1、解非线性规划三、三、LINGO软件的基本使用方法软件的基本使用方法1、Lingo入门入门2、在、在Lingo中使用集合中使用集合3、运算符和函数、运算符和函数4、Lingo的主要菜单命令的主要菜单命令1、Lingo入门入门LINGOLINGO的界面的界面LINGO软件的主窗口（用软件的主窗口（用户界面），所有其他窗口户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内。都在这个窗口之内。模型窗口（模型窗口（Model Window），用于输入），用于输入LINGO优化模型（即优化模型（即LINGO程序）。程序）。状态行（最左边显状态行（最左边显示示“Ready”，表示，表示“准备就绪准备就绪”）当前时间当前
2、时间 当前光标当前光标的位置的位置 简单程序举例：简单程序举例：Lindo程序:max 2x+3yst4x+3y103x+5y12endLingo 程序:MODEL:max=2*x+3*y;4*x+3*y10;3*x+5*y12;end请大家仔细区分它们的不同。请大家仔细区分它们的不同。求求z=2x+3y在约束条件在约束条件4x+3y=10,3x+5y=12下的最大值下的最大值这是这是lingo程序最基本的格式之一程序最基本的格式之一在在lingo模型窗口中输入右框中的程序，并保存为模型窗口中输入右框中的程序，并保存为LG4 格式文件，格式文件，这是这是LINGO格式的模型文件，保存了模型窗口
3、中所能够看到的格式的模型文件，保存了模型窗口中所能够看到的所有文本和其他对象及其格式信息；所有文本和其他对象及其格式信息；在在LINGOLINGO中使用中使用LINDOLINDO模型模型 运行程序运行程序:点点“LINGO菜单菜单Solve 命令命令”或或 按按ctrl+s运行运行 或或 用鼠标点用鼠标点在在LINGOLINGO中使用中使用LINDOLINDO模型模型 运行状态窗口运行状态窗口求解求解器器(求求解程解程序序)状状态框态框当前解的状态当前解的状态:Global Optimum,Local Optimum,Feasible,Infeasible“(不可行不可行),Unbounded
4、“(无界无界),Interrupted“(中断中断),Undetermined“(未确定未确定)解的目标函数值解的目标函数值 运行程序的运行程序的LINGO报告窗口（如下图）报告窗口（如下图）在在LINGOLINGO中使用中使用LINDOLINDO模型模型注：注：LINGO不询问是否进行敏感性分析，敏感性分析不询问是否进行敏感性分析，敏感性分析需要将来通过修改系统选项启动敏感性分析后，再调需要将来通过修改系统选项启动敏感性分析后，再调用用“REPORT|RANGE”菜单命令来实现。现在同样可菜单命令来实现。现在同样可以把模型和结果报告保存在文件中。以把模型和结果报告保存在文件中。一个简单的一个
5、简单的LINGO程序程序例例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：40,322100.123.02779821212122212121为整数xxxxxxtsxxxxxxMax输入窗口如下：输入窗口如下：程序语句输入的备注：程序语句输入的备注：max=98*x1+277*x2-x12-0.3*x1*x2-2*x22;LINGO总是根据总是根据“MAX=”或或“MIN=”寻找目标函数。寻找目标函数。gin(x1);gin(x2);限定变量取整数值的语句为限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)”和和“GIN(X2)”LINGO中函数一律需要以中函数一律需要以“”开头。开头。BIN(x)限定变量限
6、定变量x为为0/1变量函数变量函数FREE(x)设定变量设定变量x的取值范围为实数。的取值范围为实数。注意：如果注意：如果0/1变量的个数很多，还可以采用循环语句设变量的个数很多，还可以采用循环语句设定。定。选择全局求解的方法：点 Lindo菜单optionsGlobal Solver,在use Global Solver前打钩。点 save,应用，ok.然后运行这个程序（1）集合段（SETS）：LINGO|OPTIONS|Global Solver(全局最优求解程序)选项卡用户随时可以运行“SET DEFAUT”和“FREEZE”两条命令恢复缺省设置。ODBC 提供LINGO与ODBC（Op
