1、课时提升作业(二十四) 第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算一、选择题1.(2013合肥模拟)下列命题中是真命题的是()对任意两向量a,b,均有:|a|-|b|a|+|b|;对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;在ABC中,+-=0;在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;在ABC中,-=.(A)(B)(C) (D)2.如图,在ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB上的中线,它们交于点G,则下列各等式中不正确的是()(A)=(B)=2(C)=(D)+=3.(2013宜春模拟)在以下各命题中,假命题的个数为()“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件任一非零向量的方向
2、都是唯一的“ab”是“a=b”的充分不必要条件若|a|-|b|=|a|+|b|,则b=0(A)1(B)2(C)3(D)44.(2013株洲模拟)设P是ABC所在平面内的一点,+=2,则()(A)P,A,B三点共线 (B)P,A,C三点共线(C)P,B,C三点共线 (D)以上均不正确5.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中an为等差数列,则a2011等于()(A)-1(B)1(C)-(D)6.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是()(A)|a+b|a|+|b|(B)|a|-|b|a+b|(C)|a|-|b|a|+|b|(D)|a|a+b|7.已知点O,
3、N在ABC所在平面内,且|=|=|,+=0,则点O,N依次是ABC的()(A)重心,外心 (B)重心,内心(C)外心,重心 (D)外心,内心8.(2013西安模拟)在ABC中,M是BC边上一点,N是AM的中点,=+,则+=()(A) (B)(C) (D)9.(2013蚌埠模拟)已知点P为ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在ABC的内部,则t的取值范围是()(A)0t (B)0t(C)0t (D)0t10.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使+=0成立的点M的个数为()(A)0 (B)1 (C)5 (D)10二、填空题11.如图,在正六边形ABCDEF中,
4、已知=c,=d,则=(用c与d表示).12.M,N分别在ABC的边AB,AC上,且=,=,BN与CM交于点P,设=a,=b,若=xa+yb(x,yR),则x+y=.13.(2013吉安模拟)如图所示,=3,O在线段CD上,且O不与端点C,D重合,若=m+(1-m),则实数m的取值范围为.14.(能力挑战题)已知ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+a+b,则动点P的轨迹所过的定点为.三、解答题15.(能力挑战题)如图,在ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取一点Q,使MQ=C
5、M时,=,试确定的值.答案解析1.【解析】选D.假命题.当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|,该命题不成立.真命题.(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,a-b与b-a是相反向量.真命题.+-=-=0,命题成立.假命题.+=,+=,(+)-(+)=-=+0,该命题不成立.假命题.-=+=,该命题不成立.2.【思路点拨】解题时注意三角形中线对应向量的性质及三角形重心的性质.【解析】选C.由题意知点G为三角形的重心,故=,所以C错误.3.【解析】选A.a,b方向不同ab;仅有|a|=|b|a=b;但反过来,有a=b|a|=
6、|b|.故命题是正确的.命题正确.aba=b,而a=bab,故不正确.|a|-|b|=|a|+|b|,-|b|=|b|,2|b|=0,|b|=0,即b=0,故命题正确.综上所述,4个命题中,只有是错误的,故选A.4.【解析】选B.+=2,-=-,即=,P,A,C三点共线.5.【解析】选D.因为A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011=.6.【解析】选D.由|a|-|b|a+b|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.【误区警示】解答本题时容易忽视向量共线的情形.7.【解析】选C.由|=|=|知,O为ABC的外心;+=0知,N为ABC的重
7、心.8.【解析】选A.设=m+n,B,M,C三点共线,m+n=1,又=2,2=m+n,即=+,+=+=(m+n)=.9.【解析】选D.如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,由=+t可知,P点落在EF上,而=,点P在E点时,t=0,点P在F点时,t=.而P在ABC的内部,0t.10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.【解析】选B.在平面中我们知道“三角形ABC的重心G满足:+=0”则此题就能很快地答出,点M即为这4个点连线组成的平面图形的重心,即点M只有1个.11.【解析】连接BE,CF,设它们交于点O,则=d-c,由正六边形的性质得=d-c.又=d,=+=d+(d-c)=d-c.答
8、案:d-c12.【解析】如图,设=,=,则在ABP中,=+=a+=a+(-)=a+(b-a)=(1-)a+b.在ACP中,=+=b+=b+(-)=b+(a-b)=a+(1-)b.由平面向量基本定理得解得因此故x+y=.答案:13.【解析】设=k,则k(0,).=+=+k=+k(-)=(1+k)-k,又=m+(1-m),m=-k,k(0,),m(-,0).答案:(-,0)14.【解析】依题意,由=+a+b,得-=(a+b),即=(+).如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,则=,A,P,D三点共线,即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过ABC边BC的中点M.答
9、案:边BC的中点【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧平面向量的知识在解决平面几何中的问题时应用非常广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要注意图形中的线段、向量是如何相互转化的.15.【解析】=-=(-)=(+)=.=-=-=+.令=,+=,=(-)=,=.【变式备选】如图所示,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.A,P,M和B,P
10、,N分别共线,存在,R,使=-e1-3e2,=2e1+e2.故=-=(+2)e1+(3+)e2,而=+=2e1+3e2,=,=,即APPM=4.高三强化训练（二）数学（文）试题一.选择题（每小题5分，共60分）1.复数满足，则复数的实部与虚部之差为 （ ）A.0 B.1 C.3 D.32. 观察下列各式：51=5,52=25,53=125,54=625,=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 （ ）A3125 B5625 C0625 D81253.数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量满足且A、B、C三点共线，则S2012=（ ）A1006B1010
