1、数学全国卷（一）第 1 页（共 4 页）数学全国卷（一）第 2 页（共 4 页） 2020 届高考强基届高考强基 3 套卷套卷 全国卷（一）全国卷（一） 数学（理科）数学（理科） 【满分：150 分】 一、选择题：一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 2 | 20Axxx ， |1By y ，则AB （） A.( 1 0 ，B. 1 ( 1 0) 2 ， ， C.( 1 2 1 ，D.1 2 )， 2. 已知i为虚数单位， 3 3 1 1 i z i ，则|z （） A. 2 2 B.1C. 3 2
2、D. 2 3 3 3. 区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续 5 年各省、自治区及直辖市（不含港澳台）人口增长统计图.根据 图中的信息，下面结论中不正确的是（） A.广东人口增量最多，天津增幅最高 B.黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾 C.天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过 5 D.人口增量超过 200 万的省、自治区或直辖市共有 7 个 4. 记正项等比数列 n a的前n项和为 n S，若 12 4()3aa， 6 63 4 S ，则 7 a （） A. 1 256 B. 1 128 C.16D.32 5. 某学校高中部准备在“五四”青年节举行主题为“成长、感恩、责任、梦想
3、”的十八岁成人仪式，其中有一项学生发 言，现从 5 名男生干部、3 名女生干部中选取 3 人发言，则选取的 3 人中既有男生又有女生的概率为（） A. 13 56 B. 15 56 C. 15 28 D. 45 56 6. 陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式 出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为 （） A.8 54 216( () )B.8 58 2()4 C.8 54 2()4D.8 58 2()16 7. 阶梯式电价是阶梯式递增电价或阶梯式累进电价的简称，也称
4、为阶梯电价，是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段 或分档次定价计算费用.对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率.通过分段电量可以实现细分市场的差别定 价，提高用电效率.电费定价如下表. 阶梯档次月用电量（kW h）年累计电量（kW h）电价标准（元/kW h） 第一档不大于 180不大于 21600.56 第二档大于 180，且不大于 260大于 2160，且不大于 31200.61 第三档大于 260大于 31200.86 新增或业务变更天数不足一年的，按月份电量标准乘实际执行月数计算分档电量，不足一个月的按一个月计算 某地区阶梯式电价按月计算，若某用户 3 个月的总用电量为 720k
5、W h，则该用户可能要缴电费（） A.400 元B.410 元C.500 元D.550 元 8. 已知在菱形ABCD中，60BAD，AC与BD交于点O，点E F ， 分别是线段AO DC ， 的中点，则CO （） A. 24 55 BEAF B. 24 55 BEAF C. 24 77 BEAF D. 24 77 BEAF 9. 已知下列命题： 函数sinyx的最小正周期是； 函数 3 2yx是指数函数； 一次函数1yx的图象与 x 轴的交点坐标为( 1 0) ，； 2 ( )f xx在R上是偶函数，也是增函数. 其中假命题的个数为（） A.4B.3C.2D.1 10.已知底面边长为 2 的正
6、四棱锥SABCD的各顶点均在球 O 的表面上，若球 O 的表面积为 25 2 ，则该正四棱锥的侧棱 与底面所成角的正切值为（） A.1B.2C.2D.2 或 1 2 11.设函数( )(1)cos k f xxk x，则（） A.当2019k 时，( )f x在1x 处取得极小值B.当2019k 时，( )f x在1x 处取得极大值 C.当2020k 时，( )f x在1x 处取得极小值D.当2020k 时，( )f x在1x 处取得极大值 12.已知双曲线 22 22 1()00 xy Cab ab ， ：，其左、右焦点分别为 12 FF ， .双曲线C上存在一点P，使 21 12 sin
