1、数学试题第 1页（共 4页）2023 高三第一次教学质量检测2023 高三第一次教学质量检测数学数学一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案BDCCBCDA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号9101112答案ACADABDAD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13【答案】314【答案】2nank，其中3k （只要符合题意即可）15【答案】
2、216【答案】3(0,3四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）【解析】（1）由题意，11nnnnnbaba b，13a，25a，令1n 得122bb，又数列 nb为等比数列，所以12nnbb，即数列 nb为公比为2等比数列所以，12nnaa，数列 na是首项为3，公差为2的等差数列，数列 na的通项公式：*21()nannN（3 分）由2b，42a，5b成等差数列，得：2544bba，1121636bb，12b，有2nnb（5 分）（2）由（1）知：21,(2,(nnnncn为奇数）为偶数），数列 nc的奇数项是首项为 3，公差为
3、4 的等差数列，偶数项是以首项为 4，公比为 4 的等比数列2135212462(1)4(14)()()34214nnnnn nTaaaabbbbn242(41)3nnn（10 分）18（12 分）【解析】（1）选择条件tantan2tanBCaBb：tantansincoscossinsin()sintanBsincossincossincoscosBCBCBCBCAaBCBCBCbC，所以2cosaabCb，于是1cos2C，又(0,)C，所以3C 数学试题第 2页（共 4页）选择条件1sin2cos231sin2cos2CCCC：因为1sin2cos22sin(cossin)tan1si
4、n2cos22cos(cossin)CCCCCCCCCCC，解得tan3C，又(0,)C，所以3C 选择条件32 sin()3acB：则3(sin3cos)acBB，由正弦定理得：3sinsinsin3sincosACBCB，即3sin()sinsin3sincosBCCBCB，整理得：3sincossinsinBCCB，由sin0B 得：tan3C，又(0,)C，所以3C（6 分）（2）由（1）知，233CBA，ABC为锐角三角形，所以62A，由正弦定理1sinsinsinabcABC，得sin,sinaA bB，于是，222222214sinsinsinsin()1cos2cos(2)32
5、3abABAAAA 化简得，2211sin(2)26abA，因为52666A，所以1sin(2)126A，5131sin(2)4262A，故22ab的取值范围为5 3(,4 2（12 分）19（12 分）【解析】（1）证法 1：因为PD 底面ABCD，所以PDBC，又ABCD为正方形，所以BCCD，且PDCDD，所以BC 平面PCD，又DM 平面PCD，所以BCDM，因为PDDC，M为线段PC的中点，所以DMPC，且BCPCC，所以DM 平面PBC，而DM 平面DMN，所以平面DMN 平面PBC（6 分）证法 2：以D点为坐标原点，以,DA DC DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系
6、Dxyz，如图，由已知可得(0,0,0)D，(0,2,2)M，(3,4,0)N，(0,0,4)P，(4,4,0)B，(0,4,0)C，则(0,2,2)DM ，(3,4,0)DN，(4,4,4)PB ，(0,4,4)PC 设平面DMN的法向量为1111(,)nx y z，由1nDM ,1nDN 得10nDM ,10nDN ，所以1111220340yzxy，令11z，得11y ，143x，所以14(,1,1)3n 设平面PBC的法向量为2222(,)nxyz，数学试题第 3页（共 4页）由2nPB ,2nPC 得20nPB ,20nPC ，所以222224440440 xyzyz，令21z，得2
7、1y，20 x，所以2(0,1,1)n ，因为120nn ，所以12nn ，所以平面DMN平面PBC（6 分）（2）方法 1：因为底面ABCD为正方形，所以ABCD，所以直线AB与平面DMN所成角等于直线CD与平面DMN所成角，设所求角为，由已知可求得17MN，5DN，2 2DM，所以90DMN，所以34DMNS，又6CDNS，点M到平面CDN的距离为 2，设C点到平面DMN的距离为h，由C DMNMCDNVV，得11623433h，得1234h，又4CD，所以3 34sin34hCD（12 分）方法 2：因为(0,4,0)ABDC，平面DMN的法向量为14(,1,1)3n ，设直线与平面DM
8、N所成的角为，则1113 34sin|cos,|34|AB nAB nABn （12 分）20（12 分）【解析】（1）随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，（1 分）22232255(0)0.03CCP XCC，2111122233232255(1)0.24CC CC CCP XCC，22111122223223332255(2)0.46CCC CC CCCP XCC，2111123233222255(3)0.24CC CC CCP XCC，22322255(4)0.03CCP XCC（4 分）随机变量X的分布列为：X01234P0.030.240.460.240.03随机变量X的期望(
9、)00.031 0.2420.463 0.2440.032E X （6 分）（2）1(137133130128122)1305x 甲，222221(73028)25.25s 甲，5.02s甲1(111 110109106114)1105x乙，222221(10144)6.85s乙，2.61s乙（8 分）根据公式，甲品种的变异系数为5.02100%3.86%130，乙的变异系数为2.61100%2.37%110，所以甲品种的成年水牛的变异系数大（12 分）21（12 分）【解析】（1）由题意，(,0),(,0)AaB a，00(,)P xy满足2200221xyab，即2222002()byxa
10、a数学试题第 4页（共 4页）于是，22200002222200003PAPByyyybkkxa xaxaxaa，（4 分）所以双曲线C的渐近线方程为3yx（5 分）（2）由题，(,0),(,0)AaB a，直线00:()yPB yxaxa，直线00:()yQA yxaxa联立直线PB与直线QA方程，解得20Maxx，故20Naxx（7 分）由（1）知双曲线222:33Cxya，故222003()yxa，于是直线202000:()yaPN yxaxxx，即2002200()x yayxxax，即200033xayxyy，与双曲线C联立得：2222000333()3xaxxayy，即222222
11、20000(3)6(3)0yxxa x xaay，（10 分）即22222003630a xa x xa x，因为2222200(6)4(3)(3)0a xa xa，所以直线PN与双曲线C只有一个公共点（12 分）22（12 分）【解析】（1）由(2)()ln(1)0k xf xxx，得ln(1)(2)0 xxk x令()ln(1)(2),2,)xxxk xx，则()ln(1)1xxxkx，22112()0(2)1(1)(1)xxxxxx于是()ln(1)1xxxkx在2,)上单增，故()(2)2xk 当2k 时，则()20 xk，所以()x在2,)上单增，()(2)0 x，此时()0f x
12、对2,)x 恒成立，符合题意；（4 分）当2k 时，(2)20k，e1(e1)0ekkk，故存在0(2,)x 使得0()0 x，当0(2,)xx时，()0 x，则()x单减，此时()(2)0 x，不符合题意综上，实数k的取值范围(,2（6 分）（2）由（1）中结论，取2k，有2(2)ln(1)(2)xxxx，即2(1)ln(1)1tttt不妨设211xx，211xtx，则2212112(1)ln1xxxxxx，整理得1221212lnlnxxxxxx（9 分）于是1221212121(1)(1)(1)(1)3e12ln(1)ln(1)(1)(1)3exxxxxxxxxx，即126e2xx（12 分）
