1、第三讲应力强度因子的求解与Westergaard方法(),()zz1101111()()()()()zzzzzz寻求满足边界条件下的 ，由此二函数求解KI、KII和应力场、位移场。坐标平移预备知识预备知识:复应力函数复应力函数1izz e坐标系转动 角的情形1111114Re()4Re()22()()22()()xyxyyxxyyxx yzzizzzizzz 222xyxyiyxxyyxxyiei 111111()()()()()()iizezzezzz010101I10II110III10Klim2Klim2 0Klim2ySxySzySSSSS()zIKIIK由应力函数 计算应力强度因子
2、，不必先求得应力场,而只要复应力函数微商而只要复应力函数微商()z4Re()xyzIIIKK2cos2sin()2222xyO rrr11(cossin)22izrIII11Re(KK)()422 2 Re()xyiO zzIII1()KK()2 2ziO zzIII0KKKlim2 2()zizz求得 ，可以求得应力强度因子 ，()zIKIIK故由复应力函数求K的例子122212()xyiyxxyNNieNN情况情况I Iyxx0zzyx)(41)(zzyx)(21)(情况情况IIII2221)(azzy22221)(azazy情况情况IIIIII222)(azizxy222222)(aza
3、zizxy叠加叠加ziazizxyyxxyy)2(41)(21)(22zaziazaizyxxyxyy)(21)(21)(22222)(z添加了与刚体位移有关的无应力项添加了与刚体位移有关的无应力项xyi21222222211()()22411()()()22yxyxyxyyxyxyxyzizaizaziizazza 1222111()()4411()(2)22xyiyxxyNNNN ei 222222211()(2)22111()(2)()()222zzazazzazza 记 平移到xoyx o y 1101111()()()()()zzzzzz移轴公式11za1za按 作展开之后1/211
4、13/2211111()2()242112 2()()48xyxyyxyxyxyyxyziaiazizizO za展开/21111()24nnxyxynazA zi123412()21()2411()420,yxyxyxyyxyAaiAiAiaA得注意到1/21123 11113()22zAAA zz应力强度因子应力强度因子(SIF)的求解方法概述的求解方法概述n人们已经发展了多种方法求解应力强度因子SIF(Stress Intensity Factor)，n解析方法解析方法、数值方法数值方法和实验方法实验方法。n在解析方法中，Westergaard方法方法、权函数权函数法法、积分变换法积分变
5、换法，这些方法一般只能求解某些简单构形的问题。n数值方法有有限元法有限元法、边界元法边界元法、边界配位边界配位法法等。n实验方法有光弹性法光弹性法、能量释放率法能量释放率法等。本节只简单介绍几种解析方法。Westergaard方法方法 n对于一般的二维平面问题，需要求解两个KolosovMuakhelishvili解析函数 和 。n而对于纯型和纯型问题，Westergaard发现只 需 要 求 解 一 个 解 析 函 数 ，称 为Westergaard函数。Z zWestergaard方法的裂纹解方法的裂纹解容易证明，双双调和函数 可以用三个调和函数三个调和函数 ，与 表示U1U2U3U321
6、UUUUyx对称的裂纹，westergaard假设,对于对称或反对称受载情况,可取)(Z z为一解析函数)(Z z称为westergaard复应力函数复应力函数，dzzZydzzZdz)(Im)(Rey)U(x,I型裂纹型裂纹/ReImReImReZyZyZZyZxyyyxxReIm)1(21ImRe)21(1ZyZdzEuZyZdzEuyx平面应变)(21)(/zZz)(21)(/zzZz不难发现反对称（剪切）载荷反对称（剪切）载荷ZdzyyxURe),(/ImReReReIm2ZyZZyZyZxyyyxxImRe)21(1ReIm)1(21ZyZdzEuZyZdzEuyx平面应变)(21)
7、(/ziZziZizZz/21)(取 纵向剪切作用的裂纹纵向剪切作用的裂纹ZdtuzImZyzReZxzIm这里 作为 的解析函数)(tZZ iyxt例子例子一，单向均匀拉伸的Griffith裂纹pazpzzZ21)(22二，双向均匀拉伸 22)(azpzzZ三，均匀内压pazpzzZ22)(四，半无线裂纹在其一部分表面上受力)arctan(2)(zazapazZ五，远处均匀剪切的Griffith裂纹21)(22azzzZ六，反平面裂纹问题22)(atttZ)(zZ这些 是怎样确定的，Westergaard方法中并没有给出一定的步骤，不如Muskhelishvili方法系统和直接Westerg