7、sin PF Fc PF Fa ，则双 曲线C的离心率的取值范围为（） A.2) ， B.(1)2 ， C.(12 ， D.)1 12( ， 二、填空题：二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.不等式组 20 240 20 x xy xy ，表示的平面区域的面积为. 14.设 12 FF ， 是椭圆 22 1 1612 xy 的左、右焦点， 椭圆上一点P满足 12 |3PFPF，则点P的横坐标为. 15.已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 6 15S ， 15 6S，则 11 a. 16.已知函数( )lnf xx与函数 2 ( ) mxn g x x 的
8、图象在其公共点(0)p ， 处有公切线，令( )( )( )h xf xg x，则当2 5x ， 时，函数( )h x的最大值为. 三、解答题：三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（一）必考题：共 60 分. 17.（12 分）已知ABC的内角AB C， ，的对边分别为a b c，且tan( sin2 cos)cos 2222 ACAC aba （1）求角B的值； （2）若ABC的面积为3 3，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值 学校：学校：班级班
9、级：姓名姓名：考号考号： _装装_订订_线线_ 数学全国卷（一）第 3 页（共 4 页）数学全国卷（一）第 4 页（共 4 页） 18.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD 底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点. （1）求证：PA平面BDE； （2）若直线BD与平面PBC所成角为30，求二面角CPBD的大小. 19.（12 分）己知某产品有 2 件次品和 3 件正品不小心混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品， 检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
10、 （2）已知每检测一件产品需要费用 100 元，设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 （单位：元） ，求X的分布列和数学期望. 20.（12 分）设椭圆 22 22 1 xy C ab ：(0)ab的左右顶点为 12 AA ， ，上下顶点为 12 BB ， ，菱形 1122 AB A B的内切圆 C 的半径 为2，椭圆的离心率为 2 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）设MN ， 是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足|PMPN，试判断直线PMPN ， 与圆 C 的位置关 系，并证明你的结论. 21.（12 分）设函数 3 ( )(1)f xxaxb，
11、xR，其中a bR ， . （1）求( )f x的单调区间； （2）若( )f x存在极值点 0 x，且 10 ( )()f xf x，其中 10 xx，求证： 10 23xx. （二）选考题：（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4 4:坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线 1 C的极坐标方程为：4cos，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，曲线 2 C的参 数方程为： 1 3 2 3 2 xt yt （t 为参数）. （1）求出曲线 1 C的直角坐标方程和曲线 2 C的普通方程； （2）设曲线
12、 1 C与曲线 2 C相交于P Q，两点，点(3 0)A ， ，求| |APAQ的值. 23.选修 4 5:不等式选讲（10 分） 已知函数( )| 21|1|f xxx. （1）解不等式( )3f x ； （2）若函数( )| 22018| 22019|g xxax，若对于任意的 1 x R，都存在 2 x R，使得 12 ()()f xg x成立， 求实数a的取值范围. 学校：学校：班级班级：姓名姓名：考号考号： _装装_订订_线线_ 参考答案 1 2020 届高考强基届高考强基 3 套卷套卷 全国卷（一）全国卷（一） 数学（理科）答案及解析数学（理科）答案及解析 一、选择题一、选择题 1
