1、4.1.2 函数的表示法 1.1.理解函数的三种表示方法理解函数的三种表示方法.(.(重点重点) ) 2.2.会用适当的方法表示实际问题中两个变量之间的关系会用适当的方法表示实际问题中两个变量之间的关系.(.(难点难点) ) 3.3.掌握利用函数知识解决实际问题掌握利用函数知识解决实际问题.(.(重点、难点重点、难点) ) 一、函数的表示方法一、函数的表示方法 1.1.图象法图象法: :建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系, ,以自变量取的每一个值为以自变量取的每一个值为_ _,_,以相应的函数值以相应的函数值( (即因变量的对应值即因变量的对应值) )为为_,_,描出每描出每 一个点一个点,
2、 ,由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象, ,这种表这种表 示函数关系的方法称为图象法示函数关系的方法称为图象法. . 2.2.列表法列表法: :列一张表列一张表, ,第一行表示第一行表示_取的各个值取的各个值, ,第二行表第二行表 示相应的示相应的_(_(即因变量的对应值即因变量的对应值),),这种表示函数关系的方这种表示函数关系的方 法称为列表法法称为列表法. . 横横 坐标坐标 纵坐标纵坐标 自变量自变量 函数值函数值 3.3.公式法公式法: :根据自变量与因变量之间的关系根据自变量与因变量之间的关系, ,用用_表示函数表示函数 关系的方法称为
3、公式法关系的方法称为公式法, ,这样的式子称为函数的这样的式子称为函数的_._. 二、函数的三种表示方法之间的关系二、函数的三种表示方法之间的关系 1.1.三种表示方法均可以表示两个三种表示方法均可以表示两个_之间的函数关系之间的函数关系. . 2.2.三种表示方法可以相互转化三种表示方法可以相互转化. . 式子式子 表达式表达式 变量变量 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)两个变量之间的函数关系只能用图象法、列表法或公式法两个变量之间的函数关系只能用图象法、列表法或公式法 中的一种来表示中的一种来表示. . ( )( ) (2)(2)函数的三种表示方法都能表示两个变量之间的函数
4、关系函数的三种表示方法都能表示两个变量之间的函数关系. . ( )( ) (3)(3)函数函数y=y=- -2x+32x+3还可以用列表法和图象法来表示还可以用列表法和图象法来表示. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 【例例1 1】1 16 6个月的婴儿生长发育非常快个月的婴儿生长发育非常快, ,他们的体重他们的体重y(g)y(g)和月和月 龄龄x(x(月月) )间的关系可以用间的关系可以用y=a+700xy=a+700x表示表示, ,其中其中a a是婴儿出生时体是婴儿出生时体 重重. .假设一个婴儿出生时的体重为假设一个婴儿出生时的体重为4000g
5、.4000g. (1)(1)请用表格表示请用表格表示, ,在在1 16 6个月内个月内, ,这个婴儿的体重这个婴儿的体重y y与月龄与月龄x x之之 间的关系间的关系. . (2)(2)请指出这个关系式中的常量和变量请指出这个关系式中的常量和变量, ,并指出变量之间存在什并指出变量之间存在什 么关系么关系. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1)把把x x的值分别代入的值分别代入y=4000+700xy=4000+700x求值即可求值即可. . (2)(2)由关系式及表格确定常量、变量以及变量之间的关系由关系式及表格确定常量、变量以及变量之间的关系. . 【自主解答自主解答】(1)(1)这个婴儿
