1、数学建模培训数学建模培训 微分方程模型微分方程模型 山东商务职业学院山东商务职业学院 杨婷婷杨婷婷 一、什么是微分方程？一、什么是微分方程？最最简单的例子最最简单的例子引例引例 一曲线通过点（一曲线通过点（1 1，2 2），且在该曲线任一点），且在该曲线任一点M M(x,y x,y)处的切线的斜率为处的切线的斜率为2 2x x，求该曲线的方程。，求该曲线的方程。解解 因此，所求曲线的方程为因此，所求曲线的方程为 21.yx若设曲线方程为若设曲线方程为 ，()(1)yf x又因曲线满足条件又因曲线满足条件 1|2xy根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式根据导数的几何意义可知未知函数满足关系式
2、：2(2)dyxdx对（对（1 1）式两端积分得：）式两端积分得：22(3)yxdxxC代入（代入（3 3）得）得C1 回答什么是微分方程：n建立关于未知变量、建立关于未知变量、n未知变量的导数以及未知变量的导数以及n自变量的方程自变量的方程 2yx)20(kdtddMMdt,xyy ,32xeyyy 二、微分方程的解法二、微分方程的解法积分方法，分离变量法积分方法，分离变量法可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,d
3、xxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解为微分方程的解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xCey 典型例题典型例题过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题初
4、值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题.例例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解:1 1、0tansectansec22 xdyyydxx；2 2、0)()(dyeedxeeyyxxyx；3 3、0)1(32 xdxdyy.二、二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1 1、xdxyydyxsincossincos,40
5、xy；2 2、0sin)1(cos ydyeydxx,40 xy.练练 习习 题题三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动,这外力这外力和时间成正比和时间成正比,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比.在在10 t秒时秒时,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少?四、小船从河边四、小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸(两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直,设河宽设河宽h
6、为为,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比(比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线.练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyx tantan；2 2、Ceeyx )1)(1(；3 3、Cxy 433)1(4.二、二、1 1、xycoscos2；2 2、yexcos221 .三、三、3.269 v厘米厘米/秒秒.四、取四、取 0 0 为原点为原点,河岸朝顺水方向为河岸朝顺水方向为轴轴x,轴轴y指向对指向对 岸岸,则所求航线为则所求航线为)312(32yyhakx .三、建立微分方程数学模型三、建立微分方程数学
7、模型1、简单的数学模型、简单的数学模型2、复杂的数学模型、复杂的数学模型1、简单的数学模型、简单的数学模型 利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：利用微分方程求实际问题中未知函数的一般步骤是：(1)(1)分析问题，设所求未知函数，建立微分方分析问题，设所求未知函数，建立微分方程，确定初始条件；程，确定初始条件；(2)(2)求出微分方程的通解；求出微分方程的通解；(3)(3)根据初始条件确定通解中的任意常数，求根据初始条件确定通解中的任意常数，求出微分方程相应的特解出微分方程相应的特解 实际问题需寻求某个变量实际问题需寻求某个变量y 随另一变量随另一变量 t 的的变化规律变化规律：y=y
8、(t).直接求直接求很困难很困难 建立关于未知变量、建立关于未知变量、未知变量的导数以及未知变量的导数以及自变量的方程自变量的方程 建立变量能满足建立变量能满足的微分方程的微分方程？哪一类问题哪一类问题在工程实际问题中在工程实际问题中 “改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减少减少”等关等关键词提示我们注意什么量在变化键词提示我们注意什么量在变化.关键词关键词“速率速率”,“增长增长”,“衰变衰变”,“边际边际的的”,常涉及到导数常涉及到导数.建立方法建立方法常用微分方程常用微分方程运用已知物理定律运用已知物理定律 利用平衡与增长式利用平衡与增长式 运用微元法运用微元法应用分析法应用分析
9、法机理分机理分析法析法建立微分方程模型时建立微分方程模型时应用已知物理定律，应用已知物理定律，可事半功倍可事半功倍一、运用已知物理定律一、运用已知物理定律例例1 1 铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量含量M M成正比，已知成正比，已知t t0 0时刻铀的含量为时刻铀的含量为 ，求在衰变过程中铀的含量求在衰变过程中
10、铀的含量M M（t t）随时间随时间t t的变化的变化规律。规律。0M铀的衰变速度就是铀的衰变速度就是 对时间对时间t的导数的导数 ，解解 因此，因此，()tM tCe由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足由于衰变速度与其含量成正比，可知未知函数满足关系式关系式：(1)dMMdt 对上式两端积分得：对上式两端积分得：dMdt()M t(0)是衰变系数是衰变系数00tMM且初始条件且初始条件分离变量得分离变量得dMdtM lnlnMtc 代入初始条件得代入初始条件得0CM所以有，所以有，0()tM tM e这就是铀的衰变规律这就是铀的衰变规律。例例2 一个较热的物体置于室温为一个较热的物体
