1、第三节 圆的方程 第七章 平面解析几何 考考 纲纲 要要 求求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 课课 前前 自自 修修 知识梳理知识梳理 一、圆的标准方程一、圆的标准方程 设圆心设圆心C坐标坐标(a，b)，半径是，半径是r，则圆，则圆C的标准方程是的标准方程是 _特别地，圆心为特别地，圆心为O(0,0)时，标准方程时，标准方程 为为_ 二、圆的一般方程二、圆的一般方程 当当D2+E2-4F0时，方程时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的叫做圆的 _，其圆心为，其圆心为_，半径，半径r=_. (x-a)2+(y-b)2=r
2、2 一般方程一般方程 -D 2 ，-E 2 x2+y2=r2 D2+E2-4F 2 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候，为了整齐都需要将插入的文本框对齐 ，但是又不想一个一个的进行操作，这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中 ，点击开始排列对齐垂直居中即可； 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一，很多任通常会使用复制粘贴来确保 每一页PPT格式相同，这样对于少页数来说可以进行操作，但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了，其实我们可以巧用格式刷：首先，在开始菜单栏下方有一个格式 刷，点击格式刷，很快就能看到效果； 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时
3、候都是直接在模板库里下载模板进行使用的，但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的，这样在演讲的时候很不方便，怎样将其进行去除呢 ？单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映，放映类型选择演讲者放映；换片方式 选择手动即可； 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼格提升技巧 三、圆的直径式方程三、圆的直径式方程 以以(x1，y1)，(x2，y2)为直径的圆的方程可写为为直径的圆的方程可写为(x-x1)(x- x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 四、二元二次方程表示圆的充要条件四、二元二次方程表示圆的充要条件 设二元二次方程为设二元二次方程为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0.该方程表该方程表 示圆的
4、充要条件为：示圆的充要条件为：A=C 0，B=0，D2+E2-4AF0，而，而A=C 0， B=0只是方程表示圆的必要条件只是方程表示圆的必要条件 五、常见的圆系方程及其应用五、常见的圆系方程及其应用 1过定直线过定直线l：Ax+By+C=0和定圆和定圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交的交 点的圆系：点的圆系：x2+y2+Dx+Ey+F+l l(Ax+By+C)=0. 2过两定圆过两定圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0和和x2+y2+D2x+E2y+F2=0的的 交点的圆系：交点的圆系：x2+y2+D1x+E1y+F1+l l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0，当，当 l l=-1
5、时，方程表示两圆公共弦所在直线的方程时，方程表示两圆公共弦所在直线的方程 1圆圆x2+y2-2ax+4y+a=0的面积为的面积为4p p，则，则a=( ) A0或或-1 B-1或或1 C0或或1 D-1或或1 解析：解析：依题意知圆的半径为依题意知圆的半径为r 2， 解得解得a0或或a1，且都满足，且都满足a2a40， a0或或a1.故选故选C. 答案：答案：C 1 2 4a2164a a2a4 基础自测基础自测 2(2012 潍坊市模拟潍坊市模拟)对于对于aR，直线，直线(a1)xya10恒恒 过定点过定点C，则以，则以C为圆心，以为圆心，以 为半径的圆的方程为为半径的圆的方程为( ) Ax
6、2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0 解析：解析：直线方程可化为直线方程可化为(x1)axy10，易得直，易得直 线恒过定点线恒过定点(1,2)故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x1)2(y 2)25，即为，即为x2y22x4y0.故选故选C. 答案：答案：C 5 3(2011辽宁卷辽宁卷) 已知圆已知圆C经过经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆两点，圆 心在心在x轴上，则轴上，则C的方程为的方程为_ 解析解析： 设圆心坐标为设圆心坐标为(x,0)，则有，则有 x5 21 x1 29， 解得， 解得 x2.由两点距离得由两点距离得 r 25 21
