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反比例函数反比例函数一、教学目标一、教学目标1.通过对现实生活和数学问题的分析，发现变量之间的反比例关系，理解反比例函数的概念2.能确定反比例函数的解析式二、教学重点及难点二、教学重点及难点重点：反比例函数概念的理解难点：抽象得出反比例函数概念的过程三、教学用具三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源四、相关资源五、教学过程五、教学过程（一）情境导入下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，写出它们的解析式（1）京沪线铁路全长 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为 1 000 矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的变化而变化；（3）已知北京市的总面积为，人均占有面积 S（单位：/人）随全市总人口 n（单位：人）的变化而变化学生讨论交流，得出上述问题的函数解析式（1）可用函数式表示为：vt=1 463 或；（2）可用函数式表示为：yx=1 000 或；（3）可用函数式表示为：Sn=或设计意图：通过问题情境，让学生感受变量间的函数关系，激发探究的欲望设计意图：通过问题情境，让学生感受变量间的函数关系，激发探究的欲望（二）探究新知上述问题中的函数关系式有什么共同特点？上述问题中的函数关系式都有的形式，其中 k 是非零常数2m421.68 10 km2km1 463vt1 000yx41.68 1041.68 10Snkyx归纳：一般地，形如（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数注意：在中，自变量 x 是分式的分母，当 x=0 时，分式无意义，所以 x 的取值范围是 x0在上面的三个问题中，两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键设计意图：通过对现实生活和数学问题的分析，发现变量之间的反比例关系，归纳得出反比例函数的概念，理解成反比例函数的两个变量的乘积为定值是反比例函数的特征设计意图：通过对现实生活和数学问题的分析，发现变量之间的反比例关系，归纳得出反比例函数的概念，理解成反比例函数的两个变量的乘积为定值是反比例函数的特征本微课系统介绍反比函数的概念,适合在新授课或复习课上使用.（三）例题解析例 1.已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 x=4 时，求 y 的值分析：（1）由题意，可设，把 x=2，y=6 代入即可求得 k，进而求得 y 关于 x 的函数关系式；（2）在（1）所求得的函数关系式中，把 x=4 代入即可求得 y 的值解：（1）设 y 关于 x 的函数解析式为因为 x=2，y=6，所以有 6=解得 k=12因此（2）把 x=4 代入，得例 2.反比例函数与直线 y=-2x 相交于点 A，且点 A 的横坐标为-1，求此反比例函数表达式。分析：根据点 A 的横坐标为-1，且在 y=-2x 图像上，可以求出点 A 的坐标，点 A 又在kyx图像上，将点 A 的坐标代入表达式，即可求出 k 的值.kyxkyxkxkxkyxkyx2k12yx12yx1234y kyx解：由题意点 A 的横坐标为-1，且在y=-2x 图像上，所以点 A 的坐标为(-1,2)因为点 A 在kyx图像上所以 k=xy=-12=-2所以函数解析式为设计意图：通过例题，学生能够根据已知条件，确定反比例函数的解析式，进一步熟悉反比例函数值的求法设计意图：通过例题，学生能够根据已知条件，确定反比例函数的解析式，进一步熟悉反比例函数值的求法（四）课堂练习1指出下列函数关系式中，哪些 y 与 x 成反比例函数关系？并指出 k 的值（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）1y 与 x 成反比例函数关系的是（2）（5），它们的 k 的值分别为和设计意图：考查反比例函数的概念设计意图：考查反比例函数的概念2.写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数（1）平行四边形的面积是 24，它的一边长 x cm 和这边上的高 h cm 之间的关系是 ；（2）小明用 10 元钱去买同一种菜，买这种菜的数量 m kg 与单价 n 元/kg 之间的关系是 ；（3）老李家一块地收粮食 1 000 kg，这块地的亩数 S 与亩产量 t kg/亩之间的关系是 ；（4）刘飞骑自行车行驶了 100 千米的路程，他行驶的时间 t 小时和速度 v 千米/时之间的关系是 ；（5）某小区的绿地总面积是 400，该小区的人口数 y 和人均绿地面积 x m2之间的关系是 答案：2.（1）xh=24 是反比例函数；（2）mn=10 是反比例函数；（3）St=1 000 是反比例函数；（4）vt=100 是反比例函数；（5）xy=400 是反比例函数设计意图：加强对反比例函数概念的理解2yx 3xy 2xy 12yx121y 34yx 21yx2342cm2m3已知 y 是 2x 的反比例函数，当 x=时，y=1（1）求 y 与 2x 的函数关系式；（2）当时，求 y 的值；（3）当时，求 x 的值3解：（1）设2kyx当 x=时，y=1所以 k=2xy=2121=1所以（2）当 x=14时，y=-2（3）y=12时，x=-1六、课堂小结六、课堂小结本知识卡片,总结了理解反比函数定义时的注意事项.1反比例函数的概念一般地，形如（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数2两个量的乘积是一个定值，是识别两个量成反比例关系的一个重要特征3知识应用（1）识别两个量是否成反比例关系；（2）识别两个变量构成的关系式是否成反比例函数式；（3）能够确定反比例函数关系式设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解反比例函数概念，能够根据已知条件，确定反比例函数的解析式设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解反比例函数概念，能够根据已知条件，确定反比例函数的解析式七、板书设计七、板书设计 26.1.1 反比例函数1214x 12y 1212yxkyx1.