1、 试卷第 1 页，总 5 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前绝密启用前 河南省名校联盟河南省名校联盟 2020 年高三尖子生第七次调研考试年高三尖子生第七次调研考试 数学（理数学（理) 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷（选择题卷（选择题) ) 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题一、单选题 1已知集合|0Ax x，集合 2 |ln12Bx xxx，则AB （ ） A0,4 B4,3 C0,3 D2,3 2 复平面内的两点1,2P ，2,1Q 对应的复数分别为 1 z， 2
2、z， 则 12 zz（ ） A5i B5i C5 i D5 i 3某自媒体为了了解公众网上购物的情况，收集并整理了 2018 年全年每月甲、乙两个 网络购物平台点击量（单位：万次）的数据，绘制了下面的折线图： 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量 B全年各月甲平台点击量的中位数是 28 C全年各月乙平台点击量的极差为 38 D8 月份甲、乙两个平台的点击量相差最多 4已知等比数列 n a的首项为 2，前 3 项和 3 6S ，则其公比q等于（ ） A1 B-2 C2 D1 或-2 5与双曲线 1 C： 22 1 43 xy 有相同的渐近线，且过点2 2
3、,2 3的双曲线 2 C的离心 率是（ ） 试卷第 2 页，总 5 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 A 14 3 B 15 3 C 4 3 D 21 3 6灯笼是传统的照明工具，在传统节日各家庭院中挂上各种彩灯更显得吉祥喜庆，某 庭院挂着一盏表面积为4平方尺西瓜灯（看成球） ，灯笼中蜡烛的灯焰可以近似看成底 面半径为2寸高为4寸的圆锥， 现向该灯笼内任取一点， 则该点取自灯焰内的概率为 （注： 1 尺10 寸） （ ） A0.004 B0.012 C0.024 D0.036 7过原点的直线l与椭圆C： 22 1 42 xy 交于A，B两点，F为椭圆C的左焦点， 若FA
4、 FB 的最大值与最小值分别为M，m，则Mm（ ） A2 2 B 2 C2 D4 8“2020”含有两个数字 0，两个数字 2，“2121”含有两个数字 1，两个数字 2，则含有 两个数字 0，两个数字 2 的四位数的个数与含有两个数字 1，两个数字 2 的四位数的个 数之和为（ ） A8 B9 C10 D12 9阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ） A 3 2 B-2 C0 D2 10函数 cos0,0,0 2 f xAxA 的部分图象如图所示，且 19 ,0 2 P ， 21,0 2 Q ，则函数 f x的一个单调递减区间是（ ） 试卷第 3 页，总 5 页 外 装
5、 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 A 5 9 , 2 2 B 51 , 22 C 3 1 , 2 2 D 7 11 , 2 2 11 已知数列 n a满足 1 1 3 a ， 1 41 n n n a a a ， 则数列 1nn a a 的前 10 项和 10 S（ ） A 8 105 B 1 13 C 10 129 D 11 141 12函数 f x满足 110fxfx，当1x 时， 2 68f xxx.若函数 1F xf xk x有 5 个零点，则实数k的取值范围是（ ） A2 342 34k B 2 342 34k C2 34k D 2 34k 第第 IIII
6、卷（非选择题卷（非选择题) ) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题二、填空题 13已知向量1,1a r ，5,2b ， 2cab ，则a在c方向上的投影是_. 14已知实数x，y满足 20 50 370 xy xy xy ，则3zxy 的取值范围是_. 15已知函数 cos 1 x f xeax在点 0,0Af处的切线方程为4ykx，则 ak的值为_. 16已知四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，2PA，底面ABCD是边长为 2 的正方形， 用与直线PA、BD都平行的平面截此四棱锥， 截面与AB、AD、PD、PC、 PB分别交于F、G、H、M、E，则截面EFGHM面积的最大值为_