7、en Data Base Connection，开放式数据库连接）的接口。迭代次数:求解一个模型时，允许的最大迭代次数（缺省值为无限）（4）初始段(INIT)：以“INIT:”开始，“ENDINIT”结束，对集合的属性(数组)定义初值(因为求解算法一般是迭代算法，所以用户如果能给出一个比较好的迭代初值，对提高算法的计算效果是有益的)。SIN(X)：正弦函数，返回X的正弦值（X的单位是弧度）。线性化的大M系数:设置线性化的大M系数（缺省值为106）GIRLS/DEBBIE,SUE,ALICE/;MPI Format（MPI格式）：是LINDO公司制定的一种数学规划文件格式。BND(L,X,U)：
8、限制L=X=U。Low：对函数ABS(),MAX(),MIN(),SMAX(),SMIN()，以及二进制变量与连续变量的乘积项做线性化设定变量的上界，缺省值为1010下四个季度的帆船需求量分别是40条，60条，75条，25条，这些需求必须按时满足。输入信息反馈:如果选择该选项，则用File|Take Command命令执行命令脚本文件时，处理信息会发送到命令窗口；IN(set_name,primitive_index_1,primitive_index_2.输出结果：输出结果：最优整数解最优整数解X=(35，65)最大利润最大利润=11077.5 一个简单的一个简单的LINGO程序程序LING
9、O的基本用法的几点注意事项的基本用法的几点注意事项 LINGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头。用LINGO解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围的函数free或sub或slb另行说明)。变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高LINGO求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束(如果可能的话)。语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。以感叹号开始的是说明语句
10、(说明语句也需要以分号结束)）。课堂练习：求解下列模型且为整数,0,;2054;62;max21212121xxxxxxxxz22121222121212min (,)(3)(2)50 240 ,0f x xxxstxxxxx x22121222122min (,)(1)(1)20 10f x xxxstxxx 二、集合的基本用法和二、集合的基本用法和LINGO模型的基本要素模型的基本要素 理解理解LINGO建模语言最重要的是理解集合（建模语言最重要的是理解集合（Set）及其）及其属性（属性（Attribute）的概念。）的概念。例例 SAILCO公司需要决定下四个季度的帆船生产量。下公司需要
11、决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别是四个季度的帆船需求量分别是40条，条，60条，条，75条，条，25条，条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，每条船的生产费用为条帆船，每条船的生产费用为400美元。如果加班生产，美元。如果加班生产，每条船的生产费用为每条船的生产费用为450美元。每个季度末，每条船的美元。每个季度末，每条船的库存费用为库存费用为20美元。假定生产提前期为美元。假定生产提前期为0，初始库存为，初始库存为10条船。如何安排生产可使总费用最小？条船。如何安排生产可使总费用最小？DEM,RP,O
12、P,INV对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是一对每个季度都应该有一个对应的值，也就说他们都应该是一个由个由4个元素组成的数组，其中个元素组成的数组，其中DEM是已知的，而是已知的，而RP,OP,INV是未知数。是未知数。第一季度第一季度 第二季度第二季度 第三季度第三季度 第四季度第四季度DEM:需求量需求量(为已知为已知)40 60 75 25RP:正常生产的产量正常生产的产量 OP:加班生产的产量加班生产的产量 INV:库存量库存量总费用：四个季度的（生产费用总费用：四个季度的（生产费用+加班费用加班费用+库存费用）库存费用）设设问题的模型问题的模型(可以看出是可以看出是L