11、置于室温为180c的的房间内，该物体最初的温度是房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后分钟以后降到降到500c.想知道它的温度降到想知道它的温度降到300c 需要多少时需要多少时间？间？10分钟以后它的温度是多少？分钟以后它的温度是多少？一、运用已知物理定律一、运用已知物理定律 牛顿冷却（加热）定律：牛顿冷却（加热）定律：将温度为将温度为T的物体的物体放入处于常温放入处于常温 m 的介质中时，的介质中时，T的变化速率的变化速率正比于正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差.分析分析：假设房间足够大，放入温度较低或较：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，
12、即室温高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡分布均衡,保持为保持为m，采用牛顿冷却定律是一个，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似相当好的近似.建立模型建立模型：设物体在冷却过程中的温度为设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t0，“T的变化速率正比于的变化速率正比于T与周围介质的温度差与周围介质的温度差”翻译为翻译为成成正正比比与与mTdtdT 数学语言数学语言 .60)0(),(TmTkdtdT建立微分方程建立微分方程其中参数其中参数k 0，m=18.求得一般解为求得一般解为 ln(Tm)=k t+c,代入条件代入条件:求得求得c=42，,最后得最后得2116ln31 k T(t)=
13、18+42 ,t 0.te2116ln31,0,tcemTkt或或结果结果：T(10)=18+42 =25.870，102116ln31 e该物体温度降至该物体温度降至300c 需要需要8.17分钟分钟.(0)60T(3)50T另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该另一个例子：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是水温原来是100100，空气的温度是，空气的温度是2020，经过，经过2020小时以后，瓶内水温降到小时以后，瓶内水温降到6060，求瓶内水温的变，求瓶内水温的变化规律化规律 例例3 3：已知物
14、体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设：已知物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比设有一瓶热水，水温原来是有一瓶热水，水温原来是100100，空气的温度是，空气的温度是2020，经过，经过2020小时以后，瓶内小时以后，瓶内水温降到水温降到6060，求瓶内水温的变化规律，求瓶内水温的变化规律 解解 可以认为在水的冷却过程中，空气可以认为在水的冷却过程中，空气的温度是不变的的温度是不变的 由题意，得由题意，得 其中其中 k k 是比例系数是比例系数(k k 0)0)由于是单调减少的，即由于是单调减少的，即 0ddt 设瓶内水的温度设瓶内水的温度 与时间之间的函数关
15、系为与时间之间的函数关系为 ，)(t 则水的冷却速率为则水的冷却速率为 ,dtd(1)20(kdtd所以所以(1)(1)式右边前面应加式右边前面应加“负号负号”初始条件为初始条件为1000 t 对对(1)(1)式分离变量，得式分离变量，得 于是方程于是方程(1)(1)的特解为的特解为 8020k tekdtd 20 两边积分两边积分 dtkd20 得得 Cktln)20ln(t kt kCCt kCeeee lnln20 即即20 t kCe 把初始条件把初始条件 代入上式代入上式，求得求得 C=80 ，1000 t 其中比例系数其中比例系数 k 可用问题所给的另一条件可用问题所给的另一条件
16、来确定，来确定，6020 t 即即 20806020 te解得解得 0347.05.0ln201 k因此瓶内水温因此瓶内水温 与时间与时间 的函数关系为的函数关系为t20800347.0 te 二二.利用平衡与增长式利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种许多研究对象在数量上常常表现出某种不变不变的特性的特性，如封闭区域内的能量、货币量等，如封闭区域内的能量、货币量等.利用变量间的平衡与增长特性利用变量间的平衡与增长特性,可分析和建可分析和建立有关变量间的相互关系立有关变量间的相互关系.解解例例1 1 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有
17、 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每秒用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1.02CO2CO2CO%03.0设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt,dttt 在在 内内,2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03.02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2C
18、O的排出量的排出量2CO的改变量的改变量 03.0200012000 dtdx),(2000txdt ),03.0(61 xdtdx,03.061tCex ,1.0|0 tx,07.0 C,07.003.061tex ,056.007.003.0|16 ext6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到%.056.02CO二二.利用平衡与增长式利用平衡与增长式 对某地区时刻对某地区时刻 t 的人口总数的人口总数N(t)，除考虑个，除考虑个体的体的出生、死亡出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出，再进一步考虑迁入与迁出的影响的影响.在很短的时间段在很短的时间段t 内内，关于关于N(t)