7、. 三、解答题三、解答题 17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C所对的边， 1 sincossin23 cos 2 aACcAbA. （1）求角A； （2）已知D是AB上一点，2ABADAC，7CD ，3AC ，求BDC的面 积. 18在如图所示的多面体中，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD，DM 试卷第 4 页，总 5 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 平面ABCD，/ANDM，2DM ，1AN . （1）证明：/AC平面BMN； （2）求直线MC与平面BMN所成角的正弦值. 19某教辅公司近年重点打造出版了一套高考一轮复习资料，为了调查读者对这套教
8、辅 的满意程度，该公司组织了免费送书活动，并邀请了部分接受赠送的读者参与了问卷调 查，其相关评分（满分 100 分）情况统计如下图所示： 为了判断今年该套教辅的销售情况， 公司将该教辅前五年销售数量和年份情况统计如下： 年份代码t 1 2 3 4 5 销售量y（万册） 5.6 5.7 6 6.2 6.5 （1）求参加问卷调查的读者所给分数的平均分； （2） 以频率估计概率， 若在参加问卷调查的所有读者中随机抽取3人， 记给分在40,50 或80,100的人数为X，求X的分布列及数学期望； （3）根据上表中数据，建立y关于t的线性回归方程y bta . 附：对于一组数据, ii t y，1,2,
9、3,in，其回归直线y bta 的斜率和截距的计 算公式： 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt $ ，aybt $ . 20抛物线C： 2 0xpy p的焦点为0,1F，直线l的倾斜角为且经过点F， 试卷第 5 页，总 5 页 外 装 订 线 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 内 装 订 线 直线l与抛物线C交于两点A，B. （1）若16AB ，求角； （2）分别过A，B作抛物线C的切线 1 l， 2 l，记直线 1 l， 2 l的交点为E，直线EF的 倾斜角为.试探究是否为定值，并说明理由. 21已知函数 3 1 4 f xxax， lng xx. （1）若函数 f x
10、的极小值不小于 1 4 a ，求实数a的取值范围； （2）用max, m n表示m，n中的最大值，设 max,1h xf xg xx，讨 论 h x零点的个数. 22在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为 24 1 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原 点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin . （1）将直线l的参数方程化为普通方程，曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知M是直线l上的动点，N是曲线C上的动点，求MN的最小值. 23已知函数 2f xx. （1）求不等式 23fxfx的解集； （2）若不等式 2f xfxm有
11、解，求实数m的取值范围. 答案第 1 页，总 15 页 参考答案参考答案 1A 【分析】先化简集合B，再求解AB. 【详解】 因为 22 |ln12|120xxByxxxx 2 |120| 343,4x xxxx ， 又|0Ax x，所以0,4AB . 故选：A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，涉及一元二次不等式的解法，以及具体函数的定义 域，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2B 【分析】先写出 1 z， 2 z，结合复数的乘法运算可求 12 zz. 【详解】 依题意 1 1 2zi ， 2 2zi ，所以 12 1 222425z ziiiii . 故选：
12、B. 【点睛】本题主要考查复数的运算，由点的坐标表示出复数是求解的关键，侧重考查数学运 算的核心素养. 3C 【分析】结合图表及数据计算出平均数，中位数，极差等，再结合选项可求结果. 【详解】 计算可知全年甲、乙平台的点击量分别为 301、341，故选项 A 错误；全年各月甲平台点击 量的中位数是 2028 24 2 ， 故选项B错误； 全年各月乙平台点击量的极差为49 1138， 故选项 C 正确；7 月份甲、乙两个平台的点击量相差为 32，8 月份相差 30，故选项 D 错误. 故选：C. 【点睛】本题主要考查统计图表的识别，明确统计量的求解方法是本题的关键，侧重考查数 据处理的核心素养.