反比例函数的定义及一般形式2.求反比例函数关系式反比例函数反比例函数一、一、教学目标教学目标1.经历在实际问题中提炼出具有反比例变化规律的数字表达式；2.能识别反比例函数的常见形式；3.利用待定系数法求解反比例函数的解析式；4.理解反比例函数的描述现实世界中的重要意义.二、教学重难点教学重难点重点：反比例函数概念的理解；难点：待定系数法求解反比例函数的解析式三、教学用具三、教学用具 多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【情景导入】【情景导入】理解与回顾反比例关系和函数关系通过对现实生活和数学中问题的分析，发现变量间的反比例关系和函数关系.环节二探究新知【探究新知】【探究新知】北京市的总面积为 1.68104 km2，人均占有面积 S km2/人，全市总人口 n 人，那么 S 与 n 有何关系某住宅小区要种植一块面积为 2 000 m2的矩形，草坪的长为 y m，宽为 x m，那么 y 与 x 有何关系.合 作探究通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括出反比例函数的概念，知道自变量和一般地，形如(0)kykx的函数，叫做反比例函数.其中 x 是自变量，y 是函数自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数对应的函数值成反比例的特征环节三应用新知【典例探究】【典例探究】例 1.指出下列函数中的反比例函数：(1)11yx (2)34yx (3)kyx(4)21kyx (5)2xy (6)1yx 解：(1)y 与 x+1 成反比例，并不是 y 与 x 成反比例，不是反比例函数(2)34k ，是反比例函数(3)k 为常数，缺少0k，不一定是反比例函数(4)2110k ，是反比例函数(5)式子可以化为2yx ，是反比例函数(6)式子可以化为1yx，是反比例函数思考并回答让学生熟悉反比例函数的形式，能准确识别反比例函数.例 2.已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6，写出 y 关于 x 的函数解析式解：设这个反比例函数的解析式为(0)kykx 当 x=2 时，y=662k，解得：k=12这个反比例函数的解析为12yx思考并回答让学生能利用待定系数法求解反比例函数的解析式环节四【随堂练习】【随堂练习】练 1.指出下列函数中的反比例函数：练习通过课堂练习巩固新知，加深对反比例函巩固新知(1)23yx (2)1yx (3)2yx(4)21kyx (5)3xy (6)1yx 解：(1)y 与 x 不是反比例，不是反比例函数(2)y 与x成反比例，y 与 x 不成反比例，不是反比例函数(3)2k，是反比例函数(4)2110k ，是反比例函数(5)式子可以化为3yx，是反比例函数(6)式子可以化为1yx ，是反比例函数数的识别练 2.已知 y 是关于 x 的反比例函数，当 x=3时，y=2，求这个函数的表达式解：设这个反比例函数的解析式为(0)kykx 当 x=3 时，y=223k，解得：k=6这个反比例函数的解析为6yx练习通过课堂练习巩固新知，加深利用待定系数法求解函数解析式练 3.已知 y 与 x+2 成反比例，且当 x=-1 时，y=3.(1)求 y 与 x 之间的函数解析式；(2)当 x=0 时，求 y 的值.解：(1)y 与 x+2 成反比例设函数的解析式为2kyx 当1x 时，y=3312k ，解得：k=3这个函数的解析式为32yx 练习通过课堂练习巩固新知，加深待定系数法的运用并理解反比例关系与反比例函数的区别(2)x=0333202yx 环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业巩固例题练习教科书第 3 页习题 1、2、3.课后完成练习反比例函数的图象和性质反比例函数的图象和性质一、一、教学目标教学目标1.体会并了解反比例函数图象的意义；2.进一步熟悉作函数图象的步骤，会用描点法作反比例函数的图象；3.经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想；4.通过观察图象分析其性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力.二、教学重难点教学重难点重点：进一步熟悉作函数图象的步骤，会用描点法作反比例函数的图象；难点：通过观察图象分析其性质，培养学生的探究、归纳及概括的能力三、教学用具三、教学用具 多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【情景导入】【情景导入】教师提出问题，学生思考、回答通过猜想反比例函数的图象，复习研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫.【探究新知】【探究新知】画出反比例函数6yx的图象画出反比例函数12yx的图象理解通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识.环节二探究新知探究反比例函数(0)kykx的性质(1)函数图象分别位于第一、三象限；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.合 作探 究性质通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置和变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象.画出反比例函数6yx 的图象画出反比例函数12yx 的图象动 手操作引导学生自己动手操作，完成画图探究反比例函数(0)kykx的图象(1)函数图象分别位于第二、四象限；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.合 作探究引导学生总结出(0)kykx 的图象特征，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力.当0k 时，(1)函数图象分别位于第一、三象限；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.