1、 2.6.2 菱形的判定 1.1.理解菱形的判定理解菱形的判定.(.(重点重点) ) 2.2.会用菱形的性质和判定定理进行计算或证明会用菱形的性质和判定定理进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 菱形的判定菱形的判定 判定定理的推导判定定理的推导: : 如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O.O. 【思考思考】(1)(1)如果四边形如果四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,且且ACBD,ACBD,那么那么 AODAOD与与AOBAOB有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :AODAO
2、DAOB.AOB. 理由理由:四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,OD=OB,ACBD,OD=OB,ACBD, AOB=AOD=90AOB=AOD=90, ,又又OA=OA,OA=OA,AODAODAOB(SAS).AOB(SAS). (2)(2)在上述条件下在上述条件下, ,四边形四边形ABCDABCD是菱形吗是菱形吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .理由理由:AODAODAOB,AD=AB,AOB,AD=AB, 又又四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,平行四边形平行四边形ABCDABCD是菱形是菱形.
3、. (3)(3)如果如果AB=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA,那么四边形那么四边形ABCDABCD是菱形吗是菱形吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .理由理由:AB=CD,BC=DA,:AB=CD,BC=DA,四边形四边形ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形, ,又又AB=BC,AB=BC,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. . 【总结总结】菱形的判定定理菱形的判定定理: : (1)(1)四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形. . (2)(2)对角线对角线_的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形. . 互相
4、垂直互相垂直 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)一组邻边相等的四边形是菱形一组邻边相等的四边形是菱形. . ( )( ) (2)(2)对角线互相平分且相等的四边形是菱形对角线互相平分且相等的四边形是菱形. . ( )( ) (3)(3)对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形. . ( )( ) (4)(4)三条边相等的四边形是菱形三条边相等的四边形是菱形. . ( )( ) 知识点知识点 菱形判定的应用菱形判定的应用 【例例】(2012(2012恩施中考恩施中考) )如图如图, ,在在ABCABC中中, , ADBCADBC于点于点D,D,点点D,E,FD,E,
5、F分别是分别是BC,AB,ACBC,AB,AC的的 中点中点. . 求证求证: :四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. . 【解题探究解题探究】(1)DEAF(1)DEAF吗吗?DFAE?DFAE吗吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :DEAF,DFAE.DEAF,DFAE.点点D,E,FD,E,F分别是分别是BC,AB,ACBC,AB,AC的中的中 点点,DE,DF,DE,DF是是ABCABC的中位线的中位线, , DEAC,DFAB,DEAC,DFAB,即即DEAF,DFAE.DEAF,DFAE. (2)(2)由由(1)(1)中结论中结论, ,四边形四边形AEDFAEDF的形状如
6、何的形状如何? ? 提示提示: :四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形. . (3)AB(3)AB与与ACAC有什么关系有什么关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :AB=AC.ADBC,BD=DC,ADAB=AC.ADBC,BD=DC,AD是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线,AB=AC.,AB=AC. (4)(4)由以上探究如何确定四边形由以上探究如何确定四边形AEDFAEDF是菱形是菱形? ? 提示提示: :AB=AC,E,FAB=AC,E,F分别是分别是AB,ACAB,AC的中点的中点,AE=AF,AE=AF,又又四边形四边形 AEDFAEDF是平行四边形是平行四边
7、形,四边形四边形AEDFAEDF是菱形是菱形. . 【总结提升总结提升】菱形的常用判定方法菱形的常用判定方法 注注: :因菱形的特殊性在边和对角线上因菱形的特殊性在边和对角线上, ,因此不论是菱形的性质还因此不论是菱形的性质还 是判定是判定, ,一般是从一般是从“边边”和和“对角线对角线”的角度解题的角度解题. . 已有条件已有条件 需要条件需要条件 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等 对角线互相垂直对角线互相垂直 一般四边形一般四边形 四条边都相等四条边都相等 对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 题组题组: :菱形判定的应用菱形判定的应用 1.1.如图如图, ,若要使平行四边形若要使平
8、行四边形ABCDABCD成为菱形成为菱形. .则需要添加的条件是则需要添加的条件是 ( ( ) ) A.AB=CDA.AB=CD B.AD=BCB.AD=BC C.AB=BCC.AB=BC D.AC=BDD.AC=BD 【解析解析】选选C.C.因为一组邻边相等的平行四边形是菱形因为一组邻边相等的平行四边形是菱形, ,对角线对角线 互相垂直平分的四边形是菱形互相垂直平分的四边形是菱形, ,那么可添加的条件是那么可添加的条件是AB=BC.AB=BC. 2.2.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中,AE,CF,AE,CF分别是分别是BADBAD和和 BCDBCD的平分线的平分线, ,添加一个条件
