1、2.4 三角形的中位线 1.1.掌握三角形的中位线定理掌握三角形的中位线定理.(.(重点重点) ) 2.2.会应用三角形的中位线定理进行计算或证明会应用三角形的中位线定理进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 1.1.三角形的中位线的定义三角形的中位线的定义: :连接三角形两边连接三角形两边_的线段的线段. . 2.2.三角形中位线定理的证明三角形中位线定理的证明: : 如图如图,DE,DE是是ABCABC的中位线的中位线, ,求证求证:DEBC,DE= BC.:DEBC,DE= BC. 1 2 中点中点 证明：如图，延长证明：如图，延长DEDE到点到点F,F,使使EF=DE,EF=
2、DE,连接连接FC,FC, 在在ADEADE和和CFECFE中，中， ADEADECFE(_)CFE(_)， AD=CF,DE=FE,ADE=F,AD=CF,DE=FE,ADE=F, ADCF,DE= DF.ADCF,DE= DF. AEEC, AEDCEF, DEFE, SASSAS 1 2 又又AD=DB,AD=DB, DB FC,DB FC, 四边形四边形DBCFDBCF是是_,_, DE_DE_，DE= DF=_.DE= DF=_. 平行四边形平行四边形 BCBC 1 2 1 BC 2 【总结总结】三角形的中位线定理三角形的中位线定理: : (1)(1)位置关系位置关系: :三角形的中
3、位线三角形的中位线_第三边第三边. . (2)(2)数量关系数量关系: :三角形的中位线等于第三边的三角形的中位线等于第三边的_. . 平行于平行于 一半一半 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)三角形的中位线是直线三角形的中位线是直线. . ( )( ) (2)(2)一个三角形只有一条中位线一个三角形只有一条中位线. . ( )( ) (3)(3)一个三角形的周长是一个三角形的周长是36,36,则以这个三角形各边中点为顶点的则以这个三角形各边中点为顶点的 三角形的周长是三角形的周长是18.18. ( )( ) (4)DE(4)DE是是ABCABC的中位线的中位线, ,如果如果DE
4、=2,DE=2,那么那么BC=4.BC=4. ( )( ) 知识点知识点 1 1 三角形中位线定理的应用三角形中位线定理的应用 【例【例1 1】(2013(2013淄博中考淄博中考) )如图，如图，ABCABC的的 周长为周长为2626，点，点D D，E E都在边都在边BCBC上，上，ABCABC的的 平分线垂直于平分线垂直于AEAE，垂足为，垂足为Q Q，ACBACB的平分的平分 线垂直于线垂直于ADAD，垂足为，垂足为P P，若，若BC=10BC=10，则，则PQPQ的长为的长为( )( ) 35 A B C 3 D 4 22 【思路点拨思路点拨】垂直平分线垂直平分线PQPQ是是ADEAD
5、E的中位线的中位线计算计算DEDE的长的长 求求PQPQ的长的长 【自主解答自主解答】选选C.BQC.BQ平分平分ABC,BQAE,ABC,BQAE,BAEBAE是等腰三角是等腰三角 形形, ,同理同理CADCAD是等腰三角形是等腰三角形,点点Q Q是是AEAE中点中点, ,点点P P是是ADAD中点中点( (三三 线合一线合一),PQ),PQ是是ADEADE的中位线的中位线,BE+CD=AB+AC=26,BE+CD=AB+AC=26- -BC=26BC=26- - 10=16,DE=BE+CD10=16,DE=BE+CD- -BC=6,PQ= DE=3.BC=6,PQ= DE=3. 1 2
6、【总结提升总结提升】三角形的中位线定理的两个结论及四个应用三角形的中位线定理的两个结论及四个应用 1.1.两个结论两个结论: : (1)(1)中位线与第三边的位置关系中位线与第三边的位置关系互相平行互相平行. . (2)(2)中位线与第三边的数量关系中位线与第三边的数量关系中位线等于第三边的一半中位线等于第三边的一半. . 2.2.四个应用四个应用: : (1)(1)求线段的长度求线段的长度. . (2)(2)证明线段相等或平行证明线段相等或平行. . (3)(3)求角的度数求角的度数. . (4)(4)证明线段的倍分关系证明线段的倍分关系. . 知识点知识点 2 2 三角形中位线定理的实际应