当0k 时，(1)函数图象分别位于第二、四象限；(2)在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大.教师帮助学生梳理、归纳.环节三应用新知【典例探究】【典例探究】例 1.如图所示的图象对应的函数解析式为(D)A.yx B.2yx C.1yx D.1yx 解：图象是双曲线，该函数应该是反比例函数，故 A、B 选项不对，又图象分别位于第二、四象限，k0，C 选项不对，D 选项正确，故答案为 D 选项思考并回答让学生熟悉反比例函数的图象，并能通过图象识别可能的解析式例 2.若双曲线1myx的图象的一支位于第三象限，则 m 的取值范围是(B)思考并回答让学生能利用反比例函数图A.m1 C.0m1解：双曲线的一支位于第三象限，k=m-10，解得 m1，故答案为 B 选项.象所在象限确定参数 k 的范围.例 3.已知双曲线1myx，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 m0 时，y 随 x 的增大而增大，k=m-10，解得 m1，故答案为 m1.思考并回答让学生能利用反比例函数图象的增减性确定参数 k 的范围环节四巩固新知【随堂练习】【随堂练习】练 1.反比例函数4(0)yxx 的图象位于(D)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：k=-40，该函数图象是第四象限的一支，位于第四象限，练习通过课堂练习巩固新知，加深对反比例函数图象的记忆故答案为 D 选项练 2.下列反比例函数中，其图象的一个分支一定在第三象限的是(C)A.311yx B.2myx(m 为常数，且 m-2)C.15yx D.21ayx(a 为常数，且 a1)解：反比例函数图象的一支位于第三象限，k0，A 选项，3110k ，不正确；B 选项，2km 不一定大于零，不正确；C 选项，11505k，正确；D 选项，21ka 不一定大于零，不正确，故答案为 C 选项.练习通过课堂练习巩固新知，加深利用图象所在象限确定参数的正负，并进行判断.练 3.已知111(,)P x y,222(,)P x y两点都在反比例函数2yx 的图象上，且120 xx，则 y1 ”或“”).解：k=-20，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，练习通过课堂练习巩固新知，加深记忆与理解图象的增减性，并体会数形结合的优势120 xx12yy 故答案为.环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业巩固例题练习教科书第 6 页习题 1、2.课后完成练习应用举例应用举例第第 1 课时课时一、一、教学目标教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在测量方面和建筑方面应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】【回顾】教师活动：教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在 RtABC 中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90.(1)三边之间的关系:a2+b2=_c2_；(2)锐角之间的关系：A+B=_90_；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(3)边角之间的关系：sinA=_ac_，cosA=_bc_，tanA=_ab_.环节二探究新知【探究】【探究】2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400km，取3.142，结果取整数）？问题问题 1：这个实际问题可以抽象成数学图形吗？可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O 的有关问题.问题问题 2：当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点是视线与地球相切时的切点，即点 Q.问题问题 3：在图中，最远点与 P 点的距离可以用什么表示？PQ的长.学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.环节三环节三【典型例题】【典型例题】例例 1：应用新知应用新知2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取3.142，结果取整数）？解：设FOQ=，FQ 是O 切线，FOQ 是直角三角形6400cos0.94916400343OQOF，18.36.PQ 的长为18.3618.36 3.142640064002051(km).180180当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051km.【归纳】【归纳】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题解直角三角形的应用：解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.例例 2：集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球与楼的水平距离为 120m，这栋楼有多高（结果取整数）？【回顾】【回顾】在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角仰角，视线在水平线下方的叫做俯角俯角.分析：分析：在图中，=30，=60.在 RtABD 中，=30，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC解：如图，=30，=60，AD120tan,tan.BDCDaADADtan120 tan30BDADa 312040 33.tan120 tan601203120 3.CDAD 40 3120 3160 32 mBCBDCD答：这栋楼高约为 277m.【归纳】【归纳】解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法：根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.