1、2.5 等比数列的前等比数列的前n项和（一）项和（一）1记住等比数列的前记住等比数列的前n项和公式，能够利用公式项和公式，能够利用公式求等比数列的前求等比数列的前n项和项和2掌握前掌握前n项和公式的推导方法项和公式的推导方法1在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其前，则其前n项和项和Sn_.答案答案：na12在等比数列在等比数列an中，若公比中，若公比q1，则其前，则其前n项和项和Sn_.自学导引自学导引1等比数列的前等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系？项和公式与函数有哪些关系？自主探究自主探究当公比当公比q1时，因为时，因为a10，所以，所以Snna1，是，是n的正比例函
2、数的正比例函数(常数项为常数项为0的一次函数的一次函数)(2)当当q1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的图的图象是函数象是函数yAqxA图象上的一群孤立的点当图象上的一群孤立的点当q1时，数列时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比的图象是正比例函数例函数ya1x图象上的一群孤立的点图象上的一群孤立的点2数列数列a，a2，a3，an，一定是等比数列一定是等比数列吗？吗？答案答案：不一定，例如当：不一定，例如当a0时，数列就不是等时，数列就不是等比数列比数列1等比数列等比数列1，a，a2，a3，的前的前n项和为项和为()预习测评预习测评解析解析：要考虑到公比为：要考虑到公比为1的情况
3、，此时的情况，此时Snn.答案答案：D2数列数列2n1的前的前99项和为项和为()A21001 B12100C2991 D12992数列数列2n1的前的前99项和为项和为()A21001 B12100C2991 D1299答案答案：C3若等比数列若等比数列an的前的前3项的和为项的和为13，首项为，首项为1，则其公比为则其公比为_答案答案：3或或4答案答案：11等比数列前等比数列前n项和公式的推导项和公式的推导设等比数列设等比数列a1，a2，a3，an，它的前它的前n项和是项和是Sna1a2an.由等比数列的通项公式可将由等比数列的通项公式可将Sn写成写成Sna1a1qa1q2a1qn1.式两
4、边同乘以式两边同乘以q得，得，qSna1qa1q2a1q3a1qn.，得，得(1q)Sna1a1qn，由此得，由此得q1时，时，要点阐释要点阐释当当q1时，时，Snna1.以上的推导方法叫做以上的推导方法叫做“错位相减法错位相减法”这是中学数这是中学数学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会学里比较重要的一种求和方法，要多用心体会特别提示特别提示：(1)等比数列的前等比数列的前n项和的公式及通项和的公式及通项公式涉及五个量：项公式涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，只要知道其，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程中任意三个量，都可以通过建立方程(组组)等手段求出等手段求出其余两个量，俗
5、称其余两个量，俗称“知三求二知三求二”(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件为件为q1，当，当q1时应按常数列求和，即时应按常数列求和，即Snna1.在在解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论解含字母参数的等比数列求和问题时，应分别讨论q1与与q1两种情况两种情况2等比数列的判定方法等比数列的判定方法(1)an1anq(an0，q是不为是不为0的常数，的常数，nN*)an为等比数列为等比数列(2)ancqn(c，q均是不为均是不为0的常数，的常数，nN*)an是等比数列是等比数列(3)an12anan2(anan1an20，nN*)an是等比
6、数列是等比数列题型一等比数列前题型一等比数列前n n项和公式的基本运算项和公式的基本运算典例剖析典例剖析【例例1】在等比数列在等比数列an中，中，(1)S230，S3155，求，求Sn；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求，求q.方法点评方法点评：(1)这是一类基础题，要熟练应用等比这是一类基础题，要熟练应用等比数列的通项公式及前数列的通项公式及前n项和公式，运用方程的思想，解项和公式，运用方程的思想，解决两个最基本的量：首项决两个最基本的量：首项a1和公比和公比q.在等比数列的求和在等比数列的求和问题中，经常使用整体代换的思想问题中，经常使用整体代换的思想(2)在使用等比数列
7、的前在使用等比数列的前n项和公式时，要注意讨项和公式时，要注意讨论公比论公比q1和和q1两种情况两种情况1若本例若本例(1)中的条件不变，如何求中的条件不变，如何求an的通项公的通项公式？式？题型二错位相减法求和题型二错位相减法求和2求和：求和：Snx2x23x3nxn(x0)(2)当当x1时，时，Snx2x23x3nxn，xSnx22x33x4(n1)xnnxn1，(1x)Snxx2x3xnnxn1题型三判断等比数列题型三判断等比数列【例例3】已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sna2n1(a0，1；nN*)，试判断，试判断an是否为等比数列，为什么？是否为等比数列，为什么？解解：an是
8、等比数列，理由如下：是等比数列，理由如下：a1S1a21，当，当n2时，时，anSnSn1(a2n1)(a2n21)(a21)a2n2，此时，此时，n1时，时，a1a21.数列数列an的通项公式为的通项公式为an(a21)a2n2(nN*)即数列即数列an是首项为是首项为a21，公比为，公比为a2的等比数列的等比数列方法点评方法点评：将已知条件：将已知条件Sna2n1与与anSnSn1结结合起来合起来，得到，得到n2时的通项公式时的通项公式an(a21)a2n2，特别，特别注意的是，注意的是，n1时即时即a1a21能否统一到能否统一到an(a21)a2n2中去，如果能统一起来，则数列中去，如果
9、能统一起来，则数列an为等比数列，为等比数列，否则数列否则数列an不是等比数列不是等比数列(1)求求a1，a2；(2)求证：数列求证：数列an是等比数列是等比数列误区解密漏掉误区解密漏掉q1而导致错误而导致错误【例例4】在数列在数列an中，中，ana2nan(a0)求求an的前的前n项和项和Sn.错因分析错因分析：等比数列求和，一定要注意公比是：等比数列求和，一定要注意公比是否等于否等于1，否则将导致错误，否则将导致错误课堂总结课堂总结2在等比数列中的五个量在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，中，由前由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可以利用前的两个量，同时还可以利用前n项和公式解与之有关的项和公式解与之有关的实际问题实际问题3错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解错位相减法是数列求和的重要方法，必须理解数列特征及掌握求和方法数列特征及掌握求和方法