13、P模型模型)目标函数是所有费用的和目标函数是所有费用的和4,3,2,1)(20)(450)(400MINIIINVIOPIRP 约束条件主要有两个：约束条件主要有两个：1）能力限制：）能力限制：RP()40,1,2,3,4II2）产品数量的平衡方程：）产品数量的平衡方程：()(1)()()(),1,2,3,4INV IINV IRP IOP IDEM II10)0(INV加上变量的非负约加上变量的非负约束束正常生产的产量正常生产的产量加班产量加班产量库存量库存量注：LINDO中没有数组，只能对每个季度分别定义变量，如正常产量就要有RP1，RP2，RP3，RP4 4个变量等。4/:DEM,RP,
14、OP,INV,I;在非线性求解程序中有选择地检查约束(1:是,0:否)每行最大字符数为Width（缺省为74，可以设定为64-200之间），多余的字符将被截断Quarters/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV,I;语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。function 集合函数名,FOR、MAX、MIN、PROD、SUM之一；2节敏感性分析中的allowable increase）。对偶计算:求解时控制对偶计算的级别，有三种可能的设置：6Local Optimum（局部最优）当前解的状态:Global Optimum,Local O
15、ptimum,Feasible,Infeasible“(不可行),Unbounded“(无界),Interrupted“(中断),Undetermined“(未确定)STUDENTS/ZHAO,QIAN,SUN,LI/:;总费用：四个季度的（生产费用+加班费用+库存费用）求解时间的上限（秒）(0:无限制)LINGO|OPTIONS|Global Solver(全局最优求解程序)选项卡SQRT(X)：开平方函数，返回X的正的平方根的值。2:最坏界的节点优先；分枝中非根节点增加割平面时，最大迭代检查的次数GIRLS/DEBBIE,SUE,ALICE/;注：注：LINDO中没有数组，只能对每个季度分
16、别定义变量，如正常产量就要有RP1，RP2，RP3，RP4 4个变量等。写起来就比较麻烦，尤其是更多(如1000个季度)的时候。记四个季度组成的集合QUARTERS=1，2，3，4，它们就是上面数组的下标集合，而数组DEM,RP,OP,INV对集合QUARTERS中的每个元素1，2，3，4分别对应于一个值。LINGO正是充分利用了这种数组及其下标的关系，引入了“集合”及其“属性”的概念，把QUARTERS=1，2，3，4称为集合，把DEM,RP,OP,INV称为该集合的属性(即定义在该集合上的属性)。QUARTERS集合的属性 DEM RP OP INV QUARTERS集合 2 3 4 1
17、集合及其属性集合及其属性 集合元素及集合的属性确定的所有变量集合元素及集合的属性确定的所有变量集合QUARTERS的元素1234定义在集合QUARTERS上的属性DEM DEM(1)DEM(2)DEM(3)DEM(4)RPRP(1)RP(2)RP(3)RP(4)OPOP(1)OP(2)OP(3)OP(4)INVINV(1)INV(2)INV(3)INV(4)LINGO中定义集合及其属性中定义集合及其属性 LP模型在模型在LINGO中的一个典型输入方式中的一个典型输入方式 以以“MODEL：”开开始始 以以“END”结结束束集合定义部分从集合定义部分从(“SETS：”到到“ENDSETS”)：定
18、义集合及其属性定义集合及其属性集合定义部分从集合定义部分从(“DATA：”到到“ENDDATA”)给出优化目标给出优化目标和约束和约束 目标函数的定义方式目标函数的定义方式对语句中冒号对语句中冒号“：”后面的表达式，按照后面的表达式，按照“：”前前面的集合指定的下标（元素）进行求和。面的集合指定的下标（元素）进行求和。本例中目标函数也可以等价地写成本例中目标函数也可以等价地写成SUM(QUARTERS(i):400*RP(i)+450*OP(i)+20*INV(i)，“SUM”相当于求和符号相当于求和符号“”，由于本例中目标函数对集合由于本例中目标函数对集合QUARTERS的所有元素的所有元素
19、(下下标标)都要求和，所以可以将下标都要求和，所以可以将下标i省去。省去。min=sum(Quarters:400*RP+450*OP+20*INV);SUM(集合（下标）：关于集合的属性的表达式集合（下标）：关于集合的属性的表达式)约束的定义方式约束的定义方式循环函数循环函数FOR(集合集合(下标下标)：关于集合的属性的约束关系式：关于集合的属性的约束关系式)对冒号对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后面的约束关系式都要成立后面的约束关系式都要成立 本例中，每个季度正常的生产能力是本例中，每个季度正常的生产能力是40条帆船，这正是条帆船，这正