7、用三角形中位线定理的实际应用 【例【例2 2】(2013(2013宿迁中考宿迁中考) )如图如图, ,为测量位于为测量位于 一水塘旁的两点一水塘旁的两点A,BA,B间的距离间的距离, ,在地面上确定在地面上确定 点点O,O,分别取分别取OA,OBOA,OB的中点的中点C,D,C,D,量得量得CD=20m,CD=20m,则则 A,BA,B之间的距离是之间的距离是 m.m. 【思路点拨思路点拨】由由C,DC,D分别是边分别是边OA,OBOA,OB的中点的中点, ,首先判定首先判定CDCD是是AOBAOB 的中位线的中位线, ,然后根据三角形的中位线定理然后根据三角形的中位线定理, ,由由CDCD的
8、长的长, ,求出求出A,BA,B之之 间的距离间的距离. . 【自主解答自主解答】C,DC,D分别是分别是OA,OBOA,OB的中点的中点,CD,CD是是AOBAOB的中位线的中位线. . AB=2CD=2AB=2CD=220=40m.20=40m. A,BA,B之间的距离是之间的距离是40m.40m. 答案答案: :4040 【总结提升总结提升】三角形的中位线的实际应用三角形的中位线的实际应用 三角形中位线的有关知识三角形中位线的有关知识, ,常用来解决以测量距离为背景的题常用来解决以测量距离为背景的题 目目, ,解题时常先把实际问题转化为数学问题解题时常先把实际问题转化为数学问题, ,再分
9、两步走再分两步走: :一定一定 ( (依照三角形中位线定义依照三角形中位线定义, ,确定哪条线段是三角形的中位线确定哪条线段是三角形的中位线););二二 算算( (根据三角形中位线定理根据三角形中位线定理, ,利用三角形的第三边是三角形中位利用三角形的第三边是三角形中位 线的线的2 2倍进行计算倍进行计算).). 题组一题组一: :三角形中位线定理的应用三角形中位线定理的应用 1.(20131.(2013昆明中考昆明中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D,ED,E 分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,A=50,A=50,ADE=60,ADE=60, , 则则C C的
10、度数为的度数为 ( ( ) ) A.50A.50 B.60B.60 C.70C.70 D.80D.80 【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得AED=180AED=180- -AA- -ADE=70ADE=70, , 点点D,ED,E分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,DE,DE是是ABCABC的中位线的中位线, , DEBC,C=AED=70DEBC,C=AED=70. . 2.(20132.(2013铜仁中考铜仁中考) )已知已知ABCABC的各边长度分别为的各边长度分别为3cm,4cm,5cm,3cm,4cm,5cm, 则连接各边中点的三角形的周长为则连接各边中点的三角形的周
11、长为 ( ( ) ) A.2 cm B.7 cm A.2 cm B.7 cm C.5 cm C.5 cm D.6 cmD.6 cm 【解析解析】选选D.D.由三角形的中位线定理可知由三角形的中位线定理可知, ,连接各边中点的三连接各边中点的三 角形的周长为角形的周长为 (3+4+5)=6cm.(3+4+5)=6cm. 1 2 【归纳整合归纳整合】三角形三条中位线的性质三角形三条中位线的性质 (1)(1)任何一个三角形都有三条中位线任何一个三角形都有三条中位线. . (2)(2)三条中位线围成的三角形三条中位线围成的三角形, ,其周长是原三角形周长的一半其周长是原三角形周长的一半, , 面积为原