13、 4D 【分析】利用首项和公比表示前三项的和，解方程可求公比. 答案第 2 页，总 15 页 【详解】由题意知 3123 6Saaa， 2 2226qq，解得 1q 或2q . 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的和，利用等比数列的和求解公比时要注意公式的选择，否 则会有漏解的情况，侧重考查数学运算的核心素养. 5D 【分析】设出双曲线 2 C的方程，利用所过点求出双曲线 2 C的方程，然后求解离心率. 【详解】 设双曲线 2 C的方程为 22 1 43 xy kk ， 将点 2 2,2 3代入， 得 812 1 43kk ， 解得2k ， 所以双曲线 2 C的方程为 22 1 68 y
14、x ，则离心率 22 2 6821 63 ab e a . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率， 利用共用双曲线的渐进线求出双曲线的方程是求解 的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 6A 【分析】分别计算灯笼的体积和灯笼内的灯焰的体积，结合几何概型的求解方法可求结果. 【详解】 设该灯笼的半径为R， 则 2 44R， 解得1R ， 所以该灯笼的体积 3 414 33 V 立 方尺 4000 3 立方寸，该灯笼内的灯焰的体积 2 1 116 24 33 V 立方寸，所以该点 取自灯焰内的概率为 1 16 3 0.004 4000 3 V V ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查几何
15、概型，明确所求事件和事件空间蕴含的几何度量是求解的关键， 侧重考查数学建模的核心素养. 7C 【分析】设出点 00 ,A x y， 00 ,Bxy，表示出 22 00 2FA FBxy，利用二次函数 知识求解最值. 答案第 3 页，总 15 页 【详解】 依题意，可设 00 ,A x y， 00 ,Bxy，又 2,0F ，则 00 2,FAxy， 00 2,FBxy ，所以 22 00 2FA FBxy， 因为 2 2 0 2 0 0 2 4 4 42 x x y ，所以 2 22 0 00 2 2 x FA FBxy . 因为 2 0 04x，所以FA FB 的最大值与最小值分别为0M ，2
16、m，所以2Mm. 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，综合了向量数量积的运算，表示出目标式，结合 目标式的特点选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. 8B 【分析】先求含有两个数字 0，两个数字 2 的四位数，再求两个数字 1，两个数字 2 的四位 数，可得答案. 【详解】第一类，含有两个数字 0，两个数字 2 的四位数的个数为 2 3 3C ； 第二类，含有两个数字 1，两个数字 2 的四位数的个数为 2 4 6C ，由分类加法计数原理得， 满足题意的四位数的个数为3 69 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，注意特殊元素的优先考虑，属于基础题.
17、9B 【分析】结合程序框图，明确该程序是求数列 1 cos 3 n n a 的前 2019 项的和，结合数 列的周期性可求和. 【详解】 设 1 cos 3 n n a ，该程序是求数列 n a的前 2019 项的和， 因为 n a是以 6 为周期的数列，且 123456 0aaaaaa， 所以 2019201720182019123 336 02Saaaaaa . 故选：B. 答案第 4 页，总 15 页 【点睛】本题主要考查程序框图的识别，综合了数列的性质，明确程序框图的含义是求解的 关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 10D 【分析】结合图象可得函数的周期，进而可得 2 ，结合点的坐标可
18、得 4 ，然后可求 单调递减区间. 【详解】 由图知，周期T满足 2119 1 422 T ，所以 4T ， 又 2 T ，所以 2 ，则 cos 2 f xAx ， 因为 19 2 fA ，所以 19 cos1 22 ， 即 3 cos1 4 ，所以 4 ，所以 cos 24 Axf x . 因为0A，所以由22 24 kxk ，得 13 44 22 kxkkZ，取1k 得 711 22 x. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解函数解析式，同时求解单调区间，明确各个 参数的求解方法是解决本题的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 11C 【分析】先对已知条件变形可得 1 1