20、是语句语句“FOR(QUARTERS(I):RP(I)40);”的含义。的含义。这个语句可以简化成这个语句可以简化成“FOR(QUARTERS:RP40);”。for(quarters(I):RP(I)1；“#GT#”是逻辑运算符号，意思是是逻辑运算符号，意思是“大于（大于（Greater Than的字首字母缩写）的字首字母缩写）”。约束的定义方式约束的定义方式()(1)()()(),1,2,3,4INV IINV IRP IOP IDEM II10)0(INV问题的求解：运行菜单命令问题的求解：运行菜单命令“LINGO|Solve”全局最优解全局最优解RP=(40,40,40,25),OP=
21、(0,10,35,0)最小成本最小成本=78450 LINGO|Solve矩阵分解:选择该选项，LINGO将尝试将一个大模型分解为几个小模型求解；求解前对固定变量的归结、简化程度，相当于预处理程度（0：不归结；LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数。是用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择“Use Global Solver”,激活全局最优求解程序。全局最优求解程序在凸化过程中增加的约束的误差限五个集合函数名的含义:SET 可设置的参数及简要功能SET 可设置的参数及简要功能如果要显示的内容超过这个值，每次从命令窗
22、口滚动删除的最小行数为Minimum（缺省为400）也就是说，对前这么多层的分枝，采用强分枝策略。SET 命令的使用格式为:Solver Decides：LINGO自动决定(缺省设置)假设计算结束时A=10，B=5,则输出为：Primal Simplex：原始单纯形法LINGO中不区分大小写字母；虽然集合CITIES中的元素不是数字，但当它以CITIES(I)的形式出现在循环中时，引用下标I却实际上仍是正整数，也就是说I指的正是元素在集合中的位置(顺序)，一般称为元素的索引(INDEX)。LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数。弹出对话框，用户输入用户使用数据库时需要验证的用
23、户名（User ID）和密码（Password），这些信息在使用ODBC()函数访问数据库时要用到。例 某班8名同学准备分成4个调查队(每队两人)前往4个地区进行社会调查。帆船生产量模型的源程序Lingo模型的基本结构模型的基本结构（1）集合段（）集合段（SETS）：）：sets:Quarters/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV,I;endsets或者或者 sets:Quarters/1.4/:DEM,RP,OP,INV,I;endsets（2）目标与约束段：）目标与约束段：min=sum(Quarters:400*RP+450*OP+20*INV);For(quarters(I
24、):RP(I)40);For(Quarters(I)|I#GT#1:INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);（3）数据段）数据段(DATA)：DATA:DEM=40,60,75,25;（或写成（或写成DEM=40 60 75 25；）；）Enddata（4 4）初始段）初始段(INIT)(INIT)：以：以“INIT:”开始，开始，“ENDINIT”结束，对集合的属性结束，对集合的属性(数组数组)定义初值定义初值(因为求解算法一般因为求解算法一般是迭代算法，所以用户如果能给出一个比较好的迭代初是迭代算法
25、，所以用户如果能给出一个比较好的迭代初值，对提高算法的计算效果是有益的值，对提高算法的计算效果是有益的)。如果有一个接近最优解的初值，对如果有一个接近最优解的初值，对LINGO求解模型求解模型是有帮助的。定义初值的格式为：是有帮助的。定义初值的格式为：“attribute（属性）（属性）=value_list（常数列表）；（常数列表）；”这与数据段中的用法是类似的。这与数据段中的用法是类似的。上例中没有初始化部分，我们将在下一个例子中举例上例中没有初始化部分，我们将在下一个例子中举例说明。说明。（5 5）计算段）计算段(CALC)(CALC)：以：以“CALC:”开始，开始，“ENDCALC”
