1、2.7 2.7 正方形正方形 1.1.掌握正方形的定义、性质和判定，并会用它们进行有掌握正方形的定义、性质和判定，并会用它们进行有 关的证明和计算关的证明和计算. . 2.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. . 定义定义 边边 角角 对对 角角 线线 对对 称称 性性 平行平行 四边四边 形形 矩矩 形形 菱菱 形形 几种特殊四边形的定义及性质几种特殊四边形的定义及性质 对边平行对边平行 且相等且相等 对边平行对边平行 且相等且相等 对边平行，对边平行， 四边都相四边都相 等等 对角相等，对角相等， 邻角互补邻角互补 四个角四个角
2、 都是直角都是直角 对角相等，对角相等， 邻角互补邻角互补 对角线对角线 互相平分互相平分 对角线相等对角线相等 且互相平分且互相平分 对角线互相垂直对角线互相垂直 平分，每条对角平分，每条对角 线平分一组对角线平分一组对角 中心对中心对 称图形称图形 轴对称图轴对称图 形、中心形、中心 对称图形对称图形 轴对称图轴对称图 形、中心对形、中心对 称图形称图形 两组对边分两组对边分 别平行的四别平行的四 边形边形 有一个角是有一个角是 直角的平行直角的平行 四边形四边形 一组邻边一组邻边 相等的平行相等的平行 四边形四边形 矩形矩形 正方形正方形 矩形怎样变化后就成了正方形矩形怎样变化后就成了正
3、方形 呢呢? ? 探究（一）探究（一） 菱菱 形形 正方形正方形 菱形怎样才能变形为正方形呢菱形怎样才能变形为正方形呢? ? 探究（二）探究（二） 矩矩 形形 正方形正方形 邻边邻边 相等相等 发现：发现： 一组邻边相等的矩一组邻边相等的矩 形是正方形形是正方形 菱菱 形形 一个角一个角 是直角是直角 正方形正方形 发现：发现： 一个角为直角的菱一个角为直角的菱 形是正方形形是正方形 正方形的定义正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 正方形性质正方形性质 边边 角角 对角线对角线 对称性对称性 图图 形形 语
4、语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 A A C C D D B B A A C C D D B B A A C C D D B B O O 对边平行，对边平行， 四条边都相等四条边都相等 四四 个个 角角 都是直角都是直角 对角线互相垂直平对角线互相垂直平 分且相等，每条对分且相等，每条对 角线平分一组对角角线平分一组对角 因为四边形因为四边形ABCD 是正方形是正方形 所以所以ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD 因为四边形因为四边形ABCD 是正方形是正方形 所以所以A=B=C =D=90 因为四边形因为四边形ABCD是正方是正方 形，所以形，所以ACBD,A
5、C= BD,OA=OB=OC=OD, 1= 2= 3= 4= 5= 6= 7= 8 轴 对 称 图 形 轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形 1 2 3 4 5 6 7 8 正方形是轴对称图正方形是轴对称图 形，它的对称轴是形，它的对称轴是 什么？什么？ 【跟踪训练跟踪训练】 根据图形所具有的性质根据图形所具有的性质, ,在下表相应的空格中打”在下表相应的空格中打” 平行四平行四 边形边形 矩形矩形 菱形菱形 正方形正方形 对边平行且相等对边平行且相等 四边都相等四边都相等 四个角都是直角四个角都是直角 对角线互相平分对角线互相平分 对角线互相垂直对角线互相垂直
6、对角线相等对角线相等 正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱正方形不但具备一般的平行四边形的性质，而且同时具备矩形和菱 形的性质。形的性质。 求证：求证：ABOABO、BCOBCO、CDOCDO、DAODAO是全是全 等的等腰直角三角形等的等腰直角三角形. . DAODAO都是等腰直角三角形，并且都是等腰直角三角形，并且 ABOABOBCOBCOCDOCDODAO.DAO. A A B B C C D D O O 例例1 1 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD是正方形，对是正方形，对 角线角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O， 证明：证明： 因为因
7、为四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形， 所以所以AC=BDAC=BD，ACBDACBD， AO=BO=CO=DO.O=BO=CO=DO. 所以所以ABOABO、BCOBCO、CDOCDO、 【例题例题】 例例2 2：ACAC为正方形为正方形ABCDABCD的对角线，的对角线，E E为为ACAC上一点，且上一点，且AB=AEAB=AE，EFACEFAC交交BCBC 于于F F，求证：，求证：EC=EF=FBEC=EF=FB A A B B C C D D E E F F 证明：证明：因为因为 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 所以所以B=90B=90，ACB=45ACB=