6、的体重这个婴儿的体重y y与月龄与月龄x x之间的关系如表所之间的关系如表所 示示: : 月龄月龄 ( (月月) ) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 体重体重 (g)(g) 4 7004 700 5 4005 400 6 1006 100 6 8006 800 7 5007 500 8 2008 200 (2)(2)因为因为y y与与x x之间的关系式是之间的关系式是y=4000+700x,y=4000+700x,所以常量是所以常量是40004000和和 700,700,变量是变量是y y与与x,x,由表格可以看出对于变量由表格可以看出对于变量x x的每一个值的每一个值, ,变
7、量变量y y 都有唯一的值与它对应都有唯一的值与它对应, ,因此因此y y是是x x的函数的函数. . 【总结提升总结提升】函数三种表示方法的优缺点函数三种表示方法的优缺点 优点优点 缺点缺点 列表法列表法 列表法可以很清楚地看出自列表法可以很清楚地看出自 变量取的值和因变量的对应变量取的值和因变量的对应 值值, ,这会对某些特定的数值带这会对某些特定的数值带 来一目了然的效果来一目了然的效果 列表法有局限性列表法有局限性, ,列列 出的对应值是有限的出的对应值是有限的, , 而且在表格中也不容而且在表格中也不容 易看出自变量与函数易看出自变量与函数 值之间的对应规律值之间的对应规律 公式法公
8、式法 公式法可以从数量关系的角公式法可以从数量关系的角 度明确自变量与函数值的对度明确自变量与函数值的对 应关系应关系, ,根据它可由自变量的根据它可由自变量的 取值求出相应的函数值取值求出相应的函数值 在实际问题中在实际问题中, ,并非并非 所有的函数关系都能所有的函数关系都能 用公式法表示用公式法表示 图象法图象法 图象法可以直观地看出因变图象法可以直观地看出因变 量如何随着自变量的变化而量如何随着自变量的变化而 变化变化, ,是研究函数性质的有力是研究函数性质的有力 工具工具 由图象观察只能得到由图象观察只能得到 近似的数量关系近似的数量关系 知识点知识点 2 2 函数图象及应用函数图象
9、及应用 【例例2 2】(2013(2013哈尔滨中考哈尔滨中考) )梅凯种子公司以一定价格销售梅凯种子公司以一定价格销售 “黄金“黄金1 1号”玉米种子号”玉米种子, ,如果一次购买如果一次购买10kg10kg以上以上( (不含不含10kg)10kg)的种的种 子子, ,超过超过10kg10kg的那部分种子的价格将打折的那部分种子的价格将打折, ,并依此得到付款金额并依此得到付款金额 y(y(单位单位: :元元) )与一次购买种子数量与一次购买种子数量x(x(单位单位:kg):kg)之间的函数关系如之间的函数关系如 图所示图所示. .下列四种说法下列四种说法: : 一次购买种子数量不超过一次购
10、买种子数量不超过10kg10kg时时, ,销售价格为销售价格为5 5元元/kg;/kg; 一次购买一次购买30kg30kg种子时种子时, ,付款金额为付款金额为100100元元; ; 一次购买一次购买10kg10kg以上种子时以上种子时, ,超过超过10kg10kg的那部分种子的价格打的那部分种子的价格打 五折五折; ; 一次购买一次购买40kg40kg种子比分两次购买且每次购买种子比分两次购买且每次购买20kg20kg种子少花种子少花2525 元钱元钱. . 其中正确的有其中正确的有 ( ( ) ) A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个 【思路点拨思路点拨】