26、结束，对一些原始数据进行计算处理。结束，对一些原始数据进行计算处理。在实际问题中，输入的数据通常是原始数据，不一定在实际问题中，输入的数据通常是原始数据，不一定能在模型中直接使用，可以在这个段对这些原始数据进能在模型中直接使用，可以在这个段对这些原始数据进行一定的行一定的“预处理预处理”，得到模型中真正需要的数据。，得到模型中真正需要的数据。例如上例，如果希望得到全年的总需求和季度平均需求，可以增加这个段：例如上例，如果希望得到全年的总需求和季度平均需求，可以增加这个段：CALC:T_DEM=SUM(quarters:DEM);!总需求总需求;A_DEM=T_DEM/size(quarters
27、);!平均需求平均需求;ENDCALC在计算段中也可以使用集合函数（其中函数在计算段中也可以使用集合函数（其中函数size(quarters)表示集合表示集合quarters的元素个数，这里也就是的元素个数，这里也就是4）。这时，变量）。这时，变量T_DEM的值就是总需求，的值就是总需求，A_DEM的值就是平均需求（如果需要的话，这两个变量就可以在程序的的值就是平均需求（如果需要的话，这两个变量就可以在程序的其它地方作为常数使用了）。其它地方作为常数使用了）。注：上面的两个语句不能交换顺序，因为计算注：上面的两个语句不能交换顺序，因为计算A_DEM必须要用到必须要用到T_DEM的的值。此外，在
28、计算段中只能直接使用赋值语句，而不能包含需要经过解方值。此外，在计算段中只能直接使用赋值语句，而不能包含需要经过解方程或经过求解优化问题以后才能决定的变量。程或经过求解优化问题以后才能决定的变量。基本集合与派生集合基本集合与派生集合 例例3.4 建筑工地的位置建筑工地的位置(用平面坐标用平面坐标a,b表示，距离单位：表示，距离单位：公里公里)及水泥日用量及水泥日用量d(吨吨)下表给出。有两个临时料场位下表给出。有两个临时料场位于于P(5,1),Q(2,7),日储量各有日储量各有20吨。从吨。从A,B两料场分别两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个向各工地运送多少吨水泥，使总
29、的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611建立模型建立模型记工地的位置为记工地的位置为 ，水泥日用量为，水泥日用量为 ；料场；料场位置为位置为 ，日储量为，日储量为 ；从料场；从料场 向工地向工地 的的运送量为运送量为 。),(iiba6,1,idi),(jjyx2,1,jejjiijc 2622112161MIN1s.t.,1,2,62,1,23ijjijijiijijijjifcxayacdicej使用现有临时料场时，决策变量只有
30、使用现有临时料场时，决策变量只有 （非负），所以这是（非负），所以这是LP模型；当为新模型；当为新建料场选址时决策变量为建料场选址时决策变量为 和和 ，由于目标函数，由于目标函数 对对 是非线性的，是非线性的，所以在新建料场时是所以在新建料场时是NLP模型。先解模型。先解NLP模型，而把现有临时料场的位置作模型，而把现有临时料场的位置作为初始解告诉为初始解告诉LINGO。ijcijcjjyx,fjjyx,输入程序输入程序 定义了三个集合，其中定义了三个集合，其中LINK在前在前两个集合两个集合DEMAND 和和SUPPLY的的基础上定义基础上定义表示集合表示集合LINK中的元素就是集合中的元素
31、就是集合DEMAND 和和SUPPLY的元素组合成的有序二元组，的元素组合成的有序二元组，从数学上看从数学上看LINK是是DEMAND 和和SUPPLY的笛的笛卡儿积，也就是说卡儿积，也就是说LINK=（S，T）|SDEMAND，TSUPPLY因此，其属性因此，其属性C也就是一个也就是一个6*2的矩阵（或者的矩阵（或者说是含有说是含有12个元素的二维数组）。个元素的二维数组）。LINGO建模语言也称为矩阵生成器（建模语言也称为矩阵生成器（MATRIX GENERATOR）。类似）。类似DEMAND 和和SUPPLY直接把元素列举出直接把元素列举出来的集合，称为基本集合来的集合，称为基本集合(p
32、rimary set),而把而把LINK这种基于其它这种基于其它集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合(derived set)。由于是由于是DEMAND 和和SUPPLY生成了派生集合生成了派生集合LINK，所以，所以DEMAND 和和SUPPLY 称为称为LINK的父集合。的父集合。输入程序输入程序 初始段 INGO对数据是按列赋值的 语句的实际赋值顺序是X=(5,2),Y=(1,7),而不是X=(5,1),Y=（2,7)等价写法：“X=5,2；Y=1,7；”同理，数据段中对常数数组A，B的赋值语句也可以写成A,B=1.25 1.25 8.75