13、. 【答案】【答案】B 【解析【解析】依题意， 2 | 20Axxx |0x x或 1 2 x ，故 1 ( 1 0) 2 AB U ， ， .故选 B. 2. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】因为 32 3 11(1)2 1122 iiii zi ii ，所以|1z . 故选 B. 3. 【答案】【答案】C 【解析【解析】对于 A，由图知广东 5 年人口增加超过 400 万，增量最 多，天津增幅达到了 19.2，增幅最高，正确；对于 B，由图易 知正确；对于 C，上海的人口增幅为 4.9，未超过 5，不正 确；对于 D，人口增量超过 200 万的省或直辖市有天津、北京、 重庆、广东、河北
14、、湖南和山东，正确.故选 C. 4. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】依题意，得 612 15Saa， 所以 1 223 1 3 (1) 4 (1)15 aq a qqqq . 两式相除可得， 22 (1)20qq. 所以 1 1 4 2 a q ，所以 66 71 1 216 4 aa q.故选 C. 5. 【答案】【答案】D 【解析】【解析】选取的3人中既有男生又有女生的概率 2112 5353 3 8 C CC C P C 45 56 .故选 D. 6. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由图知，该陀螺模型是由两个圆锥和一个圆柱拼接而 成，所求表面积为 11 222 222 12(
15、)()4 22 S 22 ()(2 542)4 28 516.故选 A. 7. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】3 个月的总用电量为 720kW h，要使电费最少，则 3 个月的用电量均在第二档.此时，总费用为1800.563720( 18030.61)412.2（元）.要使电费最多，则让第三档用电 量最多，即其中 1 个月的用电量为 720kW h，其余 2 个月的 用电量均为0kW h，总费用为1800.56800.61(720260) 0.86545.2（元）.所以应缴电费的范围为412.2 545.2 ， .故选C. 8. 【答案】【答案】C 【解析】【解析】不妨设2AD ，则以
16、O 为原点，AC BD ， 所在的直线 分别为x轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(0)B ， ， 3 (0) 2 E ， ，则 3 (1) 2 BE ， ，0()3A ， ， 31 () 22 F ， ， 则 3 31 () 22 AF ， ，而0( 3)C ， ，故(3)0CO ， ，设CO xBEyAF ，则 33 3 3 22 1 0 2 xy xy ， 解得 2 7 4 7 x y ，故 24 77 COBEAF .故选 C. 9. 【答案】【答案】B 【解析】【解析】函数sinyx的最小正周期为 2 2 1 T ，是假命 题；由指数函数定义知是假命题；令10x ，得1x
17、 ，所 以一次函数1yx的图象与 x 轴的交点坐标为( 1 0) ， 是真 命题； 2 ( )f xx在R上是偶函数，但不是增函数，所以是假 命题，假命题的个数为 3.故选 B. 10.【答案】【答案】D 【解析】【解析】设球 O 的半径为 R，则 2 25 4 2 R ，得 5 2 4 R .连 接AC BD，记ACBDH，I连接SH ，则SH 平面ABCD， 点 O 在直线SH上，设SHh ，则 5 2 | 4 OHh.连接OC， 在RtOHC中，易知2HC ，由勾股定理可知 2 5 2 () 4 h 2 5 2 2() 4 ，解得2 2h 或 2 2 h ，所以该正四棱锥的侧 棱与底面所
18、成角的正切值为 2 或 1 2 .故选 D. 11.【答案】【答案】C 【解析】【解析】当2019k 时， 2019 ( )(1)cos2019f xxx，当x 4037 1 4038 () ， 时， 2019(20182019) 2 x ， ，cos20190x ， 2019 (1)0x ，所以( )0f x .当 403 ( 9 3 )1 40 8 x ， 时，2019x (2019 2019) 2 ， ，cos20190x ， 2019 10x ，所以( )f x 0.而(1)0f，所以( )f x不可能在1x 处取极值.当2020k 时， 2020 ( )(1)cos2020f xxx
19、. 当 4039 (1) 4040 x ， 时，2020x (20202020) 2 ， ， cos20200x ， 2020 (1)0x ，所以( )f x0. 当 4041 (1) 4040 x， 时 ， 2020(2020 2020+ ) 2 x ， ， cos20200x ， 2020 (1)0x ，所以( )0f x .而(1)0f，所以 ( )f x在x1处取得极小值.故选 C. 12.【答案】【答案】D 【解析】【解析】作出双曲线C 的示意图， 1 A为双曲线C 与x轴的交点， 如图.设 1 |PFm， 2 |PFn，则2mna.由正弦定理得 21 12 sin sin PF F
