1、2021/2/6南京农业大学工学院机械工程系1平面问题的有限单元解法平面问题的有限单元解法有限单元法基本思想n有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从而将一个连续的无限自由度连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题有限自由度问题求解的一种数值分析法数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元分析，最终得到对整个物体的分析。n有限单元法的分析步骤如下：q物体离散化q单元特性分析q单元组集，整体分析q求解未知节点的位移q由节点的位移求解各单元的位移和应力有限元单元模型中几个重要概念n单元q网格划分中每一个小的
2、块体n节点q确定单元形状、单元之间相互联结的点n节点力q单元上节点处的结构内力n载荷q作用在单元节点上的外力（集中力、分布力）n约束p限制某些节点的某些自由度n弹性模量（杨式模量）En泊松比（横向变形系数）n密度单元单元单元单元载荷节点节点力约束1.研究内容研究内容内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。内容：弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。任务：解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。弹性力学的内容及基本假定弹性力学的内容及基本假定2.研究对象研究对象一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆
3、件等三维弹性固体、板状结构、杆件等弹性力学的内容及基本假定弹性力学的内容及基本假定3.研究方法研究方法由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析由平衡方程、几何方程、物理方程三方面分析4.数学理论基础数学理论基础 偏微分方程（高阶，二、三个变量）偏微分方程（高阶，二、三个变量）数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。弹性力学的内容及基本假定弹性力学的内容及基本假定5.基本假定基本假定（1）.连续性假定连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：使得使得、u
4、等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。),(zyx),(zyxuu)(zyx,弹性力学的内容及基本假定弹性力学的内容及基本假定（2）.完全弹性假定完全弹性假定 假定物体完全服从虎克（假定物体完全服从虎克（HookeHooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。）定律，应力与应变间成线性比例关系。脆性材料脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。比例阶段，可视为线弹性的。（3）.均匀性假定均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相
5、同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）等）等不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。弹性力学的内容及基本假定弹性力学的内容及基本假定（4）.各向同性假定各向同性假定（5）.小变形假定小变形假定 假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。假定物体内一点的力学性质在所有各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；不随坐标方向而变化；假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。远远小于物体的原来的尺寸。作用：作
6、用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程线性化。使求解的方程线性化。基本概念：基本概念：外力、应力、形变、位移。外力、应力、形变、位移。1.外力：外力：体力、面力体力、面力(1)体力体力VF 分布在物体体积内的力分布在物体体积内的力VVlim0Ff 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkxfyfzfkjifzyxfff单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：f 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念p(2)面力面力 分布在物体
7、表面的力分布在物体表面的力SFSSlim0Ff 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzf单位：单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)说明：说明：弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念kjifzyxfff是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；fp2.应力应力(1)一点应力的概念一点应力的概念AF内力内力(1)物体内部分子或原子间的相互作用力物体内部分子或原子间的相互作用力;(2)由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)PAAlim0Fp截面上截面上P点的应力点的应力应力矢量应力矢量.的极限
8、方向的极限方向F应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 切应力切应力单位单位:MPa(兆帕)应力关于坐标连续分布应力关于坐标连续分布弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念(2)一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念用矩阵表示：用矩阵表示：zzyzxyzyyxxzxyx 其中，只有其
9、中，只有6个量独立。个量独立。yxxyzyyz切应力互等定理切应力互等定理xzzx应力正负号的规定：应力正负号的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。切应力切应力 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标正面上，与坐标正向一致时为正；坐标负面上，与坐标正向相反时为正。坐标负面上，与坐标正向相反时为正。xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念3.形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用正应变用正应变度量度量
10、切应变切应变度量度量（切应变（切应变两垂直线段夹角（直角）的改变量）两垂直线段夹角（直角）的改变量）三个方向的正应变：三个方向的正应变：三个平面内的切应变：三个平面内的切应变：zyx,zxyzxy,(1)一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：正应变：正应变：伸长时为正，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；切应变：切应变：以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负；弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念(2)一点应变状态一点应变状态zzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变无量纲；应变无量纲；4.位移位移 注：注：一点的位移一点的位