19、变化的一个变化的一个最简单的模型是：最简单的模型是：t时间内的人口增长量时间内的人口增长量=t内出生人口数内出生人口数t内死亡人口数内死亡人口数+t内迁入人口数内迁入人口数t内迁出人口数内迁出人口数 t时间内的净改变量时间内的净改变量=t时间内输入量时间内输入量t时间内输出量时间内输出量 般化般化更一更一基本模型基本模型三三.微元法微元法 基本思想基本思想：通过分析研究对象的有关变量在通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况一个很短时间内的变化情况.例例 一个高为一个高为2米的球体容器里盛了一半米的球体容器里盛了一半的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面的水，水从它的底部小孔流
20、出，小孔的横截面积为积为1 1平方厘米平方厘米.试求放空容器所需要的时间试求放空容器所需要的时间.2米对孔口的流速做两条假设对孔口的流速做两条假设：1t 时刻的流速时刻的流速v 依赖于依赖于此刻容器内水的高度此刻容器内水的高度h(t).2 整个放水过程无能整个放水过程无能量损失。量损失。分析分析：放空容器放空容器？容器内水的体积为零容器内水的体积为零容器内水的高度为零容器内水的高度为零 模型建立：模型建立：由水力学知：水从孔口流出的由水力学知：水从孔口流出的流量流量Q为通过为通过“孔口横截面的水的体积孔口横截面的水的体积V对时对时间间t 的变化率的变化率”，即即ghSdtdVQ262.0 S孔
21、口横截面积（单位：平方厘米）孔口横截面积（单位：平方厘米）h(t)水面高度（单位：厘米）水面高度（单位：厘米）t时间（单位：秒）时间（单位：秒）当当S=1平方厘米平方厘米，有有)1(262.0dtghdV h(t)h+hr1r2水位降低水位降低体积变化体积变化 在在t，t+t 内，内，水面高度水面高度 h(t)降至降至h+h(h0),容器中水的体积的改变量为容器中水的体积的改变量为)()(hhVhVV )()(32221horrh )(2hohr 222200)100(100hhhr 记记令令t 0,得得 dV=r2 dh，（2）比较比较(1)、(2)两式得微分方程如下：两式得微分方程如下：.
22、100,)200(262.002thdhhhdtgh 积分后整理得积分后整理得)31000700000(265.42523hhgt 0h100 令令 h=0，求得完全排空需要约求得完全排空需要约2小时小时58分分.另一个例子另一个例子 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开始开始时容器内盛满了水时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器求水从小孔流出过程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时随时间间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得
23、由力学知识得,水从孔口流水从孔口流出的流量为出的流量为,262.0ghSdtdVQ 流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度cm100horhdhh)1(,262.0dtghdV 设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较比较(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262.0dtgh 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262.0dtgh 即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量,)200(26
24、2.03dhhhgdt ,)523400(262.053Chhgt ,100|0 th,101514262.05 gC).310107(265.45335hhgt 所求规律为所求规律为四.分析法分析法 基本思想：基本思想：根据对现实对象特性的认识，根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系分析其因果关系,找出反映内部机理的规律找出反映内部机理的规律.例例(独家广告模型独家广告模型)广告是调整商品销广告是调整商品销售的强有力的手段售的强有力的手段,广告与销售量之间有什广告与销售量之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？分析分析 广告的效果广告的效果,
25、可做如下的条件假设：可做如下的条件假设：*1.商品的销售速度会因广告而增大商品的销售速度会因广告而增大,当商品当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极限值；限值；*2.商品销售率（销售加速度）随商品销售商品销售率（销售加速度）随商品销售速度的增高而降低；速度的增高而降低；*3.选择如下广告策略，选择如下广告策略，t时刻的广告费用为：时刻的广告费用为：.,0;0,)(ttAtA建模建模 记记 S(t)t 时刻商品的销售速度时刻商品的销售速度；M 销售饱和水平，即销售速度的上限；销售饱和水平，即销售速度的上限；（0）衰减因子，广告作用随时间的衰减因子，
26、广告作用随时间的推移而自然衰减的速度推移而自然衰减的速度.直接建立微分方程直接建立微分方程)()(1)(tSMtStpAdtdS 称称 p 为响应系数为响应系数，表征表征A(t)对对 S(t)的影响力的影响力.模型分析模型分析：是否与前三条假设相符？是否与前三条假设相符？改写模型改写模型)()()(tStSMMtApdtdS )()()(tStSMMtApdtdS 假设假设1*市场市场“余余额额”假设假设2*销售速度因广告作用增大销售速度因广告作用增大,同时同时又受市场余额的限制又受市场余额的限制.2、复杂的数学模型、复杂的数学模型背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 197
