1、2.5 2.5 矩形矩形 2.5.1 2.5.1 矩形的性质矩形的性质 1.1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形 的区别与联系的区别与联系. . 2.2.会初步运用矩形的性质等知识，解决简单的证明会初步运用矩形的性质等知识，解决简单的证明 和计算，进一步培养学生的分析能力和计算，进一步培养学生的分析能力. . 两组对边分别平行的四边形两组对边分别平行的四边形叫作叫作平行四边形平行四边形 A A B B C C D D 四边形四边形ABCDABCD 如果如果 ABCD ABCD ADBCADBC B B D D ABCDABCD A A C C
2、 平行四平行四 边形的边形的 性质：性质： 边边 平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行 平行四边形的对边相等平行四边形的对边相等 角角 平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补 对角线对角线 平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分 平行四平行四 边形的边形的 判定：判定： 边边 两组对边分别两组对边分别平行平行的四边形的四边形 两组对边分别两组对边分别相等相等的四边形的四边形 角角 两组对角分别两组对角分别相等相等的四边形的四边形 对角线对角线 对角线互相对角线互相平分平分的四边形的四边形 一组对边一组对边平行且相等平行且相等的四边形
3、的四边形 平行四边形的判定定理：平行四边形的判定定理： 有一有一个个角角 是是直角直角 两组对边两组对边 分别平行分别平行 平平行行四四边形边形 矩形矩形 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行行 四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同同 样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边边 形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形 矩矩形形 有一个角是有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫
4、作叫作矩形矩形 矩形的定义：矩形的定义： 平行四边形平行四边形 矩形矩形 有一个角有一个角 是直角是直角 矩形是特殊的平行四边形矩形是特殊的平行四边形 具备平行四边形所有的性质具备平行四边形所有的性质 A A B B C C D D O O 角角 边边 对角线对角线 对边平行且相等对边平行且相等 对角相等，邻角互补对角相等，邻角互补 对角线互相平分对角线互相平分 矩形的一般性质矩形的一般性质： 矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的 所有性质外，还有哪些特殊性质呢？所有性质外，还有哪些特殊性质呢？ 猜想猜想1 1：矩形的四个角都是直角矩
5、形的四个角都是直角 猜想猜想2 2：矩形的对角线相等矩形的对角线相等 A A B B C C D D 求证：矩形的四个角都是直角求证：矩形的四个角都是直角 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是矩是矩形形. 求证：求证：A=B=C=D=90A=B=C=D=90. . A A B B C C D D 证明：证明：因为四边形因为四边形ABCDABCD是矩形，是矩形， 所以所以A=90A=90. . 又因为矩形又因为矩形ABCDABCD是平行四边是平行四边形，形， 所以所以 A=C,B = DA=C,B = D， A +B = 180A +B = 180， 所以所以 A=B=C=D=
6、90A=B=C=D=90， 即矩形的四个角都是直即矩形的四个角都是直角角. 已知：如图已知：如图, ,四边形四边形ABCDABCD是矩是矩形形. 求证：求证：AC = BD.AC = BD. A A B B C C D D 证明：证明：在矩形在矩形ABCDABCD中，中， 因为因为ABC =DCB = 90ABC =DCB = 90， 又因为又因为AB = DCAB = DC，BC = CBBC = CB， 所以所以ABCABCDCBDCB， 所以所以AC = BDAC = BD，即矩形的对角线相等，即矩形的对角线相等. . 求证求证: :矩形的对角线相矩形的对角线相等等. 矩形的特殊性质矩形
7、的特殊性质 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等 从角上看：从角上看： 从对角线上看：从对角线上看： 矩形的两条对角线互相平分矩形的两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等矩形的两条对角线相等 边边 对角线对角线 角角 90 ABCD即 矩形的性质矩形的性质 例例 : : 如图，矩形如图，矩形ABCDABCD的两条对角线相交的两条对角线相交于于点点O O， AOB=60AOB=60,AB=4,AB=4, ,求矩形对角
8、线的长？求矩形对角线的长？ 所以所以ACAC与与BDBD相等且互相平分，相等且互相平分， 所以所以OA=OB.OA=OB. 因为因为AOB=60AOB=60， 所以所以AOBAOB是等边三角形，是等边三角形， 所以所以OA=AB=4(OA=AB=4() )， 所以所以矩形对角线的长矩形对角线的长AC=BD=2OA=8AC=BD=2OA=8(). 解：解：因为因为四边形四边形ABCDABCD是矩是矩形，形， D D C C B B A A o o 【例题例题】 1.1. 下面性质中，矩形不一定具有的是（下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A A对角线相等对角线相等 B B四个角都相等四个角都相
9、等 C C是轴对称图形是轴对称图形 D D对角线垂直对角线垂直 D D 【跟踪训练跟踪训练】 2.2.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四 条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ） A.A.对角线相等的四边形对角线相等的四边形 B.B.对角线互相平分且相等的四边形对角线互相平分且相等的四边形 C.C.对角线互相垂直且平分的四边形对角线互相垂直且平分的四边形 D.D.对角线垂直的四边形对角线垂直的四边形 D D 3. 3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是已知矩形的一条对角线与一边的夹角是404