19、1 4 nn aa ，进而可得 1 41 n a n ，利用裂项相消法可 求 10 S. 【详解】 因为 1 41 n n n a a a ，所以 1 11 4 nn aa ， 所以数列 1 n a 是首项为 3、公差为 4 的等差数列，所以 1 41 n n a ，所以 1 41 n a n ， 答案第 5 页，总 15 页 所以 1 1111 41 434 4143 nn a a nnnn ， 所以 10 1 111 1111110 4 374 7114 3943129 S ， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查裂项相消法求和， 根据条件求解出数列的通项公式是求解的关键， 侧重考查数 学运
20、算的核心素养. 12C 【分析】 先根据110fxfx得出函数 f x的图象关于点1,0成中心对称， 结合直线与 二次函数的交点关系可求实数k的取值范围. 【详解】 因为函数 f x满足110fxfx， 所以函数 f x的图象关于点1,0成中心对称. 函数 1F xf xk x有五个零点， 即方程 10f xk x有五个实数根， 即函 数 yf x的图象与直线1yk x有 5 个交点. 因为直线1yk x过点1,0，且 (1)=0f ，只需直线1yk x与 2 681f xxxx的图象有 2 个交点即可. 将1yk x代入 2 681yxxx，整理得 2 680xk xk ， 设两个交点为 1
21、1 ,P x y， 22 ,Q xy，则 2 12 12 64 80 2 110 kk xx xx ，即 2 64 80 62 8610 kk k kk ，解得2 34k . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查函数的性质及零点问题， 零点个数问题一般是转化为两个函数图象交 答案第 6 页，总 15 页 点的问题，结合函数图象容易得出结论，侧重考查数学抽象的核心素养. 13 1 5 【分析】 先求出向量c的坐标，利用公式 a c c 可得a在c方向上的投影. 【详解】 23,4cab ，则a在c方向上的投影是 2 2 341 5 34 a c c . 故答案为： 1 5 . 【点睛】本题主要考查
22、向量的投影，明确平面向量的投影的求解方法是关键，侧重考查数学 运算的核心素养. 141,11 【分析】根据约束条件作出可行域，平移 0 l找到3zxy 取最值的点，然后可得范围. 【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形ABC阴影部分区域（含边界） ， 作直线 0 l：30xy ，平移直线 0 l，当过点1,4A时取得最大值1 3 411z ， 当过点2,1B时取得最小值2 3 1 1z ，所以3zxy 的取值范围是1,11. 故答案为：1,11. 【点睛】 本题主要考查线性规划，利用线性规划求解最值时，准确作出图形是求解的关键，侧重考查 直观想象的核心素养. 153 【解析】 答案第
23、7 页，总 15 页 先求导数，结合 (0)fk 和 024fa 可得ak的值. 【详解】 由题知，( )sin x f xeax，因为函数 cos1 x f xeax在点 0,0Af处的切线 方程为4ykx，所以 (0)1fk ， 又 02fa，切点0,2Aa在切线上，所以21 04a ，所以2a，所以 3ak. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用曲线的切线求解参数时，主要从两个方面建立 方程组，一是切点处的导数值是切线的斜率；二是切点既在曲线上又在切线上，侧重考查数 学抽象的核心素养. 16 4 2 3 【分析】 先根据题意明确截面的形状，然后表示出截面的面积，结合二
24、次函数的知识求解最值. 【详解】 设01 AF AB ，连接AC，BD，AC交BD，FG分别于O，N，连接NM， PA 平面ABCD，PABD， /PA平面EFGHM，/EFPA，/ /MNPA，/GHPA， 1 EFBFABAF PAABAB ，/EFGHMN，2 1EF， / /BD平面EFGHM，连接EH，/ /FGBD，/ /EHBD， ANFGAF AOBDAB ，/FGEH， 2 1 22 MNCNAOAN APACAO ， 四边形EFGH为矩形，2 2FGBD ，2MN，MNFG， MEHEFGHMEFGH SSS 截面矩形 1 2 12 22 222 1 2 2 24 2 3
25、2 33 ，当 2 3 时， max 4 2 3 EFGHM S 截面 . 故答案为： 4 2 3 . 答案第 8 页，总 15 页 【点睛】 本题主要考查立体图形中的最值问题， 动态最值的确定的关键是明确目标的关系式， 侧重考 查直观想象和数学运算的核心素养. 17 （1） 3 A ； （2） 3 3 4 BDC S 【分析】 （1）利用正弦定理化边为角，可得tan3A，进而可得角A； （2）利用余弦定理求出1AD ，进而利用面积公式可求. 【详解】 （1） 1 sincossin23 cos 2 aACcAbA， sincossincos3 cosaACcAAbA ， 由正弦定理得sins