33、 0.75 0.5 4.75 5.75 5 3 6.5 7.25 7.75；输入程序输入程序 解答解答:运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|Solve”局部最优解局部最优解X(1)=7.249997，X(2)=5.695940，Y(1)=7.749998，Y(2)=4.928524，C（略），（略），最小运量最小运量=89.8835(吨公里吨公里)。问题问题:最小运量最小运量89.8835是不是全局最优是不是全局最优 是用是用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择选项卡上选择“Use Global Solv
34、er”,激激活全局最优求解程序。活全局最优求解程序。稠密集合与稀疏集合稠密集合与稀疏集合 包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合称为稠密集合称为稠密集合(简称稠集简称稠集)。有时候，在实际问题中，一。有时候，在实际问题中，一些属性些属性(数组数组)只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这种派生集合称为稀疏集合种派生集合称为稀疏集合(简称疏集简称疏集)。例例(最短路问题最短路问题)在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一个城市的最短路从一个城市到另
35、一个城市的最短路.下图表示的是公路网下图表示的是公路网,节点表节点表示货车可以停靠的城市示货车可以停靠的城市,弧上的权表示两个城市之间的距离弧上的权表示两个城市之间的距离(百公百公里里).那么那么,货车从城市货车从城市S出发到达城市出发到达城市T,如何选择行驶路线如何选择行驶路线,使所经使所经过的路程最短过的路程最短?STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956分析分析 假设从假设从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线 P 经过城市经过城市C1,则则P中从中从S到到C1的子路的子路也一定
36、是从也一定是从S到到C1的最优行驶路线的最优行驶路线;假设假设 P 经过城市经过城市C2,则则P中从中从S到到C2的子路也一定是从的子路也一定是从S到到C2的最优的最优行驶路线行驶路线.因此因此,为得到从为得到从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Ck(k=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线,就可以方便地得到从就可以方便地得到从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线.同样同样,为了求出从为了求出从S到到Ck(k=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Bj(j=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线;为了求出从为了求出从S到到B
37、j(j=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线,只需要先求出从只需要先求出从S到到Ai(i=1,2,3)的最优行驶路线的最优行驶路线.而而S到到Ai(i=1,2,3)的最优行驶路线是很容的最优行驶路线是很容易得到的易得到的(实际上实际上,此例中此例中S到到Ai(i=1,2,3)只有唯一的道路只有唯一的道路)分析分析 STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956此例中可把从S到T的行驶过程分成4个阶段,即 SAi(i=1,2或3),Ai Bj(j=1或2),Bj Ck(k=1或2),Ck T.记d(Y,X)为城市Y与城市X之间的直接距离(若这两个城市之间没有道路直接