20、mc PFFna ， mnca na ， 2aca na ，n 2 12 2 | a AFca ca ， 2 2cac 2 0a， 2 210ee .解得 1212e .又1e ， 1e 12 .故选 D. 二、填空题二、填空题 13.【答案】【答案】3 【解析】【解析】依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，平面 区域为ABC，其中0(2)A ， ，2(0)B ， ，3(2)C ， ，所以S 1 2 |3 2 AC . 参考答案 2 14.【答案】【答案】3 【解析】【解析】由椭圆的定义得 12 |8PFPF.而 12 |3PFPF ，所 以 2 5 |. 2 PF设 点P的 坐 标 为(
21、)x y ， 442 32 3()xy ， ， 则 22 25 (2) 4 xy.联立得方程组 22 22 1 1612 25 (2) 4 xy xy ，消去 y 并整理，得 2 16390xx，解得3x 或13x （舍去）.所 以点 P 的横坐标为 3. 15.【答案】【答案】-1 【解析】【解析】 61 615Sad， 151 15105Sad，所以 1561 9SSa 909d ，所以 111 101aad . 16.【答案】【答案】 3 ln2 4 【解析】【解析】依题意，ln0p ，解得1p ，故(1)0gmn.因为 1 ( ) xf x ，所以(1)(1)1fg ，而 2 ( )
22、n g xm x ，故1mn ， 所以 1 2 m ， 1 2 n . 11 ( )ln 22 h xxx x ，故 11 ( ) 2 h x x 2 2 11 1 (1)0 22xx ，所以函数( )h x在25 ， 上单调递减，故 ( )h x的最大值为 13 (2)ln2 1ln2 44 h . 三、解答题三、解答题 17.【解析】【解析】（1）由tan( sin2 cos)cos 2222 ACAC aba， 得sin( sin2 cos)coscos 22222 ACAAC aba， 即(coscossinsin)2 sincos 222222 ACACAA ab， 即cossin
23、2 AC abA .3 分 由正弦定理得sincossinsin 2 AC ABA ， 因0A，sin0A，sin0 2 B ， 所 以 coscossin 22 ACB B ，则sinsin2sincos 222 BBB B， 所以 1 cos(0) 2222 BB ，所以 23 B ， 即 2 3 B .6 分 （2）由ABC 的面积为3 3，即 1 sin3 3 2 acB ，得12ac . 因为 D 为边 AC 的中点，所以 1 () 2 BDBABC ， 所以 2221 (2) 4 BDBABCBA BC ， 即 2 22 111 (2cos )(2)3 444 BDcaacBaca
24、cac ， .9 分 当且仅当2 3ac时取等号，所以|3BD ， 即线段 BD 长的最小值为3.12 分 18.【解析】【解析】（1）如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 OE 由题意可知，PEEC，AOOC，PAEO， 又PA平面BED，EO 平面BED， PA平面BED.4 分 （2）以 D 为坐标原点，DA，DC，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设1PDCD，ADa， 则0()0A a ， ， ，1()0B a ， ， ，0 1 0()C ， ， ，0 0 1()P ， ， ，(1 0)DBa ， ， ， (1)PBa ， ， -1，(1
25、)PC 0 ， ， -1 设平面 PBC 的法向量()nx y z ， ， ， 由 0 0 PB n PC n ，得 0 0 axyz yz ，可取(0 1 1)n ， ， 7 分 又由直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30， 得 2 |11 |cos| 2| 12 DB n DB n DB n a ， 解得1a 9 分 同理可得平面 PBD 的法向量( 1 1 0)m ， ， ，.10 分 11 cos 2|22 n m n m n m ， ， 二面角CPBD为锐二面角， 二面角CPBD的大小为 60.12 分 19.【解析【解析】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是 正品