26、incoscossin3sincosAACACBA， sinsin3sincosAACBA，即sin sin3sincosABBA ， 0B，sin0B，sin 3cosAA ， 显然cos0A，tan3A， 0A， 3 A . （2）在ADC中，由余弦定理知， 222 2cosDCADACAD ACA， 即 2 22 1 732 3 2 ADAD ， 解得1AD 或2AD （舍） ， 2ABAD，1BDAD， 答案第 9 页，总 15 页 133 3 1 3 224 BDCACD SS . 【点睛】 本题主要考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形， 三角形中边角进行转化是求解 的关键，侧重考查
27、数学运算的核心素养. 18 （1）见解析； （2） 1 4 【分析】 （1）作辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）建立直角坐标系，求出平面的法向量，结合线面角的公式可求. 【详解】 （1）证明：设AC与BD的交点为Q，则Q为BD的中点， 取BM的中点P，连接PQ，则/ /PQDM，又/ANDM，所以/ /PQAN， 因为 1 1 2 PQDM，1AN ， 所以四边形PQAN是平行四边形，则/ /AQPN， 因为PN 平面BMN，AQ 平面BMN， 所以/ /AQ平面BMN，即/AC平面BMN. （2）取AD的中点O，连接BO，则BOAD，易得3BO ， 因为DM 平面ABCD，所以
28、平面ADMN 平面ABCD， 所以BO平面ADMN. 建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0O，3,0,0B， 3,2,0C ，0,1,2M， 0, 1,1N. 所以3, 1, 2MB ，0, 2, 1MN ，3,1, 2MC . 设平面BMN的一个法向量为, ,mx y z， 则 0 0 MB m MN m ，即 320 20 xyz yz ， 取1y ，得3x ，2z ，所以3, 1,2m . 设直线MC与平面BMN所成角为， 答案第 10 页，总 15 页 则sincos, MC m MC m MC m 3 1 41 488 . 【点睛】 本题主要考查空间线面平行的证明及线面角的求解
29、， 线面平行一般利用线线平行或 者面面平行来证明，线面角一般利用法向量进行求解，侧重考查数学运算的核心素养. 19 （1）65； （2）X的分布列见解析， 9 10 E X ； （3） 0.235.31yt 【分析】 （1）利用频率分布直方图区间中点代表区间平均数进行求解； （2）利用二项分布的概率求解可求分布列，结合二项分布期望公式可求期望; （3）根据公式，分别求解相关量，然后可得直线方程. 【详解】 （1）依题意，所求平均分 35 0.025 45 0.15 55 0.2 65 0.25x 75 0.225 85 0.1 95 0.05 0.875 6.75 11 16.25 16.87
30、5 8.5 4.7565. （2）随机抽取 1 人，给分在40,50或80,100的概率 3 10 p ，故 3 3,10XB ， 则 3 7343 0 101000 P X ， 2 1 3 73441 1 10101000 P XC ， 12 2 3 73189 2 10101000 P XC ， 3 327 3 101000 P X ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 343 1000 441 1000 189 1000 27 1000 答案第 11 页，总 15 页 故 39 3 1010 E X . （3）由题意可知： 12345 3 5 t ， 5.65.766.26.5
31、6 5 y ， 5 1 20.410.3 ii i ttyy 0 1 0.22 0.52.3 ， 5 2 22 22 1 210 1210 i i tt ， 5 1 5 2 1 2.3 0.23 10 ii i i i ttyy b tt ， 6 0.23 35.31ayb t ， y关于t的线性回归方程为 0.235.31yt . 【点睛】本题主要考查二项分布的分布列期望及回归直线方程的求解，综合性较强，难度适 中，回归直线求解时要计算准确，侧重考查数据处理的核心素养. 20 （1） 3 或 2 3 ； （2）为定值，理由见解析 【分析】 （1）先根据抛物线的焦点确定抛物线的方程，联立方程组
32、，结合韦达定理和弦长公式可求 角； （2）通过导数，表示出切线的斜率，得到点E的坐标，结合斜率公式求出EF的斜率，进 而可得为定值. 【详解】 （1）由抛物线 2 0xpy p的焦点为0,1F，可得4p ， 所以抛物线C的方程为 2 4xy. 设直线l的方程为1tanykxk，代入 2 4xy，消去x， 得 22 2410yky ，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 2 12 24yyk， 所以 2 12 24216 2 p AByyk， 答案第 12 页，总 15 页 得 2 3k ，3k ，所以tan3 ，则 3 或 2 3 . （2）设直线l方程为tan 4 p ykxk，