27、4 1987 1999人口人口(亿亿)5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿)3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律研究人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1(0今年人口 x0,年增长率 rk年后人口指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798)x(t)时刻时刻t t的的人口人口基本假设基本假设 :人口人口(相对相对)增长
28、率增长率 r r 是常数，即单位是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为时间内人口的增长量与人口成正比，且比例系数为r()()()x ttx trx tt 随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长根据假设，在根据假设，在 到到 时间段内，人口的增长量为时间段内，人口的增长量为tttttrxtxttx)()()(trextx)()(0trx)1(00(0)dxrxdtxx模型检验模型检验据估计据估计19611961年地球上人口总数为，在以后年地球上人口总数为，在以后7 7年中，年中，人口总数以每年人口总数以每年 的数度增长，这样的数度增长，这样9
29、 0.02(1961)()3.06 10tx te2%9001961,3.06 10,0.02txr8(2670)36000 1036000 x亿也就是说到也就是说到26702670年，地球上将有年，地球上将有3600036000亿人口，非常荒谬。亿人口，非常荒谬。这个公式非常准确地反映了这个公式非常准确地反映了1700170019611961年世界人口的总数。年世界人口的总数。但是：但是：指数增长模型的应用及局限性指数增长模型的应用及局限性 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合1919世纪后多数地区人口增长规律世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能
30、预测较长期的人口增长过程事实：人口增长率事实：人口增长率r r不是常数不是常数(逐渐下降逐渐下降)阻滞增长模型阻滞增长模型 (Logistic(Logistic模型模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假定：)0,()(srsxrxrr固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(mxxrxrr是x的减函数mxrs 0)(mxr阻滞增长模型阻滞增长模型 (Logistic(Logistic模型模型)rxdtdx)1()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemm
31、rt()()110 tx0 x(t)S形曲线,x增加先快后慢x0 xm/2模型的参数估计模型的参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位百万）1790 1800 1810 1820 1830 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 150.7 179.3 204.0 226.5r=0.2072,xm=464 专家估计模模 型型 检检 验验用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较/)1980(1)1980()1980()1980()1990(mxxrxxx
32、xx实际为251.4(百万)5.250)1990(x模 型 应 用人 口 预 报用美国17901990年人口数据重新估计参数r=0.2083,xm=457.6x(2000)=275.0 x(2010)=297.9Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)1 1、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口、指数增长模型（马尔萨斯人口模型）英国人口学家马尔萨斯（学家马尔萨斯（Malthus17661834Malthus17661834）于）于17981798年提年提出。出。2 2、阻滞增长模型（、阻滞增长模型（LogisticLogistic模型）模型）3 3、更复杂的人口模型、更
33、复杂的人口模型 随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等随机性模型、考虑人口年龄分布的模型等 可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能可见数学模型总是在不断的修改、完善使之能符合实际情况的变化。符合实际情况的变化。小结小结两方军队交战两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：模型，应用这个模型达到如下目的：1.1.预测哪一方将获胜？预测哪一方将获胜？2.估计获胜的一方最后剩下多少士兵？估计获胜的一方最后剩下多少士兵？3.计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？能赢得这场战斗？模型建立：模型建
34、立：设设 x(t)t 时刻时刻X X方存活的士兵数方存活的士兵数；y(t)t 时刻时刻Y Y方存活的士兵数方存活的士兵数；假设：假设：1 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗战斗，x(t)与与y(t)都是连续变量都是连续变量.2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队方军队 a 名士兵名士兵；平衡式平衡式 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军方军队队 b 名士兵名士兵；t 时间内时间内X X军队减少的士兵数军队减少的士兵数=t 时间内时间内Y Y军队消灭对方的士兵数军队消灭对方的士兵数即有即有 x=ayt,同理同理 y=bxt,令令t 0,得到微分方程组得到微分方程组：)0(,aaydtdx)0(,bbxdtdy