12、三角形面积的四分之一面积为原三角形面积的四分之一. . (3)(3)三条中位线把原三角形分割成三条中位线把原三角形分割成4 4个全等的小三角形个全等的小三角形, ,在原三在原三 角形中形成三个面积相等的平行四边形角形中形成三个面积相等的平行四边形. . 3.3.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中,AB=10,BC=6,E,F,AB=10,BC=6,E,F分别是分别是AD,DCAD,DC的中点的中点, ,若若 EF=7,EF=7,则四边形则四边形EACFEACF的周长是的周长是 ( ( ) ) A.20 B.22 A.20 B.22 C.29 C.29 D.31D.31 【解析解析】选选C
13、.C.由已知得由已知得AE=3,CF=5,AC=2EF=14,AE=3,CF=5,AC=2EF=14,故四边形故四边形EACFEACF的的 周长是周长是29.29. 4.4.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中,AC,AC与与BDBD相交于点相交于点O,O,点点E E 是边是边BCBC的中点的中点,AB=4,AB=4,则则OEOE的长是的长是 ( ( ) ) A.2 B.A.2 B. C.1 D.C.1 D. 【解析解析】选选A.A.在在 ABCDABCD中中,AC,AC与与BDBD相交于点相交于点O,O,故故O O为为ACAC的中点的中点, ,又又 E E是是BCBC的中点的中点, ,即
14、即OEOE是是ABCABC的中位线的中位线, ,所以所以OE= AB=2.OE= AB=2. 1 2 2 1 2 5.5.已知已知ABCABC中中,D,E,D,E分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,F,F为为BCBC上一点上一点,EF= BC,EF= BC, EFC=35EFC=35, ,则则EDF=EDF= . . 【解析解析】因为因为D,ED,E分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点, ,所以所以DEBC,DE= BC,DEBC,DE= BC,所所 以以DEF=EFC=35DEF=EFC=35, ,因为因为EF= BC,EF= BC,所以所以ED=EF,ED=EF,所以所以
15、EDF=EDF= EFD= EFD= (180(180- -3535)=72.5)=72.5. . 答案答案: :72.572.5 1 2 1 2 1 2 1 2 6.6.如图如图, ,已知已知E,FE,F是四边形是四边形ABCDABCD的边的边AD,BCAD,BC的中点的中点,G,H,G,H是是BD,ACBD,AC的的 中点中点. .求证求证:EF:EF和和GHGH互相平分互相平分. . 【证明证明】连结连结EG,GF,FH,EH,EG,GF,FH,EH, 因为因为E E是是ADAD的中点的中点,G,G是是BDBD的中点的中点, , 所以所以EGEG AB,AB,同理可证同理可证FHFH A
16、B,AB, 所以所以EGEG FH,FH, 所以四边形所以四边形EGFHEGFH是平行四边形是平行四边形, , 所以所以EFEF和和GHGH互相平分互相平分. . 1 2 1 2 7.7.已知已知, ,如图如图, ,在在ABCABC中中,CF,CF平分平分ACB,CA=CD,ACB,CA=CD, AE=EB,AE=EB,求证求证:EF= BD.:EF= BD. 【证明证明】CA=CD,CA=CD, CFCF平分平分ACB,AF=DF,ACB,AF=DF, AE=EB,EFAE=EB,EF为为ABDABD的中位线的中位线,EF= BD.,EF= BD. 1 2 1 2 题组二题组二: :三角形中
17、位线定理的实际应用三角形中位线定理的实际应用 1.1.如图所示如图所示, ,吴伯伯家一块等边三角形的空吴伯伯家一块等边三角形的空 地地ABC,ABC,已知点已知点E,FE,F分别是边分别是边AB,ACAB,AC的中点的中点, ,量量 得得EF=5m,EF=5m,他想把四边形他想把四边形BCFEBCFE用篱笆围成一圈用篱笆围成一圈 放养小鸡放养小鸡, ,则需要篱笆的长是则需要篱笆的长是 ( ( ) ) A.15m B.20mA.15m B.20m C.25m C.25m D.30mD.30m 【解析解析】选选C.C.点点E,FE,F分别是边分别是边AB,ACAB,AC的中的中 点点,EF=5m,