33、 2 1 1, x A x p ， 2 2 2, x B x p ， 将直线l的方程 4 p ykx代入 2 xpy，消去y，得 2 2 0 4 p xpkx， 则 12 xxpk， 2 12 4 p x x . 由 2 x y p 求导，得 2 yx p ， 所以直线 1 l， 2 l的斜率分别为 1 1 2x k p ， 2 2 2x k p ， 则 1 l， 2 l的方程分别为 2 11 2xx yx pp ， 2 22 2xx yx pp ， 解组成的方程组，结合，得 2 pk x ， 4 p y ，即, 24 pkp E ， 因为0, 4 p F ，所以 1 44 2 EF pp k
34、 pk k ，所以1 EF kk ，所以EFl. 所以90为定值. 【点睛】本题主要考查抛物线中的定值问题，设出直线，联立方程，结合韦达定理，表示出 目标式，是这类问题的常用求解方向，侧重考查数学运算的核心素养. 21 （1） 27 0 4 a； （2）见解析 【分析】 （1）求解导数，讨论a，求出极小值，进而可得实数a的取值范围； （2）分类讨论a的值，确定 max,1h xf xg xx的表达式，结合单调性，得 出零点个数. 【详解】 （1） 2 ( )3fxxa， 答案第 13 页，总 15 页 当0a时， ( )0fx ，函数 f x在R上单调递增，无极值，不满足题意； 当0a 时，令
35、( )0fx，解得 3 a x -或 3 a x -； 令 ( )0fx ，解得 33 aa x- . 故函数 f x在区间, 3 a 上单调递增，在区间, 33 aa 上单调递减，在区 间, 3 a 上单调递增， 故函数 f x有极小值 3 a f ， 11 33344 aaa aa ， 解得 27 0 4 a. （2）当1x 时， 10g， 若 5 10 4 fa， 即 5 4 a ， 则 1m a x1, 110hfgg， 则1x 是 h x 的零点； 若 5 10 4 fa，即 5 4 a ，则 1max1 ,110hfgf，则1x 不是 h x的零点； 当1,x 时， ln0g xx
36、，故只需研究 f x在1,上的零点个数，即只需 研究方程 2 1 4 xa x 在1,上的解的个数问题. 设 2 1 4 t xx x ，则 22 3 8 4 2 11 4 t xx x x x ， 当1,x时， 0t x， t x在 1,上单调递增，所以 5 1 4 t xt. 当 5 4 a ，即 5 4 a 时，方程 2 1 4 xa x 在1,上无解，所以函数 h x在1,上 无零点； 答案第 14 页，总 15 页 当 5 4 a ， 即 5 4 a 时， 方程 2 1 4 xa x 在1,上有一个解， 所以函数 h x在1, 上有一个零点. 综上， 当 5 4 a 时， 函数 h
37、x有两个零点； 当 5 4 a 时， 函数 h x有一个零点； 当 5 4 a 时，函数 h x无零点. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究极值问题时，要注意单调性的判定，利用 导数研究零点问题时，一般是利用导数得出函数图象的变化趋势，借助图象变化研究零点， 侧重考查数学抽象的核心素养. 22 （1） 240xy ， 2 2 1 4 x y； （2） min 4 52 10 5 MN 【分析】 （1） 消去参数t得直线l的普通方程， 利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直角坐标方程； （2）设出N的参数坐标形式，利用点到直线的距离结合三角函数知识可得MN的最小值. 【详解】 （1）由
38、24 1 2 xt yt （t为参数）消去参数t得直线l的普通方程为240xy， 2 2 4 1 3sin ， 222 3sin4， 22 44xy，曲线C的直角坐标方程 2 2 1 4 x y. （2）设2cos ,sinN，则点N到直线l的距离 22 2cos2sin4 1 42 2sin 4 5 2 d ， 当sin 1 4 时， min 4 52 10 5 d ， min min 4 52 10 5 MNd . 【点睛】 本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化， 极坐标方程与直角坐标方程的转 答案第 15 页，总 15 页 化，利用参数方程求解最值问题，熟记转化方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素 养. 23 （1）|3x x 或 7 3 x ； （2）1, 【分析】 （1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为一次不等式求解； （2）利用分类讨论的方法去掉绝对值，转化为分段函数，求解分段函数的最小值即可. 【详解】 （1）不等式 23fxfx，即2223xx ， 化为 1 2223 x xx