环节四巩固新知【随堂练习】【随堂练习】教师活动：教师活动：通过 Pk 作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习练习 1如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B在同一水平面上）为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为，则 A、B 两地之间的距离为()A.800sin 米 B.800tan 米 C800sina米 D800tana米答案：答案：D练习练习 2如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得BAD=30，在 C 点测得BCD=60，又测得 AC=100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为()A.100 米 B.50 3米 C.200 33米 D.50 米答案：答案：BPk 作答进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业巩固例题练习教科书第 76 页练习 1、2.课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.应用举例应用举例第第 2 课时课时一、一、教学目标教学目标1.能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中；2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题；3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力；4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在航海方面的应用，使学生感受到数学的广泛作用.二、教学重难点教学重难点重点：能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.难点：灵活选择三角函数解决问题.三、教学用具三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图环节一创设情景【回顾】【回顾】教师活动：教师活动：教师带领学生回顾前面所学知识，为下面做基础.如图，在RtABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中C=90.(1)三边之间的关系:a2+b2=_c2_；(2)锐角之间的关系：A+B=_90_；思考并配合老师回答问题通过前面所学知识的复习，为后面解题做基础.(3)边角之间的关系：sinA=_ac_，cosA=_bc_，tanA=_ab_.解直角三角形的应用：解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案.环节二探究新知【探究】【探究】如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东34 方向上的 B 处.这时，B 处距离灯塔 P 有多远(结果取整数)？【归纳】【归纳】方位角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90的角叫做方位角.在下图中依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东 65、南偏东34方向的射线.解：如图，在 RtAPC 中，学生跟随教师写过程经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力.PCPAcos(9065)80cos2572.505在 RtBPC 中，B=34，sinPCBPB72 505130 n milesinsin34PC.PBB当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约130 海里环节三应用新知环节三应用新知【典型例题】【典型例题】例例 1：铁路的路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i32，顶宽是3m，路基高是 1.5m，求路基的下底宽是多少？【归纳】【归纳】坡度（坡比）：坡面的铅直高度 h 和水平距离 l 的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成tanhil的形式.坡度越大坡度越大坡角越大坡角越大坡面越陡坡面越陡解：如图，AD=3m，作 AEBC，DFBC.i=32，AE=DF=1.5m.集体回答通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.BE=CF=1m.BC=1+1+3=5m.环节四巩固新知【随堂练习】【随堂练习】教师活动：教师活动：通过 Pk 作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程.练习练习 1如图，水库的横断面是梯形 ABCD，迎水坡 AB 的坡度 i=11，坝高 BE=20m，迎水坡 AB=_m，坡角=_.答案：答案：20 2；45练习练习 2如图，海中有一个小岛 A，它的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 12海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？答案答案：(方法 1）解：如图，过 A 作 ACBD，交 BD 的延长线于点 C，则AC 的长是 A 到 BD 的最短距离，由题意，得CAD=30，CAB=60，ABD=90 60=30，又BAD=CABCAD=60 30=30，ABD=BAD，BD=AD=12 海里，分组讨论进一步巩固本节课的内容.了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.在 RtCAD 中，cosCAD=A DA C3cos12 cos30126 32ACADCAD6 310 4 8.渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险教师活动：小组讨论，其它解题方法.（方法 2）解：设 AC=x 海里在 RtADC 中，DAC=303tantan303DCACDACxx在 RtABC 中，ABC=90 60=3033033ACxxBCxtanABCtanBC DC=BD33123xx6 310 4x.解得 4.1 0渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险环节五课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.环节六布置作业巩固例题练习教科书第 77 页练习 1、2.课后完成练习通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.应用举例应用举例应用举例是在学习了锐角三角函数和解直角三角形的基础上继续研究利用解直角三角形等有关知识解决实际问题。本节内容，一方面，可以让学生看到解直角三角形知识在解决实际问题中所起的作用；另一方面，通过解决实际问题的过程，让学生学以致用，学会将所学知识运用到实际生活中去，使学生进一步体会数学建模思想和数学建模过程，培养应用意识，发展学生的抽象能力，以及分析问题、解决问题的能力。本节教材安排了三个实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用，其解决过程均为先将实际问题抽象成数学问题，即构转化成直角三角形中的度量问题，再利用解直角三角形知识得出实际问题的答案。在此基础上，教材最后给出了利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程和方法。【知识与能力目标】能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题。【过程与方法目标】在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合”的思想。【情感态度价值观目标】利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。【教学重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系来解决。【教学难点】实际问题转化成数学模型。教材分析教材分析 教学目标教学目标 教学重难点教学重难点 课前准备课前准备多媒体课件、教具等。一、创设情境，引入新课一、创设情境，引入新课问题问题 1 解直角三角形是指什么？归纳：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。解直角三角形主要依据什么？归纳：勾股定理：a2+b2=c2；锐角之间的关系：A+B=90；边角之间的关系：sinAA的对边斜边，AcosA的邻边斜边，tanAA的对边邻边。问题问题 2 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋高楼底部的俯 角为 60，热气球与高楼的水平距离为 120m，这栋高楼有多高（结果取整数）？二、探索发现，形成新知二、探索发现，形成新知问题问题 3 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做什么角？在水平线下方的角叫做什么角？教学过程教学过程仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。追问 1：我们抬头观察教室里的日光灯，视线与水平线构成的角是什么角？我们低头看课桌上的数学课本，视线与水平线构成的角是什么角？追问 2：现在可以解决问题 2 中楼房的高度了吗？解：由题意可知，30，60，AD=120。ADBDtan，ADCDtan，3403312030tan120tanADBD，3120312060tan120tanADCD。27731603120340CDBDBC（m）。因此，这栋楼高约 277m。三、运用新知，深化理解三、运用新知，深化理解例 1：2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行。如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径约为 6 400km，取 3.142，结果取整数）解：设POQ，在图中，FQ 是的切线，是直角三角形。9491.034364006400cosOFOQ，18.36。PQ的长为20516400180142.336.18640018036.18（km）。由此可知，当组合体在点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离点约 2051km。例 2：如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处。这时，B 处距离灯塔有多远（结果取整数）？解：如图，在 RtABC 中，505.7225cos80)6590cos(PAPC。在 RtBPC 中，sinPCBPB，72.505130sinsin34PCPBB（n mile）。因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向时，它距离灯塔 P 大约 130 n mile。四、学生练习，巩固新知四、学生练习，巩固新知练习练习 1 建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角 50，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，求旗杆的高度（结果保留小数点后一位）.练习练习 2 如图，海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile 内有暗礁。鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于北偏东 60方向上，航行 12 n mile 到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上，。如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？