8、45， 因为 因为AEF=B =90AEF=B =90， ，AB=AE AB=AE，AF=AFAF=AF， 所以所以ABFABFAEFAEF（HLHL），）， 所以所以BF=EFBF=EF， 又又因为因为FEC=90FEC=90 所以所以EFC=45EFC=45， 所以 所以EC=EFEC=EF（等角对等边），（等角对等边）， 所以所以BF=EF=ECBF=EF=EC . . 【例题例题】 （红河红河中考）如图，在正方形中考）如图，在正方形ABCDABCD中，中，G G是是BCBC上的任意一点上的任意一点 （G G与与B B、C C两点不重合），两点不重合），E E、F F是是AGAG上的两点
9、（上的两点（E E、F F与与A A、G G两两 点不重合），若点不重合），若AF=BF+EFAF=BF+EF，1=21=2， 请判断线段请判断线段DEDE与与BFBF有怎样的位置关系，并证明你的结论有怎样的位置关系，并证明你的结论. . 【跟踪训练跟踪训练】 【解析解析】根据题目条件可判断根据题目条件可判断DEBF.DEBF. 证明如下：证明如下： 因为因为四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形， 所以所以AB=ADAB=AD， 因为因为AF=AE+EFAF=AE+EF，又，又AF=BF+EF,AF=BF+EF, 所以所以AE=BF,AE=BF, 因为因为1=21=2，所以，所以AB
10、FABFDAEDAE（SASSAS）. . 所所以以AFB=DEAAFB=DEA，BAF=ADE.BAF=ADE. 因为因为BAF+2=90BAF+2=90, , 所以所以ADE+2=90ADE+2=90，所以，所以 BAF+ 1=90BAF+ 1=90 所以所以AED=BFA=90AED=BFA=90, , 所以所以DEBF.DEBF. 一组邻边一组邻边 相等相等 有一个内有一个内 角是直角角是直角 一组邻边一组邻边 相等相等 有一个内角有一个内角 是直角是直角 正方形的判定正方形的判定 一组邻边相等且一组邻边相等且 有一个角是直角有一个角是直角 1 1 2 2 3 3 例例3 3 已知已知
11、: :正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E E，F F，G G，H H分别在分别在ABAB，BCBC，CDCD，DADA上上, ,且且 AE=BF=CG=DH,AE=BF=CG=DH,试判断四边形试判断四边形EFGHEFGH是正方形吗是正方形吗? ?并证明你的结论并证明你的结论. . 【例题例题】 证明：证明：四边形四边形EFGHEFGH是正方形，是正方形， 因为四因为四边形边形ABCDABCD是正方形，是正方形， 所以所以ABC=BCD=CDA=DAB=90ABC=BCD=CDA=DAB=90，AB=AD=DC=BCAB=AD=DC=BC 又又因为因为AE=BF=CG=DHAE=BF
12、=CG=DH， 所以所以ABAB- -AE=ADAE=AD- -DH=DCDH=DC- -CG=BCCG=BC- -BFBF， 即即BE=AH=DG=CFBE=AH=DG=CF， 所以所以AEHAEHBFE BFE CGF CGF DHGDHG所以所以EH=HG=FG=EFEH=HG=FG=EF， 因为因为1=31=3又又3+2=903+2=90所以所以1+2=901+2=90 所以所以四边形四边形EFGHEFGH是正方形是正方形 1.ABCD1.ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在是一块正方形场地，小华和小芳在ABAB边上取定了一点边上取定了一点E E， 经测经测EC=50mEC=50m，
13、EB=30mEB=30m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ A A D D B B C C E E 【解析解析】 连接连接AC.AC. 因为因为四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形 所以所以B=90B=90，AB=BCAB=BC 因为因为EC=50mEC=50m，EB=30mEB=30m 所以所以 S S正方形 正方形ABCDABCD=(4 =(40 m) )2 2=1600(m=1600(m2 2) ) 所以所以 22 AC= AB +BC =40 2(m) 22 BC= CE -BE =40m所以所以 【跟踪训练跟踪训练】 2.2.在一块正
14、方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分( (不考虑不考虑 道路的宽度道路的宽度).).你有几种方法？你有几种方法？ 解析：解析：有无数方法，只要两直线垂直且交点在正方形的对角有无数方法，只要两直线垂直且交点在正方形的对角 线交点处即可线交点处即可. 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 正正 方方 形形 3.3.你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、你能用恰当的方式表示出平行四边形、矩形、菱形、 正方形之间的包含关系吗？正方形之间的包含关系吗？ 解析：解析