18、BC=2EF=10m,EF=5m,BC=2EF=10m, ABCABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=AC,AB=BC=AC, BE=CF= BC=5m,BE=CF= BC=5m, 篱笆的长为篱笆的长为BE+BC+CF+EFBE+BC+CF+EF =5+10+5+5=25(m).=5+10+5+5=25(m). 1 2 2.2.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果厨房角柜的台面是三角形，如图，如果 把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑把各边中点的连线所围成的三角形铺上黑 色大理石色大理石( (图中阴影部分图中阴影部分).).其余部分铺上其余部分铺上 白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大
19、理石面积的比是白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是 ( )( ) 1113 A. B. C. D. 4234 【解析解析】选选C.C.如图如图,D,E,F,D,E,F分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的中点的中点, , DF=BE=EC,EF=AD=BD,DE=AF=FC,DF=BE=EC,EF=AD=BD,DE=AF=FC, BDEBDEDAFDAFEFCEFCFED,FED, SS BDEBDE=S =S DAFDAF=S =S EFCEFC=S =S FEDFED. . 黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是13.13.
20、故选故选C.C. 3.3.如图是跷跷板示意图如图是跷跷板示意图, ,横板横板ABAB绕中点绕中点O O上下上下 转动转动, ,立柱立柱OCOC与地面垂直与地面垂直, ,设设B B点的最大高度点的最大高度 为为h h1 1. .若将横板若将横板ABAB换成横板换成横板A A B B , ,且且A A B B = = 2AB,O2AB,O仍为仍为A A B B 的中点的中点, ,设设B B 点的最大高度为点的最大高度为h h2 2, ,则下列结论正则下列结论正 确的是确的是 ( ( ) ) A.hA.h2 2=2h=2h1 1 B.h B.h2 2=1.5h=1.5h1 1 C.hC.h2 2=h
21、=h1 1 D.h D.h2 2= h= h1 1 1 2 【解析解析】选选C.C.如图所示如图所示: : OO为为ABAB的中点的中点,OCAD,BDAD,OCBD,OCAD,BDAD,OCBD, OCOC是是ABDABD的中位线的中位线,h,h1 1=2OC,=2OC, 同理同理, ,当将横板当将横板ABAB换成横板换成横板AB,AB,且且AB=2AB,OAB=2AB,O仍为仍为ABAB的中的中 点点,h,h2 2=2OC,h=2OC,h1 1=h=h2 2. . 4.4.一天一天, ,小青在校园内发现小青在校园内发现: :旁边一棵树在阳光下的影子和她本旁边一棵树在阳光下的影子和她本 人的
22、影子在同一直线上人的影子在同一直线上, ,树顶的影子和她头顶的影子恰好落在树顶的影子和她头顶的影子恰好落在 地面的同一点地面的同一点, ,同时还发现她站立于树影的中点同时还发现她站立于树影的中点. .如果小青的身如果小青的身 高为高为1.65m,1.65m,由此可推断出树高是由此可推断出树高是 m.m. 【解析解析】根据三角形的中位线定理根据三角形的中位线定理, ,得树高是小青的身高的得树高是小青的身高的2 2倍倍, , 即即3.3m.3.3m. 答案答案: :3.33.3 【想一想错在哪？想一想错在哪？】在在RtRtABCABC中中,AC=5,BC=12,D,AC=5,BC=12,D为为ACAC的中点的中点,E,E 为为BCBC的中点的中点, ,则则DEDE的长为的长为 . . 提示提示: :题目中没有说明哪个角为直角题目中没有说明哪个角为直角,AB,AB的值应该有两种可能的值应该有两种可能. .