38、相连，则可以认为直接距离为)，用L(X)表示城市S到城市X的最优行驶路线的路长:0;1min,.2YXL SL XL Yd Y XXS本例的计算本例的计算 1231123321233112221221216,3,3;min6,8,7107;min5,6,474;min6,8158;min7,9169;min5,6205.L AL AL AL BL AL AL AL AL BL AL AL AL AL CL BL BL BL CL BL BL BL TL CL CL CSTA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956所以,从S到T的最优行驶路线的路长为20.进一步分析
39、以上求解过程,可以得到从S到T的最优行驶路线为S A3 B2 C1 T.这种计算方法在数学上称为动态规划(Dynamic Programming)本例的本例的LINGO求解求解“CITIES”(城市城市):一个基本集合一个基本集合(元素通过枚举给出元素通过枚举给出)L:CITIES对应的属性变量对应的属性变量(我们要求的最短路长我们要求的最短路长)“ROADS”(道路):由CITIES导出的一个派生集合(请特别注意其用法),由于只有一部分城市之间有道路相连，所以不应该把它定义成稠密集合，将其元素通过枚举给出，这就是一个稀疏集合。D:稀疏集合ROADS对应的属性变量(给定的距离)本例的本例的LI
40、NGO求解求解从模型中还可以看出：这个从模型中还可以看出：这个LINGO程序可以没有目标程序可以没有目标函数，这在函数，这在LINGO中，可以用来找可行解中，可以用来找可行解(解方程组和解方程组和不等式组不等式组)。在数据段对在数据段对L进行赋值，只有进行赋值，只有L(S)=0已已知，后面的值为空知，后面的值为空(但位置必须留出来，但位置必须留出来，即逗号即逗号“，”一个也不能少，否则会出一个也不能少，否则会出错错)。如果这个语句直接写成。如果这个语句直接写成“L=0；”，语法上看也是对的，但其含义是语法上看也是对的，但其含义是L所有所有元素的取值全部为元素的取值全部为0，所以也会与题意，所以
41、也会与题意不符。不符。本例的本例的LINGO求解求解虽然集合虽然集合CITIES中的元素不是数字，但当中的元素不是数字，但当它以它以CITIES(I)的形式出现在循环中时，引的形式出现在循环中时，引用下标用下标I却实际上仍是正整数，也就是说却实际上仍是正整数，也就是说I指指的正是元素在集合中的位置的正是元素在集合中的位置(顺序顺序)，一般称，一般称为元素的索引为元素的索引(INDEX)。在在for循环中的过滤条件里用了一个函数循环中的过滤条件里用了一个函数“index”,其作用是返回一个元素在集合其作用是返回一个元素在集合中的索引值，这里中的索引值，这里index(S)=1(即元素即元素S在在
42、集合中的索引值为集合中的索引值为1)，所以逻辑关系式，所以逻辑关系式“I#GT#index(S)”可以可以直接等价地可以可以直接等价地写成写成“I#GT#1”。这里。这里index(S)实际上还实际上还是是index(CITIES,S)的简写，即返回的简写，即返回S在集在集合合CITIES中的索引值。中的索引值。本例的本例的LINGO求解结果求解结果从S到T的最优行驶路线的路长为20(进一步分析，可以得到最优行驶路线为S A3 B2 C1 T)。本例中定义稀疏集合本例中定义稀疏集合ROADS的方法是将其元素通过枚举的方法是将其元素通过枚举给出，有时如果元素比较多，用起来不方便。另一种定给出，有
43、时如果元素比较多，用起来不方便。另一种定义稀疏集合的方法是义稀疏集合的方法是“元素过滤元素过滤”法，能够从笛卡儿积法，能够从笛卡儿积中系统地过滤下来一些真正的元素。中系统地过滤下来一些真正的元素。例例 某班某班8名同学准备分成名同学准备分成4个调查队个调查队(每队两人每队两人)前往前往4个个地区进行社会调查。这地区进行社会调查。这8名同学两两之间组队的效率如名同学两两之间组队的效率如下表所示下表所示(由于对称性，只列出了严格上三角部分由于对称性，只列出了严格上三角部分)，问，问如何组队可以使总效率最高？如何组队可以使总效率最高？学生S1S2S3S4S5S6S7S8S1-9342156S2-17
44、3521S3-44292S4-1552S5-876S6-23S7-4分析分析 这是一个匹配（MATCHING）问题。把上表的效率矩阵记为BENEFIT(由于对称性，这个矩阵只有严格上三角部分共28个数取非零值)。用MATCH（Si，Sj）=1表示同学Si，Sj组成一队，而MATCH（Si，Sj）=0表示Si，Sj不组队。由于对称性，只需考虑ij共28个0-1变量(而不是全部32个变量)。显然,目标函数正好是BENEFIT(Si,Sj)*MATCH(Si,Sj)对I,j之和。约束条件是每个同学只能(而且必须在)某一组，即对于任意i有:只要属性MATCH的某个下标为i就加起来，此和应该等于1。由上
