1、 第 - 1 - 页 共 16 页 - 1 - 2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查数学学年江苏省淮安市六校联盟高三第三次学情调查数学 试卷（文科）试卷（文科） 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分） 1已知集合 A3，1，1，2，集合 B0，+），则 AB 2若复数 z（1+i）（3ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 3函数 y的定义域为 4“x2”是“x2+3x40”的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不 充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写） 5已知等差数列an
2、，a4+a610，前 5 项的和 S55，则其公差为 6已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）log2（2x），则 f（0）+f（2） 7在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为，且它的一 个顶点与抛物线 y24x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 8如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 ADED1 的体积为 9若曲线 C1：yax36x2+12x 与曲线 C2：yex在 x1 处的两条切线互相垂直，则实数 a 的 值为 10已知正实数 x，y 满足 xyx2y1，则 x+2y
3、的最小值为 11已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， 若1，则 + 12已知点 A（1，0），B（2，0），直线 l：kxy5k0 上存在点 P，使得 PA2+2PB29 成立，则实数 k 的取值范围是 13 在 三 角 形 ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 、 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 若 b 3 ， 第 - 2 - 页 共 16 页 - 2 - 2sin2A+sin2B+C，则 sinC 的最大值是 14已知函数 f（x）|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|1 实 根的个数为 二、解答题（本大题
4、共六小题，二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题每题 14 分，分，18、19、20 每题每题 16 分，共分，共 90 分）分） 15如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点 （1）求证：BF平面 A1EC； （2）求证：平面 A1EC平面 ACC1A1 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点， 且AOP，将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 后到点 Q（a，b），其中 （1）若点 P 的坐标为，时，求 ab 的值； （2）若，求 b2a2的取值范围 17如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现
5、准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， AC 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设 立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM2 千米， 第 - 3 - 页 共 16 页 - 3 - AN2 千米 （1）求线段 MN 的长度； （2）若MPN60，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值 18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点 分别为 F1、F2，焦距为 2，一条准线方程为 x2P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于 另一点
6、 Q （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2三点的圆的方程； （3）若，且 （，2），求的最大值 19 （16 分）已知数列an和bn满足：a1，an+1+n4，bn（1）n（an3n+21）， 其中 为实数，n 为正整数 （1）对任意实数 ，证明：数列an不是等比数列； （2）证明：当 18 时，数列 bn 是等比数列； （3）设 Sn为数列 bn 的前 n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 Sn 12？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 20（16 分）已知函数 f（x）lnxax2+x，aR （1）若 a2，求函数 f（
7、x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式 f（x）ax1 恒成立，求整数 a 的最小值 （3）若 a2，正实数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1+x2 第 - 4 - 页 共 16 页 - 4 - 2019-2020 学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查 数学试卷（文科）（数学试卷（文科）（12 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分）分） 1已知集合 A3，1，1，2，集合 B0，+