7、 10，所以圆的方程为，所以圆的方程为(x2)2y210. 答案答案：(x2)2y210 4(2012桂林市模拟桂林市模拟)已知圆已知圆C的圆心与点的圆心与点P(-2,1)关于直关于直 线线y=x+1对称直线对称直线3x+4y-11=0与圆与圆C相交于相交于A，B两点，且两点，且 |AB|=6，则圆，则圆C的方程为的方程为_. 解析解析：圆心的坐标为圆心的坐标为(0，1)，所以，所以r232 18， 圆的方程为圆的方程为x2(y1)218. 答案：答案：x2(y1)218 411 2 52 考考 点点 探探 究究 考点一考点一 求圆的方程求圆的方程 【例例1】 根据下列条件，求圆的方程根据下列
8、条件，求圆的方程 (1)和圆和圆x2+y2=4相外切于点相外切于点P(-1， )，且半径为，且半径为4； (2)经过坐标原点和点经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线，并且圆心在直线2x+3y+1=0 上；上； (3)已知一圆过已知一圆过P(4，-2)，Q(-1,3)两点，且在两点，且在y轴上截得的线轴上截得的线 段长为段长为4 3 3 思路点拨：思路点拨：在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件与在用待定系数法求圆的方程时，若已知条件与 圆心、半径有关，则设圆的标准方程；若已知条件与圆心、半圆心、半径有关，则设圆的标准方程；若已知条件与圆心、半 径的关系不大，则设圆的一般方程径的关系不大
9、，则设圆的一般方程 解析解析：(1)设圆心设圆心 Q 的坐标为的坐标为(a，b) O 与与Q 相外切于点相外切于点 P， O，P，Q 共线，且共线，且|OQ| |QP| 6 4 3 2， ， OQ 3 2QP ， (a，b)3 2( 1a, 3b)， 求得求得 a3，b3 3. 所求圆的方程为所求圆的方程为(x3)2(y3 3)2 16. (2)显然， 所求圆的圆心在显然， 所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上，的垂直平分线上， OP 的垂的垂 直平分线方程直平分线方程 为为 x2y2 x1 2 y1 2，即，即 xy10. 解方程组解方程组 xy10， 2x3y10， 得圆心得圆心 C 的坐
10、标为的坐标为(4，3) 又圆的半径又圆的半径 r|OC|5， 所求圆的方程为所求圆的方程为(x4)2(y3)225. (3)设圆的方程为设圆的方程为 x2y2DxEyF0. 将将 P，Q 两点的坐标分别代入两点的坐标分别代入，得：，得： 4D2EF20， D3EF10. 令令 x0，由，由得得 y2EyF0. 由已知由已知|y1y2|4 3，其中，其中 y1，y2是方程是方程的两根的两根 (y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48. 解由解由，组成的方程组，得组成的方程组，得 D2， E0， F12 或或 D10， E8， F4. 故所求圆的方程为故所求圆的方程为 x2y22x120
11、或或 x2y210x 8y40. 点评：点评：无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个 待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求一般地，已知待定系数，因此求圆的方程，应有三个条件来求一般地，已知 圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式圆心或半径的条件，选用标准式，否则选用一般式 变式探究变式探究 1(1)圆圆C的半径为的半径为1，圆心在第一象限，与，圆心在第一象限，与y轴相切，与轴相切，与x 轴相交于点轴相交于点A，B，若，若|AB|= ，则该圆的一般方程是，则该圆的一般方程是 _ (2)已知已知f(x)=(x-1)(x+2)的图象与的图
12、象与x轴，轴，y轴有三个不同的交点，轴有三个不同的交点， 有一个圆恰好经过这三个点则此圆与坐标轴的另一个交点的有一个圆恰好经过这三个点则此圆与坐标轴的另一个交点的 坐标是坐标是_ 解析：解析：(1)根据根据|AB| 3，可得圆心到，可得圆心到 x 轴的距离轴的距离 为为1 2，故圆心坐标为 ，故圆心坐标为 1，1 2 ，故所求圆的标准方程为，故所求圆的标准方程为(x 1)2 y1 2 2 1， 化为一般式是， 化为一般式是 4x24y28x4y1 0. 3 (2) f(x)的图象与的图象与x轴交于点轴交于点A(1,0)，B(2，0)，与，与y轴交轴交 于点于点C(0，2)，设过，设过A，B，C
13、三点的圆的方程为三点的圆的方程为x2y2Dx EyF0，则有，则有 解得解得D1，E1， F2，所以圆的方程为，所以圆的方程为x2y2xy20，设圆与，设圆与y轴另轴另 一个交点为一个交点为M(0，a)，易知，易知a1，所以交点坐标为，所以交点坐标为M(0,1) 答案：答案：(1)4x24y28x4y10 (2)(0,1) DF10， 2DF40， 2EF40， 考点二考点二 圆的综合问题圆的综合问题 【例例2】 设圆满足：设圆满足：截截y轴所得的弦长为轴所得的弦长为2；被被x轴分轴分 成两段圆弧，其弧长的比为成两段圆弧，其弧长的比为31.在满足条件在满足条件的所有圆中，的所有圆中， 求圆心到