11、观察函数图象观察函数图象, ,明确横轴和纵轴的意义明确横轴和纵轴的意义求一次求一次 购买种子数量不超过购买种子数量不超过10kg10kg时销售单价时销售单价求超过求超过10kg10kg的那部分种的那部分种 子的销售单价子的销售单价分别计算求解分别计算求解 【自主解答自主解答】选选D.D.一次购买种子数量不超过一次购买种子数量不超过10kg10kg时时, ,销售单价销售单价 为为505010=5(10=5(元元/kg),/kg),正确正确; ;一次购买一次购买10kg10kg以上种子时以上种子时, ,超过超过 10kg10kg的那部分种子的销售单价为的那部分种子的销售单价为(150(150- -
12、50)50)(50(50- -10)=2.5(10)=2.5(元元 /kg),/kg),所以购买所以购买30kg30kg种子的付款金额为种子的付款金额为5 510+2.510+2.520=100(20=100(元元),), 正确正确; ;超过超过10kg10kg的那部分种子的销售单价为的那部分种子的销售单价为2.52.5元元/kg,/kg,所以超所以超 过过10kg10kg的那部分种子的价格打五折的那部分种子的价格打五折, ,正确正确; ;一次购买一次购买40kg40kg种子种子 的金额为的金额为5 510+2.510+2.530=125(30=125(元元),),分两次购买且每次购买分两次购
13、买且每次购买20kg20kg 种子的金额为种子的金额为2 2(5(510+2.510+2.510)=150(10)=150(元元),150),150- -125=25(125=25(元元),), 正确正确. .故选故选D.D. 【总结提升总结提升】读函数图象获取信息的五个关键读函数图象获取信息的五个关键 1.1.弄清函数图象的横、纵坐标分别表示什么弄清函数图象的横、纵坐标分别表示什么, ,图象上最高点和图象上最高点和 最低点的意义最低点的意义. . 2.2.弄清函数图象与坐标轴交点表示的意义弄清函数图象与坐标轴交点表示的意义. . 3.3.图象上升表示函数值随自变量的增大而增大图象上升表示函数
14、值随自变量的增大而增大, ,下降则表示函下降则表示函 数值随自变量的增大而减小数值随自变量的增大而减小, ,水平表示函数值不随自变量的变水平表示函数值不随自变量的变 化而变化化而变化. . 4.4.图象是直线时图象是直线时, ,表示函数值随自变量的变化是均匀的表示函数值随自变量的变化是均匀的. .图象是图象是 曲线时曲线时, ,则表示函数值随自变量的变化不是均匀的则表示函数值随自变量的变化不是均匀的. . 5.5.直线倾斜程度大表示函数值随自变量变化迅速直线倾斜程度大表示函数值随自变量变化迅速, ,直线倾斜程直线倾斜程 度小度小, ,表示函数值随自变量变化缓慢表示函数值随自变量变化缓慢. .
15、题组一题组一: :函数的三种表示方法函数的三种表示方法 1.1.弹簧挂上物体后伸长弹簧挂上物体后伸长, ,已知一弹簧的长度已知一弹簧的长度(cm)(cm)与所挂物体的与所挂物体的 质量质量(kg)(kg)之间的关系如下表之间的关系如下表, ,下列说法错误的是下列说法错误的是 ( ( ) ) 物体的质物体的质 量量(kg)(kg) 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 弹簧的长弹簧的长 度度(cm)(cm) 1010 12.512.5 1515 17.517.5 2020 22.522.5 A.A.在没挂物体时在没挂物体时, ,弹簧的长度为弹簧的长度为10cm10cm B.B.弹簧的长
16、度随物体的质量的变化而变化弹簧的长度随物体的质量的变化而变化, ,物体的质量是因变物体的质量是因变 量量, ,弹簧的长度是自变量弹簧的长度是自变量 C.C.在弹簧能承受的范围内在弹簧能承受的范围内, ,物体的质量越大那么弹簧的长度越物体的质量越大那么弹簧的长度越 长长 D.D.在弹簧能承受的范围内在弹簧能承受的范围内, ,当物体的质量为当物体的质量为4kg4kg时时, ,弹簧的长度弹簧的长度 为为20cm20cm 【解析解析】选选B.AB.A项中项中, ,根据表格知根据表格知, ,当质量为当质量为0kg0kg时时, ,弹簧的长度弹簧的长度 为为10cm,10cm,故此选项正确故此选项正确, ,