8、），则 AB 1，2 【解答】解：A3，1，1，2，B0，+）， AB1，2， 故答案为：1，2 2若复数 z（1+i）（3ai）（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数 a 3 【解答】解：复数 z（1+i）（3ai）3+a+（3a）i， 复数 z 为纯虚数， ，解得 a3 故答案为：3 3函数 y的定义域为 2，+） 【解答】解：由 2x40，得 2x4，则 x2 函数 y的定义域为2，+） 故答案为：2，+） 4“x2”是“x2+3x40”的 充分 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不 充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写） 【解答】解：x2+3x40， 解得：x1 或 x4
9、 x2”是“x2+3x40”的充分不必要条件 故答案为：充分 5已知等差数列an，a4+a610，前 5 项的和 S55，则其公差为 2 【解答】解：等差数列an，a4+a610，前 5 项的和 S55，设公差为 d 由题意可得 2a1+8d10，5a1+5， 第 - 5 - 页 共 16 页 - 5 - 解方程组求得 d2， 故答案为 2 6已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）log2（2x），则 f（0）+f（2） 2 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）log2（2x）， 则 f（0）+f（2）0f（2）log2（2+2）2， 故
10、答案为：2 7在平面直角坐标系 xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为，且它的一 个顶点与抛物线 y24x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 yx 【解答】解：设双曲线的方程为， 抛物线 y24x 中 2p4 抛物线 y24x 的焦点 F（1，0）， 双曲线的一个顶点与抛物线 y24x 的焦点重合 a1， 又双曲线的一条准线方程为， ，解得 c2， b2413，即 双曲线的渐近线方程为 yx， 故答案为：yx 8如图所示，长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点，则棱锥 ADED1 的体积为 1 【解答】解：长方体 ABCDA1B1C1D1
11、的体积为 36，E 为线段 B1C 上的一点， 第 - 6 - 页 共 16 页 - 6 - 棱锥 ADED1的体积为： 1 故答案为：1 9若曲线 C1：yax36x2+12x 与曲线 C2：yex在 x1 处的两条切线互相垂直，则实数 a 的 值为 【解答】解：由 yax36x2+12x，得 y3ax212x+12， y|x13a， 由 yex，得 yex， y|x1e 曲线 C1：yax36x2+12x 与曲线 C2：yex在 x1 处的切线互相垂直， 3ae1，解得：a 故答案为： 10已知正实数 x，y 满足 xyx2y1，则 x+2y 的最小值为 4+2 【解答】解：正实数 x，y
12、 满足 xyx2y1，xyx+2y+1， 由基本不等式可得，xyx（2y），当且仅当 x2y 时取等号， x+2y+1， x+2y0 解不等式可得，x+2y 故答案为：4+2 11已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E、F 分别在边 BC、DC 上， 若1，则 + 【解答】解：由题意可得若（+）（+）， 第 - 7 - 页 共 16 页 - 7 - + 22cos120+ 2+4+4+22cos120 4+4221， 4+423 （）（1）（1） （1）（1） （1）（1）22cos120（1+）（2）， 即+ 由求得 +， 故答案为： 12已知点 A（1，0），B（2，0），
13、直线 l：kxy5k0 上存在点 P，使得 PA2+2PB29 成立，则实数 k 的取值范围是 【解答】解：由题意得：直线 l：yk（x5）， 因此直线 l 经过定点（5，0）； 设点 P 坐标为（x0，y0）；PA2+2PB29， 化简得：， 因此点 p 为 x2+y22x0 与直线 l：yk（x5）的交点 所以应当满足圆心（1，0）到直线的距离小于等于半径 第 - 8 - 页 共 16 页 - 8 - 解得： 故答案为 13 在 三 角 形 ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 、 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 若 b 3 ， 2sin2A+sin2B+C，则 si
14、nC 的最大值是 【解答】解：b3，2sin2A+sin2B+C， 由正弦定理可得：2a2+b2+ab3c2，可得 c2， 所 以cosC ，当且仅当 ab3时取等号， 故 sinCmax 故答案为： 14已知函数 f（x）|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|1 实 根的个数为 4 【解答】解：由|f（x）+g（x）|1 可得 g（x）f（x）1 g（x）与 h（x）f（x）+1 的图象如图所示，图象有 2 个交点 g（x）与 （x）f（x）1 的图象如图所示，图象有两个交点； 第 - 9 - 页 共 16 页 - 9 - 所以方程|f（x）+g（x）|1 实根的个数为 4 故答
15、案为：4 二、解答题（本大题共六小题，二、解答题（本大题共六小题，15、16、17 每题每题 14 分，分，18、19、20 每题每题 16 分，共分，共 90 分）分） 15如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F 分别为 BB1，AC 的中点 （1）求证：BF平面 A1EC； （2）求证：平面 A1EC平面 ACC1A1 【解答】证明：（1）连接 A1C 与 AC1交于点 O，连接 OF， F 为 AC 的中点， OFC1C 且 OFC1C， E 为 BB1的中点， BEC1C 且 BEC1C， BEOF 且 BEOF， 四边形 BEOF 是平行四边形， BFOE， BF平面 A1E
16、C，OE平面 A1EC， 第 - 10 - 页 共 16 页 - 10 - BF平面 A1EC （2）ABCB，F 为 AC 的中点， BFAC 由（1）知 BFOE， OEAC， AA1底面 ABC，BF底面 ABC， AA1BF， BFOE， OEAA1， AA1ACA， OE平面 AA1C1C OE面 A1EC， 平面 A1EC平面 AA1C1C 16如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点， 且AOP，将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 后到点 Q（a，b），其中 （1）若点 P 的坐标为，时，求 ab 的值； （2）若，求 b2a2