10、0，则两，则两条条 对角线所夹锐角的度数为（对角线所夹锐角的度数为（ ） A A5050 B B6060 C C7070 D D8080 4. 4. 矩形矩形ABCDABCD中，中，AB=2BCAB=2BC，E E在在CDCD上，上，AE=ABAE=AB，则，则BAEBAE等等 于（于（ ） A A3030 B B4545 C C6060 D D120120 D D A A 矩形的对称性矩形的对称性 矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩矩形是轴对称图形，过每一组对边的中点的直线都是矩 形的对称轴形的对称轴. 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心矩形是中心对称图形，对角线的
11、交点是它的对称中心. 四个学生正在做投圈游戏四个学生正在做投圈游戏, ,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目 标物放在对角线的交点处标物放在对角线的交点处, ,这样的队形对每个人公平吗这样的队形对每个人公平吗? ?为什么？为什么？ O O A A B B C C D D 公平公平, ,因为因为OA=OC=OB=ODOA=OC=OB=OD 【跟踪训练跟踪训练】 直角三角形的性质：直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 应用格式：应用格式：因为在因为在RtRtABCABC中，中，ABC=90ABC=90，BO
12、BO是是ACAC上上 的中线的中线. . 所以所以BO = AC.BO = AC. 2 1 O O C C B B A A D D C C B B A A 已知已知ABCABC是是RtRt，ABC=90ABC=90，BDBD是斜边是斜边ACAC上的中线上的中线 (1)(1)若若BD=3BD=3 则则ACAC_ (2)(2)若若C=30C=30，ABAB5 5，则，则ACAC_，BDBD_. . 6 6 5 5 1010 【跟踪训练跟踪训练】 【解析解析】 2.2.（温州温州中考）如图，中考）如图，ACAC，BDBD是矩形是矩形ABCDABCD的对角线，过点的对角线，过点D D 作作DEACDE
13、AC交交BCBC的延长线于的延长线于E E，则图中与，则图中与ABCABC全等的三角形共全等的三角形共 有（有（ ） （A A）1 1个个 （B B）2 2个个 （C C）3 3个个 （D D）4 4个个 【解析解析】选选D.D.与与ABCABC全等的三角形有：全等的三角形有：DCBDCB、BADBAD、 CDACDA、DCEDCE共共4 4个个. . 3.3.(哈尔滨哈尔滨 中考中考) )如图，将矩形纸片如图，将矩形纸片ABCDABCD折叠，使点折叠，使点D D与与 点点B B重合，点重合，点C C落在点落在点CC处，折痕为处，折痕为EFEF，若，若ABE=20ABE=20, , 那么那么E
14、FCEFC的度数为的度数为_度度 . . 【解析解析】由折叠可知，由折叠可知，DEF=BEF.DEF=BEF. EFC=EFC.EFC=EFC. 因为因为四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形, , 所以所以A=D=C=90A=D=C=90. . 又又ABE=20ABE=20, , 所以所以AEB=70AEB=70, , 所以所以DEF=55DEF=55. . 在四边形在四边形EFCDEFCD中，中，EFC=125EFC=125, , 所以所以EFC=125EFC=125. . 答案：答案：125125 4.4.（河北（河北中考）如图，矩形中考）如图，矩形ABCDABCD的顶点的顶点A A，
15、B B在数在数 轴上，轴上，CD=6CD=6，点，点A A对应的数为对应的数为- -1 1，则点，则点B B所对应的数为所对应的数为 _._. 【解析解析】在矩形在矩形ABCDABCD中，中，CD=6CD=6， 所以所以AB=6.AB=6. 又点又点A A对应的数为对应的数为- -1 1， 所以点所以点B B所对应的数为所对应的数为5.5. 答案：答案：5 5 5.5.如图如图, ,矩形矩形ABCDABCD的两对角线交于点的两对角线交于点O,O, 过点过点O O作作ACAC的垂线的垂线EF,EF,分别交分别交ADAD，BCBC于于 点点E，F,F,连接连接CE,CE,已知已知CDECDE的周长
16、为的周长为 24 cm,24 cm,则矩形则矩形ABCDABCD的周长是的周长是_cm._cm. 【解析解析】易得易得EFEF垂直平分垂直平分AC,AC, 所以所以EA=EC.EA=EC. 因为因为CDECDE的周长为的周长为24 cm,24 cm, 所以所以DC+DA=24 cm,DC+DA=24 cm, 所以所以矩形矩形ABCDABCD的周长为的周长为48 cm.48 cm. 答案：答案：4848 6.(6.(黄冈黄冈中考中考) )如图，矩形纸片如图，矩形纸片ABCDABCD，ABAB5 cm5 cm，BCBC 10 cm10 cm，CDCD上有一点上有一点E E，EDED2 cm2 cm
17、，ADAD上有一点上有一点P P，PDPD 3 cm3 cm，过，过P P作作PFADPFAD交交BCBC于于F F，将纸片折叠，使，将纸片折叠，使P P点与点与E E点点 重合，折痕与重合，折痕与PFPF交于交于Q Q点，则点，则PQPQ的长是的长是_cm._cm. 【解析解析】如图连结如图连结EQEQ，作，作QMCDQMCD于于M M， 由题意知由题意知EQ=PQ=DMEQ=PQ=DM， 设设PQ=xPQ=x，则，则MQ=PD=3.MQ=PD=3. ME=DMME=DM- -DE=xDE=x- -2 2， 在在RtRtMQEMQE中中(x(x- -2)2)2 2+3+32 2=x=x2 2 解得解得x= (cm)x= (cm) 答案答案: : 13 4 13 4 【解析解析】 本节课主要学习了矩形的定义、性质，要求我们本节课主要学习了矩形的定义、性质，要求我们 1.1.弄清矩形的性质与平行四边形性质的区别与联系弄清矩形的性质与平行四边形性质的区别与联系. . 2.2.会应用矩形的性质证明一些几何问题会应用矩形的性质证明一些几何问题. . 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种 学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳 定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 席慕蓉