14、直线求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程的距离最小的圆的方程 解析：解析：(法一法一)设圆的圆心为设圆的圆心为P(a，b)，半径为，半径为r，则点，则点P到到x轴轴 y轴的距离分别为轴的距离分别为|b|，|a|. 由题设条件知圆由题设条件知圆P截截x轴所得的劣弧所对的圆心角为轴所得的劣弧所对的圆心角为90， 圆圆P截截x轴所得的弦长为轴所得的弦长为 r，故，故r22b2. 又圆又圆P截截y轴所得的弦长为轴所得的弦长为2，所以有，所以有r2a21，从而得，从而得2b2 a21. 点点P到直线到直线x2y0的距离为的距离为d ， 5d2(a2b)2a24b24ab 2a22b24ab1
15、2(a b)211. 当且仅当当且仅当ab时取等号，此时，时取等号，此时，5d21，d取得最小值取得最小值 由由ab及及2b2a21得得 或或 进而得进而得r22. 所求圆的方程为所求圆的方程为(x1)2(y1)22或或(x1)2(y1)22. 2 a2b 5 a1， b1 a1， b1， (法二法二)同法一，得同法一，得d ，所以，所以a2b d，a2 4b24 bd5d2，将，将a22b21代入整理得代入整理得2b24 bd5d2 10，(*) 把把(*)看成关于看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故的二次方程，由于方程有实数根，故0 即即8(5d21)0,5d21，可见，可见5d2有
16、最小值有最小值1，从而，从而d有最小值有最小值 ，将其代入，将其代入(*)式得式得2b24b20，b1，r22b22， a22b211，a1. 由由|a2b|1知知a，b同号同号 故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x1)2(y1)22或或(x1)2(y1)2 2. a2b 5 5 5 5 5 5 变式探究变式探究 2已知圆已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点，点A(-1,0)，B(1,0)，点，点P为圆为圆 上的动点，求上的动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大值、最小值及对应的点的最大值、最小值及对应的点P的坐的坐 标标 解析：解析：若设若设P(x0，y0)，则，则d|PA|2|P
17、B|2(x01)2y (x01)2y 2(x y )2， 欲求欲求d的最值，只需求的最值，只需求xy的最值，的最值， 即求圆即求圆C上的点到原点距离的平方的最值，故过原点上的点到原点距离的平方的最值，故过原点O与圆与圆 心心C的直线与圆的两个交点的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求即为所求 2 0 2 0 2 0 2 0 设过设过O，C两点的直线交圆两点的直线交圆C于于P1，P2两点，直线两点，直线OC的方的方 程为程为y x，代入圆的方程中，可解得，代入圆的方程中，可解得P1，P2两点的坐标为两点的坐标为 P1 ，P2 . min(|OC|1)216|OP1|2，此时，此时dmin2162
18、 34，P1 . max(|OC|1)236|OP2|2，此时，此时dmax236274， P2 . 4 3 12 5 ，16 5 18 5 ，24 5 12 5 ，16 5 18 5 ，24 5 考点三考点三 求点的轨迹求点的轨迹 【例例3】 设设A(-c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点为两定点，动点P到到A点的点的 距离与到距离与到B点的距离的比为定值点的距离的比为定值a(a0)，求点，求点P的轨迹的轨迹 思路点拨思路点拨：根据题设，可直接由题中条件建立方程关系，根据题设，可直接由题中条件建立方程关系， 然后化简方程然后化简方程 解析解析：设动点设动点 P 的坐标为的坐标为(x，
19、y)由由|PA| |PB|=a(a0)， ， 得得 x+c 2+y2 x-c 2+y2 =a，化简得，化简得， (1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 当当 a 1 时，得时，得 x2+ 2c 1+a2 1-a2 x+c2+y2=0，整理得，整理得 x-1+a 2 a2-1 c 2+y2= 2ac a2-1 2. 当当 a=1 时，化简得时，化简得 x=0. 所以当所以当 a 1时， 点时， 点P的轨迹是以的轨迹是以 a2+1 a2-1 c，0 为圆心，为圆心， 2ac a2-1 为半径的圆；当为半径的圆；当 a=1 时，点时，点 P 的轨迹为的轨迹为
20、y 轴轴 点评：点评：本题的解法是直接由题中条件，建立方程关系，然本题的解法是直接由题中条件，建立方程关系，然 后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法主要考查直后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法主要考查直 线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解 决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也 考查了分类讨论这一数学思想考查了分类讨论这一数学思想 变式探究变式探究 3(1)若圆若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆与圆x2+y2=1关于直线关于直线y=x-1