17、的取值范围 第 - 11 - 页 共 16 页 - 11 - 【解答】解：（1）A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，P 为单位圆上一点， 且AOP，将点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 后到点 Q（a，b），其中 ， 若点 P 的坐标为，时， 则 cos，sin，且 acos（+），bsin（+）， 故 absin（+）cos（+）sin（2+）cos2 （2cos21） （2）若，则 acos（+），bsin（+）， b2a2 cos（2+） ，2+，cos（2+）1， b2a2 cos（2+ ），1 17如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台 P，已知射线 AB， A
18、C 为湿地两边夹角为 120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路 AB，AC 上分别设 立游客接送点 M，N，从观景台 P 到 M，N 建造两条观光线路 PM，PN，测得 AM2 千米， AN2 千米 （1）求线段 MN 的长度； （2）若MPN60，求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值 【解答】解：（1）在AMN 中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120 第 - 12 - 页 共 16 页 - 12 - ， 所以千米 （2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120 在PMN 中，由正弦定理得， 因为， 所以 PM4sin（1200），PN4sin 因此 P
19、M+PN4sin（1200）+4sin 因为 0120，所以 30+30150 所以当 +300900，即 600时，PM+PN 取到最大值 答：两条观光线路距离之和的最大值为千米（16 分） 18（16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点 分别为 F1、F2，焦距为 2，一条准线方程为 x2P 为椭圆 C 上一点，直线 PF1交椭圆 C 于 另一点 Q （1）求椭圆 C 的方程； （2）若点 P 的坐标为（0，b），求过 P、Q、F2三点的圆的方程； （3）若，且 （，2），求的最大值 【解答】解：（1）由题意可得，解得 c1，a22， b2a2c21
20、， 椭圆 C 的方程为； （2）P（0，1），F1（1，0）， 直线 PF1的方程为 xy+10， 第 - 13 - 页 共 16 页 - 13 - 由，解得，或， 点 Q 的坐标为（，）， 设过 P，Q，F2三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0， ，解得， 所求圆的方程为 x2+y2+； （3）设 P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则（x1+1，y1），（1x2，y2 ）， ， ，即， ，解得 x2， x1x2+y1y2 x2（1x2） ， ， ，当且仅当，即 1 时取等号， 第 - 14 - 页 共 16 页 - 14 - ， 即的最大值为 19 （16 分）已知数列an和b
21、n满足：a1，an+1+n4，bn（1）n（an3n+21）， 其中 为实数，n 为正整数 （1）对任意实数 ，证明：数列an不是等比数列； （2）证明：当 18 时，数列 bn 是等比数列； （3）设 Sn为数列 bn 的前 n 项和，是否存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 Sn 12？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 【解答】解：（1）证明：假设存在一个实数 ，使an是等比数列，则有 a22a1a3， 即（）22，矛盾 所以an不是等比数列 （2）解：因为 bn+1（1）n+1an+13（n+1）+21（1）n+1（an2n+14） （1）n（an3n+21）bn 当 18
22、时，b1（+18）0，由上可知 bn0，（nN+） 故当 18 时，数列bn是以（+18）为首项，为公比的等比数列 （3）当 18 时，bn0，从而 Sn0成立 当 18 时， 由 （） 得， 于是， 要使对任意正整数 n，都有 Sn12 即 令 当 n 为正奇数时， 当 n 为正偶数时，（16 分） 于是可得 第 - 15 - 页 共 16 页 - 15 - 综上所述，存在实数 ，使得对任意正整数 n，都有 Sn12； 的取值范围为（， 6）（18 分） 20（16 分）已知函数 f（x）lnxax2+x，aR （1）若 a2，求函数 f（x）的单调区间； （2）若关于 x 的不等式 f（x
23、）ax1 恒成立，求整数 a 的最小值 （3）若 a2，正实数 x1，x2满足 f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1+x2 【解答】解：（1）若 a2，则 f（x）lnxx2+x，（x0）， f（x）2x+1， f（x）0 可得 2x2x10，又 x0，解得 x1， 即有 f（x）的减区间为（1，+），增区间为（0，1）； （2）f（x）ax1 恒成立，可得 lnxax2+xax+10 恒成立， 令 g（x）lnxax2+xax+1，g（x）， 当 a0 时，x0，ax2+（1a）x+10，g（x）0 g（x）在（0，+）单调递增，且 g（1）， 此时不等式 f（x）ax1 不恒成立
24、 当 a0 时，g 当）时，g（x）0，x时，g（x）0 g（x）在（0，）递增，在（）d 递减， 故 g（x）maxg（） 令 h（a），（a0），显然函数 h（a）在（0，+）递减 且 h（1） 整数 a 的最小值为 2 （3）证明：由 f（x1）+f（x2）+x1x20， 即 lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x20， 第 - 16 - 页 共 16 页 - 16 - 从而（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2）， 令 tx1x2，则由 （t）tlnt， 由 x10，x20，即 x1+x20 （t）t0 可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增 所以 （t）（1）1， 所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得：x1+x2 或 x1+x 因为 x10，x20， 因此 x1+x2成立