11、C2006D20104.不等式且对任意都成立，则的取值范围为 （ ）A B C D 5.已知向量，若，则等于（ ）A. B. C. D. 6. 在区间上任取两个实数，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是 （ ）A. B. C. D.7. 等比数列中，=4，函数，则 （ ）A B. C. D. 8.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、Am 如A2表示身高（单位：cm）在150，155内的学生人数。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那
12、么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A9 B8 C7 D69.定义：数列,满足d为常数，我们称为等差比数列，已知在等差比数列中，则的个位数 （ ） A，3 B，4 C，6 D，810. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D11. 的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 12.在直角坐标平面上的点集，那么的面积是 （ ）A B C D二.填空题（每小题5分，共20分）13. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。14.已知某个
13、几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_cm3。15.已知抛物线上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 _。16. 已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有。若函数，则可求得： .三、解答题，本大题共5小题，满分60分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设的内角所对的边长分别为，且（1）求的值；（2）求的最大值。PABCDE18. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DABABC90o，PA底面ABCD，PAABAD2，BC1，E为PD的中点(
14、1) 求证：CE平面PAB；(2) 求PA与平面ACE所成角的正弦值；19.（本小题满分12分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；（）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一
15、个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率20.（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ex-1-x（1）求y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；（2）当x时，f(x)恒成立，求的取值范围。请从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评
16、分。22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，是内接于O，直线切O于点，弦，与相交于点（1） 求证：；（2）若，求。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径。（1） 写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；（2）试判定直线和圆的位置关系。24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围。参考答案一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B
17、6. D 7. C 8 .B 9.C 10. B 11.C 12.C二.填空题13. ，14. ， 15. ，16.-8046 三、解答题17.解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则（2）由得18题图当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.18.解（1）. 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则FEBC，且FEADBC，BCEF是平行四边形，CEBF，而BF平面PAB，CE平面PAB(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EGAP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则GEH为直线EG与平面ACE所成的角现用等体积法来求GH V
18、EAGCSAGCEG，又AE，ACCE，易求得SAEC，VGAEC GHVEAGC，GH在RtEHG中，sinGEH，即PA与平面ACE所成的角正弦值为 19.解：(2)设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得.6分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. 8分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2
19、)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， 10分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为. 12分20. 解：（1）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又,又，即 故由、得或21.解（1）在处的切线方程为即 2分 （2）由已知得时，恒成立，设 由先证知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. 由可得从而当时，故当时，为减函数，
20、又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为 。12分选做题答案：22解:（1）在ABE和ACD中， ABE=ACD 2分又BAE=EDC BD/MN EDC=DCN直线是圆的切线，DCN=CAD BAE=CAD（角、边、角） 5分（2）EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8分设AE=，易证 ABEDEC 又 .10分23.解：（1）直线的参数方程是，（为参数）圆的极坐标方程是。 .5分（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。10分24.解：（1）由（2）由（1）知 - 16 -