9、添加一个条件, ,仍无法判仍无法判 断四边形断四边形AECFAECF为菱形的是为菱形的是 ( ( ) ) A.AE=AFA.AE=AF B.EFACB.EFAC C.B=60C.B=60 D.ACD.AC是是EAFEAF的平分线的平分线 【解析解析】选选C.C.由题意易证四边形由题意易证四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形, ,再由菱形再由菱形 的判定方法知的判定方法知A,BA,B选项都可判定四边形选项都可判定四边形AECFAECF是菱形是菱形; ;而而D D选项中选项中 ACAC是是EAFEAF的平分线易证的平分线易证AE=EC,AE=EC,故也能判定四边形故也能判定四边形AECF
10、AECF是菱是菱 形形;C;C选项不能判定四边形选项不能判定四边形AECFAECF是菱形是菱形. . 3.3.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD 互相垂直互相垂直, ,则下列条件能判定四边形则下列条件能判定四边形 ABCDABCD为菱形的是为菱形的是 ( ( ) ) A.BA=BCA.BA=BC B.AC,BDB.AC,BD互相平分互相平分 C.AC=BDC.AC=BD D.ABCDD.ABCD 【解析解析】选选B.B.四边形四边形ABCDABCD中中,AC,BD,AC,BD互相垂直互相垂直, ,若四边形若四边形ABCDABCD是是 菱形菱形, ,需
11、添加的条件是需添加的条件是:AC,BD:AC,BD互相平分互相平分( (对角线互相垂直且平分对角线互相垂直且平分 的四边形是菱形的四边形是菱形).). 4.(20134.(2013龙东中考龙东中考) )如图所示如图所示, ,平行四边形平行四边形 ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,O,试添加一个试添加一个 条件条件: : , ,使得平行四边使得平行四边 形形ABCDABCD是菱形是菱形. . 【解析解析】添加添加ACBD,ACBD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形则对角线互相垂直的平行四边形是菱形; ; 添加添加AD=DC,AD=DC,则一组邻边相等的平行
12、四边形是菱形则一组邻边相等的平行四边形是菱形. .注意这里的注意这里的 一组邻边相等可以用其他的一组邻边相等来取代一组邻边相等可以用其他的一组邻边相等来取代. . 答案答案: :答案不唯一答案不唯一,ACBD(,ACBD(或或AD=DC)AD=DC) 5.5.如图如图,CD,CD与与BEBE互相垂直平分互相垂直平分,ADDB,BDE=70,ADDB,BDE=70, ,则则CADCAD = = . . 【解析解析】CDCD与与BEBE互相垂直平分，互相垂直平分， 四边形四边形BDECBDEC是菱形，是菱形， DB=DEDB=DE，CF=DF.CF=DF. BDE=70BDE=70， ABD=AB
13、D= ADDBADDB，BAD=90BAD=90- -5555=35=35. . ABAB垂直平分垂直平分CD.CD. AC=ADAC=AD，FAC=FAD=35FAC=FAD=35，CAD=70CAD=70 答案：答案：7070 18070 55 . 2 6.6.如图如图, ,ABCABC中中,B=90,B=90,AB=6cm,BC=8cm.,AB=6cm,BC=8cm.将将ABCABC沿射线沿射线BCBC 方向平移方向平移10cm,10cm,得到得到DEF,A,B,CDEF,A,B,C的对应点分别是的对应点分别是D,E,F,D,E,F,连接连接AD.AD. 求证求证: :四边形四边形ACF
14、DACFD是菱形是菱形. . 【证明证明】方法一方法一:B=90:B=90,AB=6cm,BC=8cm,AB=6cm,BC=8cm, AC=10cm.AC=10cm. 由平移变换的性质由平移变换的性质, ,得得 CF=AD=10cm,DF=AC=10cm,CF=AD=10cm,DF=AC=10cm, AD=CF=AC=DF,AD=CF=AC=DF, 四边形四边形ACFDACFD是菱形是菱形. . 方法二方法二: :由平移变换的性质由平移变换的性质, , 得得ADCF,AD=CF=10cm,ADCF,AD=CF=10cm, 四边形四边形ACFDACFD是平行四边形是平行四边形. . B=90B=
15、90,AB=6cm,BC=8cm,AB=6cm,BC=8cm, AC=10cm.AC=10cm. AD=AC,AD=AC, ACFDACFD是菱形是菱形. . 【归纳整合归纳整合】菱形的判定思路菱形的判定思路 (1)(1)分析条件判定四边形是一个平行四边形分析条件判定四边形是一个平行四边形. . (2)(2)从边或对角线的关系判定平行四边形是一个菱形从边或对角线的关系判定平行四边形是一个菱形, ,这是一般这是一般 的规律和方法的规律和方法. .利用定义证明是最常用的办法利用定义证明是最常用的办法. . 7.7.如图如图,AD,AD是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,过点过点D D作作DE
16、AB,DEAB, DFAC,DFAC,分别交分别交AC,ABAC,AB于点于点E E和和F.F. (1)(1)在图中画出线段在图中画出线段DEDE和和DF.DF. (2)(2)连接连接EF,EF,则线段则线段ADAD和和EFEF互相垂直平分互相垂直平分, ,这是为什么这是为什么? ? 【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示: : (2)DEAB,DFAC,(2)DEAB,DFAC, 四边形四边形AEDFAEDF是平行四边形是平行四边形, , ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线, , FAD=EAD,FAD=EAD, ABDE,ABDE, FAD=EDA,FAD=EDA, EAD=E
17、DA,EAD=EDA, EA=ED,EA=ED, 平行四边形平行四边形AEDFAEDF是菱形是菱形, , ADAD与与EFEF互相垂直平分互相垂直平分. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,已知在菱形已知在菱形ABCDABCD中中,ABC=60,ABC=60, ,点点E E 在边在边BCBC上上,BAE=25,BAE=25. .把线段把线段AEAE绕点绕点A A逆时针方向旋转逆时针方向旋转, ,使点使点E E 落在边落在边DCDC上上, ,求旋转角求旋转角 的度数的度数. . 提示提示: :将将ABEABE绕点绕点A A逆时针旋转逆时针旋转, ,使点使点B B与点与点C C重合重合, ,点点E E落在边落在边DCDC 上上, ,解题时丢掉了这种情况解题时丢掉了这种情况. .