练习练习 3 如图，沿 AC 方向开山修路。为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工。从 AC 上的一点 B 取ABD=140，BD=520m，D=50，那么另一边开挖点 E 离D 多远正好能使 A，C，E 三点子一直线上（结果保留小数点后一位）？五、课堂小结，梳理新知五、课堂小结，梳理新知利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)获得数学问题的答案；(4)检验答案是否符合实际问题。六、布置作业，优化新知六、布置作业，优化新知1、教科书习题 28.2 第 3 题，第 4 题，第 5 题；（必做题）2、教科书习题 28.2 第 9 题，第 10 题，第 11 题。（选做题）略 教学反思教学反思应用举例应用举例第第 1 课时课时一、教学目标一、教学目标1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合解决问题2.进一步理解仰角、俯角和方位角的概念，会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成数学问题二、教学重点及难点二、教学重点及难点重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题难点：利用数形结合的思想解决实际问题三、教学用具三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源四、相关资源五、教学过程五、教学过程（一）复习导入在解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系？如图：（1）三边之间的关系（勾股定理）（2）两锐角之间的关系AB=90（3）边角之间的关系：；设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课应用举例打下基础设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课应用举例打下基础222abcsinAaAc的对边斜边sinBbBc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边cosBaBc的邻边斜边tanAaAAb的对边的邻边tanBbBBa的对边的邻边此知识卡片普及解直角三角形中常用的概念,便于学生理解概念,认识概念.此微课精选关于锐角三角函数的实际应用实例,做到全面讲解.（二）例题解析例 1.2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，取 3.142，结果取整数）？分析：从组合体中能直接看到的地球表面最远的点，是视线与地球相切时的切点教师引导学生画出示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来如图，O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ 是O 的切线，切点 Q 是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上 P，Q 两点间的距离为计算的长需先求出POQ（即）的度数解：设POQ=，在图中，FQ 是O 的切线，FOQ 是直角三角形，的长为(km)由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2 051 km设计意图：通过分析题意，画示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力设计意图：通过分析题意，画示意图，将实际问题中的数量关系在图形中反映出来，把数形结合起来，提高学生分析问题和解决问题的能力PQPQ6400cos0.949 16400343OQOF18.36PQ18.3618.36 3.1426 4006 4002 051 180180例 2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角因此，在图中，=30，=60在 Rt ABD 中，=30，AD=120 m，所以可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC解：如图，=30，=60，AD=120，（m）tanBDADtanCDADtan120 tan30BDAD312040 33tan120tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277因此，这栋楼高约为 277 m设计意图：理解仰角、俯角的概念，利用已有知识，把实际问题抽象成数学问题，画出相应的示意图，通过解直角三角形解决实际问题，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力设计意图：理解仰角、俯角的概念，利用已有知识，把实际问题抽象成数学问题，画出相应的示意图，通过解直角三角形解决实际问题，进一步培养学生分析问题和解决问题的能力（三）课堂练习1要测池塘 A、B 两端的距离，可以在平地上与 AB 垂直的直线 BF 上取一点 C，使FCA=120，并测量得 BC=20 m，求 A，B 两端之间的距离（结果保留根号）设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力解：根据题意，得ABC=90在 Rt ABC 中，ACB=180-FCA=180-120=60，Tan ACB=，AB=BCtan ACB=20tan60=(m)答：A、B 两端之间的距离为m2如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40 m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 50，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，求旗杆的高度（tan 501.192，结果保留小数点后一位）解：在等腰三角形 BCD 中，ACD=90BC=DC=40(m)BCAB320320在 Rt ACD 中，AB=AC-BC=47.68-407.7(m)答：旗杆的高度约为