17、不符合题意不符合题意;B.;B.反映了所挂物体的质量反映了所挂物体的质量 和弹簧的长度之间的关系和弹簧的长度之间的关系, ,所挂物体的质量是自变量所挂物体的质量是自变量, ,弹簧的长弹簧的长 度是因变量度是因变量, ,故此选项错误故此选项错误, ,符合题意符合题意;C.;C.所挂物体在弹簧的弹所挂物体在弹簧的弹 性范围内性范围内, ,质量越大质量越大, ,弹簧的长度越长弹簧的长度越长, ,故此选项正确故此选项正确. .不符合题不符合题 意意;D.;D.观察表格可知观察表格可知, ,当物体质量为当物体质量为4 kg4 kg时时, ,弹簧长度为弹簧长度为20cm,20cm,故故 此选项正确此选项正
18、确, ,不符合题意不符合题意. . 2.2.在某次实验中在某次实验中, ,测得两个变量测得两个变量m m和和v v之间的之间的4 4组对应数据如下表组对应数据如下表: : 则则m m与与v v之间的关系最接近于下列各关系式中的之间的关系最接近于下列各关系式中的 ( ( ) ) A.v=2mA.v=2m- -2 2 B.v=mB.v=m2 2- -1 1 C.v=3mC.v=3m- -3 3 D.v=m+1D.v=m+1 【解析解析】选选B.B.当当m=4m=4时时,A,v=2m,A,v=2m- -2=6;B,v=m2=6;B,v=m2 2- -1=15;1=15; C,v=3mC,v=3m-
19、-3=9;D,v=m+1=5.3=9;D,v=m+1=5. m m 1 1 2 2 3 3 4 4 v v 0.010.01 2.92.9 8.038.03 15.115.1 3.3.某公司产品的销售收入与销售量的关系如下表某公司产品的销售收入与销售量的关系如下表: : 那么当销售收入为那么当销售收入为2.52.5万元时万元时, ,销售量为销售量为 吨吨. . 【解析解析】由表格可知由表格可知, ,销售量每增加销售量每增加1t,1t,销售收入增加销售收入增加0.50.5万元万元, , 所以销售量为所以销售量为5t5t时时, ,销售收入为销售收入为2.52.5万元万元. . 答案答案: :5 5
20、 销售量销售量(t)(t) 1 1 2 2 3 3 4 4 销售收入销售收入( (万元万元) ) 0.50.5 1 1 1.51.5 2 2 4.4.一支蜡烛的长度是一支蜡烛的长度是20cm,20cm,设点燃后蜡烛的长为设点燃后蜡烛的长为ycm,ycm,假设燃烧假设燃烧 的速度是的速度是0.2cm/min,0.2cm/min,点燃时间为点燃时间为xmin,xmin,则则y y与与x x的函数表达式的函数表达式 为为 . . 【解析解析】由题意知由题意知,y=20,y=20- -0.2x,0.2x,自变量的取值范围是自变量的取值范围是0x100.0x100. 答案答案: :y=20y=20- -
21、0.2x(0x100)0.2x(0x100) 5.5.星期天星期天, ,小明与小刚骑自行车去距家小明与小刚骑自行车去距家50km50km 的某地旅游的某地旅游, ,匀速行驶匀速行驶1.5h1.5h的时候的时候, ,其中一其中一 辆自行车出故障辆自行车出故障, ,因此二人在自行车修理因此二人在自行车修理 点修车点修车, ,用了半个小时用了半个小时, ,然后以原速继续前然后以原速继续前 行行, ,行驶行驶1h1h到达目的地到达目的地. .请在所给的平面直请在所给的平面直 角坐标系中角坐标系中, ,画出符合他们行驶的路程画出符合他们行驶的路程s(km)s(km)与行驶时间与行驶时间t(h)t(h)之