15、： 1.1.（义乌义乌中考）下列说法不正确的是中考）下列说法不正确的是( )( ) （A A）一组）一组邻邻边相等的矩形是正方形边相等的矩形是正方形 （B B）对角线相等的菱形是正方形）对角线相等的菱形是正方形 （C C）对角线互相垂直的矩形是正方形）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D D）有一个角是直角的平行四边形是正方形）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析解析】选选D.D.有一个角是直角的平行四边形可能是有一个角是直角的平行四边形可能是矩形，矩形， 也可能是正方形也可能是正方形. . 2.2.（苏州（苏州中考）如图，四边形中考）如图，四边形 ABCDABCD是正方形，延长是正方形，
16、延长ABAB到到E E，使，使AE=ACAE=AC， 则则BCEBCE的度数是的度数是_. . 【解析解析】因为因为四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形， 所以所以CAE=45CAE=45，ABC=90ABC=90, , 又又因为因为AE=AC,AE=AC,所以所以E=ACE=67.5E=ACE=67.5, , 所以所以BCE=90BCE=90- -E=90E=90- -67.567.5=22.5=22.5. . 答案：答案：22.522.5 3.3.(宜宾宜宾中考）如图，点中考）如图，点P P是正方形是正方形ABCDABCD的对角线的对角线 BDBD上一上一点点，PEBCPEBC于
17、点于点E E，PFCDPFCD于点于点F F，连接，连接EF,EF,给出给出 下列五个结论：下列五个结论：AP=EFAP=EF；APEFAPEF；APDAPD一定是等一定是等 腰三角形；腰三角形；PFE=BAPPFE=BAP；PD= EC.PD= EC.其中正确结其中正确结 论的序号是论的序号是_._. 2 【解析解析】延长延长FPFP交交ABAB于点于点G G，延长，延长APAP交交EFEF于点于点H H，交，交ECEC于点于点M M， 由题意易证，由题意易证，BPEBPE、DPFDPF为等腰直角三角形，四边形为等腰直角三角形，四边形PECFPECF 为矩形，四边形为矩形，四边形BEPGBE
18、PG为正方形为正方形. . 易证易证APGAPGFEP,FEP, 所以所以AP=EFAP=EF，BAP=PFEBAP=PFE，又，又PEFC,PEFC, 所以所以PFE=FEC=BAP,PFE=FEC=BAP, 又又BAP+BMA=90BAP+BMA=90，所以，所以FEM+BMA=90FEM+BMA=90， 所以所以EHM=90EHM=90即即APEF.APEF. 在等腰直角三角形在等腰直角三角形PDFPDF中中, , PD= PF= EC.PD= PF= EC. 答案：答案： 22 4.4.如图，正方形如图，正方形ABCDABCD和正方形和正方形OEFGOEFG的边的边 长均为长均为4 4
19、，O O是正方形是正方形ABCDABCD的旋转对称中的旋转对称中 心，则图中阴影部分的面积是心，则图中阴影部分的面积是_._. 【解析解析】连接连接OC,OD.OC,OD.易证图中阴影部分易证图中阴影部分 的面积等于的面积等于CODCOD的面积的面积, ,即正方形面积即正方形面积 的四分之一的四分之一, ,故阴影部分面积为故阴影部分面积为4.4. 答案：答案：4 4 5.5.（滨州滨州 中考中考) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD中，中，E E、F F、G G、H H分别分别 是是ABAB、BCBC、CDCD、DADA的中点，的中点， （1 1）请判断四边形）请判断四边形EFGHEF
20、GH的形状？并说明为什么的形状？并说明为什么. . （2 2）要使四边形）要使四边形EFGHEFGH为正方形，那么四边形为正方形，那么四边形ABCDABCD的对的对 角线应该有怎样的情况？角线应该有怎样的情况？ 【解析解析】（1 1）四边形）四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . 连接连接AC,AC, 因为因为E E、F F分别是分别是ABAB、BCBC的中点的中点 所以所以EFACEFAC，EF= ACEF= AC 同理同理HGACHGAC，HG= ACHG= AC 所以所以EF HG,EF HG, 所以所以四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. . （2 2）
21、四边形）四边形ABCDABCD的对角线互相垂直且相等的对角线互相垂直且相等. . 1 2 1 2 通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们 1.1.掌握正方形的定义、性质、判定掌握正方形的定义、性质、判定. 2.2.了解正方形、矩形、菱形、平了解正方形、矩形、菱形、平行行四边形间的关系，认识四边形间的关系，认识 它们之间的联系和区别它们之间的联系和区别. 3.3.能综合利用正方形的性质与判定解决有关的证明与计算能综合利用正方形的性质与判定解决有关的证明与计算. . 一、正方形的定义：一、正方形的定义： 直角直角 相等相等 平行且相等平行且相等 相等相等 垂直平分垂直平分 一组对角一组对角 中心中心 轴轴 4 菱形菱形 矩形矩形 矩形矩形 菱形菱形 相等相等 直角直角 天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋 骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为。 孟子告子下