45、面的分析，因此，完整的数学模型如下(显然，这是一个0-1线性规划)：31.0)(21,2,3,4,I 1,)(.1),(),(II，或J,KMATCHJ,KMATCHtsJI*MATCHJIBENEFITMinKJJIWindow|TileSET 可设置的参数及简要功能这里简单介绍一下命令行模式下的主要行命令。FLOOR(X)：取整函数，返回X的整数部分(向最靠近0的方向取整)。由于本例中目标函数对集合QUARTERS的所有元素(下标)都要求和，所以可以将下标i省去。求解前对固定变量的归结、简化程度，相当于预处理程度（0：不归结；如果这个语句直接写成“L=0；LINGO中不区分大小写字母；初始
46、线性可行性误差限:控制线性模型中约束满足的初始误差限（缺省值为3*10-6）.T_DEM=SUM(quarters:DEM);!总需求;LINGO|OPTIONS|Linear Solver(线性求解程序)选项卡2:最坏界的节点优先；LINGO|OPTIONS|Global Solver(全局最优求解程序)选项卡当前解的状态:Global Optimum,Local Optimum,Feasible,Infeasible“(不可行),Unbounded“(无界),Interrupted“(中断),Undetermined“(未确定)两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？Depth Fi
47、rst（深度优先）SET 命令的使用格式为:分枝时变量的优先级(0:LINGO自动决定,1:二进制（0-1）变量)冻结（即保存）系统参数（包括SET命令可以设定的所有参数），下次启动LINGO这些参数仍然有效;实际上，这些参数保存在LINGO目录下的LINGO.WH/WH1.问题的问题的LINGO求解求解“S1.S8”等价于写成“S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8”,它没有相关的属性列表，只用于表示是一个下标集合 在派生集合PAIRS定义中增加了过滤条件“&2#GT#&1”,意思是第2个父集合的元素的索引值(用“&2”表示)大于第1个父集合的元素的索引值(用“&1”表示)。PAIR
48、S中的元素对应于上表中的严格上三角部分的二维下标(共28个元素)。BENEFIT和MATCH是PAIRS的属性。注意数据段对BENEFIT的赋值方式，“LINGO按照列的顺序对属性变量的元素进行赋值。在约束部分，过滤条件“J#EQ#I#OR#K#EQ#I”是由逻辑运算符“#OR#（或者）”连接的一个复合的逻辑关系式，连接由“#EQ#（等于）”表示的两个逻辑关系。由于“#OR#”的运算级别低于“#EQ#”，所以这个逻辑式中没有必要使用括号指定运算次序。LINGO求解结果求解结果“LINGO|SOLVE”运行这个程序，可以得到全局最优值为30 MATCH变量中多数为0，可以更清晰地浏览最优解解。选
49、择菜单命令“LINGO|SOLUTION”，可以看到图示对话框。选择属性MATCH(变量)选择Text(文本格式)选择Nonzeros Only(只显示非零值)点击“OK”按钮，得到关于最优解的非零分量的报告学生最佳的组队方式是学生最佳的组队方式是(1,8),(2,4),(3,7),(5,6).集合的使用小结集合的使用小结 集合的不同类型及其关系集合的不同类型及其关系 集合集合派生集合派生集合稀疏集合稀疏集合稠密集合稠密集合基本集合基本集合元素列表法元素列表法 元素过滤法元素过滤法 直接列举法直接列举法 隐式列举法隐式列举法 基本集合的定义语法基本集合的定义语法 基本集合的定义格式为(方括号“
50、”中的内容是可选项,可以没有):setname/member_list/:attribute_list;其中setname为定义的集合名，member_list为元素列表，attribute_list为属性列表。元素列表可以采用显式列举法(即直接将所有元素全部列出,元素之间用逗号或空格分开),也可以采用隐式列举法。隐式列举法可以有几种不同格式，类型隐式列举格式示例示例集合表示的元素数字型1.n1.51,2,3,4,5字符-数字型stringM.stringNCar101.car208Car101,car102,car208日期（星期）型dayM.dayNMON.FRIMON,TUE,WED,T