21、对对 称，过点称，过点C(-a，a)的圆的圆P与与y轴相切，则圆心轴相切，则圆心P的轨迹方程为的轨迹方程为 _ 解析：解析：由圆由圆x2y2ax2y10与圆与圆x2y21关于直线关于直线 yx1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y x1上，故可得上，故可得a2，即点，即点C(2,2)，所以过点，所以过点C(2,2)且且 与与y轴相切的圆轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为的圆心的轨迹方程为(x2)2(y2)2x2，整，整 理即得理即得y24x4y80. 答案：答案：y24x4y80 (2)设定点设定点M(-3,4)，动点，动点N在圆在圆x2+
22、y2=4上运动，以上运动，以OM，ON 为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹的轨迹 思路点拨：思路点拨：本题关键是找出动点本题关键是找出动点P与定点与定点M及已知动点及已知动点N之之 间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可 解析：解析： 设设 P(x， y)， N(x0， y0)， 则线段， 则线段 OP 的中点坐标为的中点坐标为 x 2， ，y 2 ， 线段线段 MN 的中点坐标为的中点坐标为 x03 2 ，y 0 4 2 . 因为平行四边形对角线互相平分，故因为平行四边形对角线互相平分，故x 2 x 0
23、3 2 ，y 2 y 0 4 2 ， 从而从而 x0x3， y0y4. 因因 N(x3，y4)在圆上，故在圆上，故(x3)2(y4)24，因为，因为 M， N，O 三点不能共线，故应除去三点不能共线，故应除去 M，N，O 三点共线时所求的点三点共线时所求的点 N 坐标对应的点坐标对应的点 P 的坐标，即的坐标，即 9 5， ，12 5 和和 21 5 ，28 5 . 因此所求轨迹为圆：因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点：，但应除去两点： 9 5， ，12 5 和和 21 5 ，28 5 . 课时升华课时升华 1不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母不论圆的标准方程还是一
24、般方程，都有三个字母(a，b， r或或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用 待定系数法得到关于待定系数法得到关于a，b，r(或或D，E，F)的三个方程组成的方的三个方程组成的方 程组，解之得到待定字母系数的值程组，解之得到待定字母系数的值 2求圆的方程的一般步骤求圆的方程的一般步骤 (1)选用圆的方程两种形式中的一种选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐若知圆上三个点的坐 标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐 标间的关系，通常选用标准方程标间的关系，通常选用
25、标准方程)； (2)根据所给条件，列出关于根据所给条件，列出关于D，E，F或或a，b，r的方程组；的方程组； (3)解方程组，求出解方程组，求出D，E，F或或a，b，r的值，并把它们代的值，并把它们代 入所设的方程中，得到所求圆的方程入所设的方程中，得到所求圆的方程 3解析几何中与圆有关的问题，应注意数形结合，解析几何中与圆有关的问题，应注意数形结合， 充分运用圆的几何性质，简化运算充分运用圆的几何性质，简化运算 4在二元二次方程中在二元二次方程中x2和和y2的系数相等并且没有的系数相等并且没有xy 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件项只是表示圆的必要条件而不是充分条件 5在一般方程中，当在
26、一般方程中，当D2+E2-4F=0时，方程表示一时，方程表示一 个个 点，当点，当D2+E2-4F0.从而从而x1x24a， x1x2 . 由于由于OAOB，可得，可得x1x2y1y20. 又又y1x1a，y2x2a， 所以所以2x1x2a(x1x2)a20. 由由得得a1，满足，满足0，故，故a1. xya0， x3 2 y1 29. a22a1 2 高考预测高考预测 1(2012北京市东城区期末北京市东城区期末)在平面直角坐标系内，若曲在平面直角坐标系内，若曲 线线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则实上所有的点均在第二象限内，则实 数数a的取值范围为
27、的取值范围为( ) A(-，-2) B(-，-1) C(1，+) D(2，+) 解析：解析：曲线曲线C：x2y22ax4ay5a240，即，即(xa)2 (y2a)24表示以表示以 ,2a)为圆心，为圆心，2为半径的圆，当为半径的圆，当a 2且且2a2，即，即a2时，曲线时，曲线C上所有的点均在第二象限上所有的点均在第二象限 内故选内故选D. 答案：答案：D a 2 已知圆已知圆 C：x2+y2+bx+ay-3=0()a0，b0 上任意一点上任意一点 关于直线关于直线 l：x+y+2=0 的对称点都在圆的对称点都在圆 C 上，则上，则1 a+ 4 b的最小值 的最小值 为为( ) A.9 4 B 9 C1 D2 A
