求时，当aaxfx)(2,2)2(2)()2(axxf的对称轴为：函数aafxfaa72)2()(,4,22min则即若此时无解；,37a,72)2()(,4,22minaafxfaa
6、则即若;47,7aa此时aaafxfaa34)2()(,44,2222min则即若.24,26aa此时取 272447，的范围为：综上知a恒成立问题解答题12（2）.0312,.1322的取值范围恒成立，求实数不等式对于任意axaxRx11121322222xxxxa原不等式可化为解：.31211121112,1,1222有最小值时上是增函数，在则令tttttxxtxt3a恒成立问题解答题13.4213)(,842)(.1424恒成立不等式求证对任意的实数设bbafbaxfxx,222821642)(84aaaaaf解：2233)23(421322bbb而4213)(2bbaf恒成立问题解答题
7、14xxxf212)(.15已知.,2)()1(的值求若xxf0,00,212)(xxxfxx解：)21(log022122xxxx解得且恒成立问题解答题15（1）.2,10)()2(2)2(的范围求实数恒成立，对若mttmftft0)212()212(2)2(22tttttm原不等式可变形为：0)12(2122mttt即0212,2,1ttt0122mt0121222mmt的最小值5m恒成立问题解答题15（2）不等式综合运用不等式综合运用一、知识梳理1.运用均值不等式求最值常见的有两类：_,2)1(公式中的条件是公式：abba_,2)2(.)2(222上述公式中的条件是公式大值的和为定值，求
8、积的最已知某些变量（正数）babaab2.某些函数单调性的判断往往渗透着不等式性质的应用.而单调性定义证明函数单调性也就是证明不等式0,0ba不等式综合运用知识梳理0,0ba3.求函数定义域，往往直接归结为解不等式或不等式组；求函数值域的常用方法是：用均值不等式，利用单调性，配方法，换元法.4.三角、数列、立体几何和解析几何中的最大、最小值，都与不等式有密切的关系；近几年高考中的热点应用问题，也多数可建立不等式模型，这些问题大致分为两类：一类是建立不等式；另一类是建立函数式求最大或最小值不等式综合运用知识梳理解答题,01)(.11xxaxxf设函数.)(2)1(的最小值时，求xfa,12211
9、11)(21xxxfa时，）（解：时取等号，即当且仅当12111xxx122)(minxf二、例题二、例题不等式综合运用解答题11（1）.)(10)2(的最小值时，求xfa,1,1)2(txt令上是增函数，在11tatyaaxf111)(min不等式综合运用解答题11（2）.0124.12的范围求实数有解，的方程关于aaaxxx,1214xxa原方程可化为：解：,2222122)12(122)12(21212142xxxxxxx时等号成立，即当且仅当12log121122xxx,222 a222a不等式综合运用解答题12.,20,/400./37.132区的最短时间求这批物资全部到达灾离不得小
10、于距为安全需要，两汽车间区公路长已知某市到灾的速度直达灾区假设以救灾物资，辆汽车往灾区运送一批某市用kmvhkmhkmvhy区的时间为设这批物资全部到达灾解：124003640020364002vvvvy不等式综合运用解答题13时取等号，时即当且仅当320040036400vvvh12的最短时间为这批物资全部到达灾区不等式综合运用解答题1362511,132,0,)1.(14yxyxyx求证：且已知625235)32)(11(11yxxyyxyxyx证明：时等号成立即当且仅当631,62123yxyxxy不等式综合运用解答题14（1）的最小值求且已知yxbyaxyx11,1,0,)2(abba
11、yaxxbybabyaxyxyx2)(1111解：时取等号，即当且仅当babyaabxyaxxby1,1abbayx211的最小值为不等式综合运用解答题14（2）4,3012)()(.15212xxxxfbaxxxf的两根为且方程已知的解析式求)()1(xf084160939)1(baba由题意知解：21ba2)(2xxxf不等式综合运用解答题15（1）xkxkxfxk2)1()(,1)2(的不等式解关于设,021212)2(2xkxxxkxkxx得由;2121xkxk或时，;212xxk且时，kxxk或时，212不等式综合运用解答题15（2）谢谢，再见 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