22、之 间的函数图象间的函数图象. . 【解析解析】由题意可知由题意可知,2.5h,2.5h走完全程走完全程50km,50km,所以所以1.5h1.5h走了走了30km,30km, 休息休息0.5h0.5h后后1h1h走了走了20km,20km,由此作图即可由此作图即可. . 题组二题组二: :函数图象及应用函数图象及应用 1.(20131.(2013湘西中考湘西中考) )小芳的爷爷每天坚持体育锻炼小芳的爷爷每天坚持体育锻炼, ,某天他慢某天他慢 步行走到离家较远的公园步行走到离家较远的公园, ,打了一会儿太极拳打了一会儿太极拳, ,然后沿原路跑步然后沿原路跑步 到家里到家里, ,下面能够反映当天
23、小芳爷爷离家的距离下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(m)y(m)与时间与时间 x(min)x(min)之间的关系的大致图象是之间的关系的大致图象是 ( ( ) ) 【解析解析】选选C.C.小芳爷爷离家外出进行体育锻炼小芳爷爷离家外出进行体育锻炼, ,开始慢步行走开始慢步行走, , 说明离家的距离逐步变大说明离家的距离逐步变大; ;但行至公园时但行至公园时, ,打了一会儿太极拳打了一会儿太极拳, , 这时离家的距离是不变的这时离家的距离是不变的; ;故可排除选项故可排除选项D;D;返回时返回时, ,沿原路跑步沿原路跑步 到家里到家里, ,离家的距离逐渐变小离家的距离逐渐变小, ,直至为直至为
24、0,0,且返回比开始出来的速且返回比开始出来的速 度要快度要快, ,故可排除选项故可排除选项A,B,A,B,故选故选C.C. 2.(20132.(2013乌鲁木齐中考乌鲁木齐中考) )某仓库调拨一批某仓库调拨一批 物资物资, ,调进物资共用调进物资共用8h.8h.调进物资调进物资4h4h后同时后同时 开始调出物资开始调出物资( (调进与调出物资的速度均调进与调出物资的速度均 保持不变保持不变).).该仓库库存物资该仓库库存物资w(t)w(t)与时间与时间 t(h)t(h)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示. .则这批物资从开始调进到全部则这批物资从开始调进到全部 调出所需要的时间是调
25、出所需要的时间是 ( ( ) ) A.8.4h B.8.6h C.8.8h D.9hA.8.4h B.8.6h C.8.8h D.9h 【解析解析】选选C.C.由图可知调进物资由图可知调进物资4h4h共共60t,60t,平均每小时调进平均每小时调进 15t,8h15t,8h共调进物资共调进物资120t;120t;而而4h4h共调出货物共调出货物120120- -20=100(t),20=100(t),平均平均 每小时调出每小时调出25t,25t,从而从而20t20t货物还需要货物还需要202025=0.8h,25=0.8h,故这批物资故这批物资 从开始调进到全部调出所需要的时间是从开始调进到全
26、部调出所需要的时间是8.8h.8.8h. 3.(20133.(2013南通中考南通中考) )小李与小陆从小李与小陆从A A地出发地出发, ,骑自行车沿同一条骑自行车沿同一条 路行驶到路行驶到B B地地, ,他们离出发地的距离他们离出发地的距离s(s(单位单位:km):km)和行驶时间和行驶时间t(t(单单 位位:h):h)之间的函数关系的图象如图所示之间的函数关系的图象如图所示, ,根据图中提供的信息根据图中提供的信息, , 有下列说法有下列说法: : (1)(1)他们都行驶了他们都行驶了20km.20km. (2)(2)小陆全程共用了小陆全程共用了1.5h.1.5h. (3)(3)小李与小陆
27、相遇后小李与小陆相遇后, ,小李的速度小于小陆的速度小李的速度小于小陆的速度. . (4)(4)小李在途中停留了小李在途中停留了0.5h.0.5h. 其中正确的有其中正确的有 ( ( ) ) A.4A.4个个 B.3B.3个个 C.2C.2个个 D.1D.1个个 【解析解析】选选A.A.由图象看出由图象看出, ,图象的终止点处对应的纵坐标是图象的终止点处对应的纵坐标是20,20, 所以都行驶了所以都行驶了20km,20km,故故(1)(1)正确正确; ;小陆的对应时间是小陆的对应时间是0.50.52,2,所以所以 全程用了全程用了2 2- -0.5=1.5(h),0.5=1.5(h),故故(2