26、”为事件 A， 11 23 2 5 3 ( ) 10 A A P A A 4 分 （2）X 的可能的取值为 200，300，400， 2 2 2 5 1 (200) 10 A P X A ， 3112 3232 3 5 3 (300) 10 AC C A P X A ， 3 (400)1(200)(300) 5 P XP XP X 8 分 故 X 的分布列为 X200300400 P 1 10 3 10 3 5 数学期望为 133 ()200300400350 10105 E X 12 分 20.【解析】【解析】（1）设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为 2 2 知， 2bc ab ， .设圆
27、 C 的半径为r， 则 22 rabab，2 分 2 232bb，解得3b ，6a ， 椭圆C的方程为 22 1 63 xy .4 分 （2）MN ， 关于原点对称，|PMPN，OPMN. 设 11 ()M xy ， ， 22 ()P xy ， .当直线PM的斜率存在时， 设直线PM 的方程为ykxm.由直线和椭圆方程联立得 22 2()6xkxm，即 222 (12)4260kxkmxm， 12 2 2 12 2 4 21 26 21 km xx k m x x k .6 分 11 ()OMxy ， ， 22 ()OPxy ， ， 12121212 ()()OMOPx xy yx xkxm
28、kxm 2 2222 1 212 22 264 11 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 22 2 3(22) 0 21 mk k ， 22 220mk， 22 22mk， 圆 C 的圆心 O 到直线PM的距离为 2 | 2 1 m r k ， 直线PM与圆 C 相切.9 分 当直线PM的斜率不存在时，依题意得 11 ()Nxy ， ， 参考答案 3 11 ()P xy ， .由|PMPN得 11 |2|2|xy， 22 11 xy， 结合 22 11 1 63 xy 得 2 1 2x ， 直线PM到原点 O 的距离都是2， 直线PM与圆 C 也相切.同理可得，直线PN与圆
29、C 也相切. 直线PM、PN与圆 C 相切.12 分 21.【解析】【解析】（1）由 3 ( )(1)f xxaxb， 可得 2 ( )3(1)fxxa.下面分两种情况讨论： （a）当0a时，有 2 ( )3(1)0fxxa 恒成立， 所以( )f x的单调递增区间为() ， .2 分 （b）当0a 时，令( )0fx ， 解得 3 1 3 a x ，或 3 1 3 a x .4 分 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x ( ， 3 1) 3 a 3 1 3 a 3 (1 3 a ， 3 1) 3 a 3 1 3 a 3 (1 3 a ， ) ( )fx00 ( )f x
30、 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增 所以( )f x的单调递减区间 3 (1) 3 a ， 为 33 (11) 33 aa ， ， 单调递增区间为 3 (1) 3 a ， ，7 分 （2）因为( )f x存在极值点，所以由（1）知0a ，且 0 1x ， 由题意，得 2 00 ()3(1)0fxxa，即 2 0 (1) 3 a x ， 所以 3 0000 2 ()(1) 33 aa f xxaxbxb .9分 又 3 000 (32)(22)(32)fxxaxb 0000 82 (1)23() 333 aaa xaxabxbf x ， 且 00 32xx，由题意及（1）知，
31、存在唯一实数 1 x满足 10 ( )()f xf x， 且 10 xx， 因此 10 32xx， 所以 10 23xx.12 分 22.【解析】【解析】（1）4cos 2 4 cos 222 xy，cosx，siny， 22 4xyx 1 C的直角坐标方程为 22 4 ,xyx.2 分 1 3 2 3 2 xt yt 3(3)yx 2 C的普通方程为3(3)yx 5 分 （2）将 1 3 2 3 2 xt yt 代入 22 4 ,xyx 得： 22 131 (3)4(3) 242 ttt.7 分 2 39122ttt， 2 30tt ， 1212 13tttt ， ， 由t的几何意义可得：
32、1212 | | | | 3APAQtttt.10 分 23.【解析【解析】（1）依题意，得 1 3 2 1 ( )21 2 31 x x f xxx x x ， ， ， 2 分 由( )3f x ，得 1 2 33 x x 或 1 1 2 23 x x 或 1 33 x x 解得11x . 即不等式( )3f x 的解集为 | 11xx .5 分 （2）由（1）知， min 13 ( )() 22 f xf， ( )|22018|22019|2201822019|g xxaxxax |1|a，.7 分 则 3 |1| 2 a ，解得 15 22 a， 即实数a的取值范围为 15 22 ，.10 分