8、aard应力函数应力函数I I型型)(20IIZLimK寻求满足所有边界条件的应力函数寻求满足所有边界条件的应力函数)(IZ（1）Z0 xyyx（2）ax|0y0 xy（3）x轴上轴上Pdxay（一）（一）典型的张开型问题典型的张开型问题选取应力函数选取应力函数 222222)(2)(azbzbaPzZzI坐标原点移到裂纹右尖端处，取坐标原点移到裂纹右尖端处，取az)2()()(2)(2222ababaaPZI2202)(2baaPZLimKII（二）在（二）在2a2a1 1内均匀分布的压内均匀分布的压力力P利用叠加原理利用叠加原理)(sin22110221aaapabaPdbKaIaa 1a
9、PKI（三）（三）2222)()(azbzbaPzZI(i)(i)当当 ,axabx 0)(Re00yIyxzZ0)(Re00yIyyzZ00yxyz 0 xyyxbz)(zZI它满足问题的全部边界条件它满足问题的全部边界条件(ii)(ii)在裂纹面上在裂纹面上全全x x轴上轴上(iii)(iii)(vi)(vi)附近，附近，有奇异性有奇异性右端右端A AbabaaPzZazLimKIazI)()(2)(azZI)(2zZazLimKIazIbabaaPazbzbaPaziLimKazI2222)(2左端左端B B集中力集中力 作用在裂纹中点，取作用在裂纹中点，取P0b22 azzPaZIaP
10、KI/本例相当于裂纹面任一点作用单位载荷的基本解本例相当于裂纹面任一点作用单位载荷的基本解表面上有任意的分布载荷表面上有任意的分布载荷 作用作用)(xPaaIdazzaPzZ2222)()()(aaAIdaaaPK )(,aaBIdaaaPK )(,)A(处点)B(处点Westergaard方法方法n考虑如图所示的型对称平面问题。沿轴 上有若干个直裂纹，且外载关于 轴对称。再对称轴 上的对称条件表示为：1x1x1x121,00 x 2212100,0ImImxxxzzzzzz利用了在实轴 上的 关系式 1xzzT1x2xWestergaard方法方法n由于上式在整个实轴上都成立，根据柯西-黎曼
11、关系，有：n因为 在除裂纹以外的整个平面上解析，而且在整个实轴上等于实常数A。由解析延拓可得：n若记为 型问题的Westergaard函数，则应力和位移分量由Westergaard函数表示为 20 xzzzA zzz zAzz 建立了在对称问题中两个解析函数 和 之间的关系 Zzzz 112222112ReImReImReZxZAZxZAxZ 12122212ReIm212ImRe2uZ dzxZAxuZ dzxZAxWestergaard方法方法例子例子n在双轴拉伸下含中心裂纹的无限大板情况。自由裂纹表面的边界条件可表述为：n可得：n在无穷远处得边界条件：n从而得到该问题的Westergaa
12、rd函数为：2122210,0 xxai为裂纹半长 a11Re0ZxAxa通解为：122Re zZxAza 22Re2TdTmix ZzAZ T2x1x和 分别为无穷远处沿 和 方向上的均匀拉力222zTZza2TA当 时，为等轴拉伸情况 0AWestergaard方法方法例子例子n应力场和位移场由此都可以得到。裂纹上下表面的张开位移为：n在裂纹尖端处的应力强度因子为：n得到：22211,01,4uxzaxa 即为前文求能量释放率时的表达式 2limzaKzaZzKa 说明横向应力并不影响裂纹说明横向应力并不影响裂纹张开位移和应力强度因子张开位移和应力强度因子。(表达式中没有横向应力 项)TW
13、estergaard方法方法例子例子n对于型问题，Westergaard函数定义为：n对应的应力、位移和SIF表示为：n对于含中心穿透裂纹无限大板受远场均匀剪应力 的情况，利用类似于型问题的求解步骤，可求出：2Ziz 2122Im2222limmdzaZzx ZiZiBiiuuZ dzx ZZ dziBzKizaZz 为待定的实常数为待定的实常数 B22221111,014zZzaKauxaxxa Westergaard方法方法小结小结n对于一般一般的二维裂纹问题，可以用KolosovMuakhelishvili的方法程序性地程序性地求解应力和位移场以及应力强度因子，但这种方法求解过程需要数学的技巧。n对于某些特殊情况特殊情况，可以采用Westergaard函数,即由需要求解两个复变解析函数 和 简化为确定一个复变函数 ，从而使问题简化。当然，Westergaard函数方法也是在少数情况下才能得出解析解。Z