28、)(2)正确正确; ;相遇后小陆的图象在小李相遇后小陆的图象在小李 的上方的上方, ,所以小陆的速度快所以小陆的速度快, ,故故(3)(3)正确正确; ;小李的图象中在小李的图象中在0.50.5 1h1h内是水平线内是水平线, ,代表停留代表停留0.5h,0.5h,故故(4)(4)正确正确. . 4.4.火车匀速通过隧道时火车匀速通过隧道时, ,火车在隧道内的火车在隧道内的 长度长度y(m)y(m)与火车行驶时间与火车行驶时间x(s)x(s)之间的关系之间的关系 用图象描述如图所示用图象描述如图所示, ,有下列结论有下列结论: : 火车的长度为火车的长度为120m;120m; 火车的速度为火车
29、的速度为30m/s;30m/s; 火车整体都在隧道内的时间为火车整体都在隧道内的时间为25s;25s; 隧道长度为隧道长度为750m.750m. 其中正确的结论是其中正确的结论是 .(.(把你认为正确结论的序号都填上把你认为正确结论的序号都填上) ) 【解析解析】在在BCBC段段, ,所用的时间是所用的时间是5s,5s,路程是路程是 150m,150m,则速度是则速度是30m/s.30m/s.故正确故正确; ;火车的长火车的长 度是度是150m,150m,故不正确故不正确; ;整个火车都在隧道整个火车都在隧道 内的时间是内的时间是:35:35- -5 5- -5=25(s),5=25(s),故
30、正确故正确; ;隧道长是隧道长是:25:2530+15030+150 =900(m).=900(m).故不正确故不正确. . 答案答案: : 5.5.如图表示甲和乙沿相同路线行驶如图表示甲和乙沿相同路线行驶45km,45km,由由A A地到地到B B地时地时, ,行驶的行驶的 路程路程y(km)y(km)与经过的时间与经过的时间x(h)x(h)之间的函数关系之间的函数关系. .请根据这个行驶请根据这个行驶 过程中的图象填空过程中的图象填空: : 乙出发乙出发 h h与甲相遇与甲相遇; ;甲的速度为甲的速度为 km/h;km/h;乙的速度乙的速度 为为 km/h;km/h;乙比甲早乙比甲早 h
31、h到达到达B B地地. . 【解析解析】由图上数据可知由图上数据可知: :乙出发乙出发0.5h0.5h与甲相遇与甲相遇; ;甲的速度为甲的速度为 9km/h;9km/h;乙的速度为乙的速度为45km/h;45km/h;乙比甲早乙比甲早2h2h到达到达B B地地. . 答案答案: :0.50.5 9 9 4545 2 2 【想一想错在哪？想一想错在哪？】明明骑自行车去上学时明明骑自行车去上学时, ,经过一段先上坡经过一段先上坡 后下坡的路后下坡的路, ,在这段路上所走的路程在这段路上所走的路程s(s(单位单位:km):km)与时间与时间t(t(单单 位位:min):min)之间的函数关系如图所示
32、之间的函数关系如图所示. .放学后如果按原路返回放学后如果按原路返回, ,且且 往返过程中往返过程中, ,上坡速度相同上坡速度相同, ,下坡速度相同下坡速度相同, ,那么他回来时那么他回来时, ,走这走这 段路所用的时间为段路所用的时间为 ( ( ) ) A.12 min B.10 min A.12 min B.10 min C.16 min C.16 min D.14 minD.14 min 提示提示: :做题时没有想到去的时候是上坡做题时没有想到去的时候是上坡, ,则回来时就是下坡则回来时就是下坡; ;反反 之去的时候是下坡之去的时候是下坡, ,则回来时即为上坡是导致错误的主要原因则回来时即为上坡是导致错误的主要原因. .