11、移 矢量矢量S应变分量均为位置坐标的函数应变分量均为位置坐标的函数xyzOSwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移 分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：m 或 mm弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念 工程力学问题建立力学模型的过程中，一般从三方面进行简化：结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。平面问题的基本理论平面问题的基本理论n任何一个实际的弹
12、性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种任何一个实际的弹性力学问题都是空间问题，但是如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，特殊的形状，并并且承受的是某些且承受的是某些特殊的外力和约束特殊的外力和约束，就可以把空间问题简化为近似的，就可以把空间问题简化为近似的平面问题平面问题。n两种典型的平面问题两种典型的平面问题q平面应力问题平面应力问题q平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题(1)几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。btat,平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆
13、盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。方向不变化。xyyztba(3)应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面为如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于平面，垂直于中面的任一直线为中面的任一直线为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx02tzzy因板很薄，且外力沿因板很薄，且外力沿 z 轴轴方向不变。方向不变。0z0zx可认为整个薄板的各点都可认为整个薄板的各点都有：有：由切应力互等定理，有由切应力互等定理，有0zy0yzzy0 xzz
14、x结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),(yxxyyxxy),(yxxx),(yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。平面应变问题平面应变问题(1)几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。变化。近似认为无限长近似认为无限长(2)外力特征外力特征 外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度外力（体力、面力）平行于横截
15、面作用，且沿长度 z 方向不变方向不变化。化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3)变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则vu,yx,沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面水坝水坝任一横截面均可视为对称面，则有任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx
16、),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z)(yxz 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题三大基本方程三大基本方程n根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。根据静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程。q平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：平面问题中，根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程：(1-1)q根据
17、微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程：(1-2)q根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程：(1-3)(1-3)0yxxxfxy0yxyyfyx,xyxyuvvuxyxy112(1)(),(),xxyyyxxyxyEEE22112(1)(),(),11xxyyyxxyxyEEEyyydyyyxyxdyyxxdxxxyyxxCxfyfxyxydxx平衡微分方程平衡微分方程n从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条件导出应力从弹性体中取出一个微分体，根据平衡条件导出应力分量与体力分量之间的关
18、系式，也就是平面问题的平分量与体力分量之间的关系式，也就是平面问题的平衡微分方程。衡微分方程。n从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在从弹性体中取出一个微小的正平行六面体，它在x和和y方向的尺寸分别为方向的尺寸分别为dx和和dy，在，在z方向的尺寸为一个单方向的尺寸为一个单位长度。位长度。n以以x为投影轴，列出投影的平衡方程：为投影轴，列出投影的平衡方程：0 xF()1xxdx dyxn约简以后，两边除以约简以后，两边除以dxdy，得：，得：0yxxxfxyn同理，以同理，以y为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得为投影轴，列出投影的平衡方程，化简得：0yxyyfyx1xdy()1yxyxd
19、y dxy1yxdx1xf dxdy0uvvdyyvvdxxvuudxxuudyy几何方程几何方程n经过弹性体内的任意一点经过弹性体内的任意一点P，沿，沿x轴和轴和y轴的正方轴的正方向取两个微小长度的线段向取两个微小长度的线段PAdx和和PBdy。假。假定弹性体受力后，定弹性体受力后，P,A,B三点分别移动到三点分别移动到P,A,B.n线段线段PA的正应变是：的正应变是：xuudxuuxdxx注注:由于位移微小，由于位移微小，y方向的位移方向的位移v引起的引起的PA的伸缩，是高一阶微量，略去不计。的伸缩，是高一阶微量，略去不计。n线段线段PB的正应变是：的正应变是：yvyn线段线段PA与与 P
20、B之间的直角的改变，即切应变之间的直角的改变，即切应变n线段线段PA的转角的转角是是：tanvvdxvvxdxxn线段线段PB的转角的转角是：是：uyxyvuxy物理方程物理方程n在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系，在材料力学根据胡克定律导出如在理想的弹性体中，形变分量和应力分量之间的关系，在材料力学根据胡克定律导出如下：下：GGGEEExzxzxyxyyzyzyxzzzxyyzyxx）（）（）（1112(1)EGn在平面应力问题中，在平面应力问题中，式变为：式变为：1()xxyE2(1)xyxyxyGE1()yyxEn在平面应变问题中，在平面应变问题中，只要将上式中的只要将上式中
21、的E换为换为 ，换为换为 就得到平面应变问题的物理方就得到平面应变问题的物理方程。程。21E1xyxyxyyyxxEEE121122n假定已知任一点假定已知任一点P处坐标面上的应力分量处坐标面上的应力分量x，y，x y=y x。求经过该点的，平行于求经过该点的，平行于z轴而倾斜于轴而倾斜于x轴和轴和 y轴的任何倾斜面上轴的任何倾斜面上应力。应力。n在在P点附近取一个平面点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并经过，它平行于上述斜面，并经过P点划点划出一个微小的三棱柱出一个微小的三棱柱PAB。当。当AB无限小而趋于无限小而趋于P点时，平面点时，平面AB上的应力就成为斜面上的应力。上的应力就成为
22、斜面上的应力。平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态cos(,),cos(,)n xln ymxyxyxyyxmllmlmml)()(22222yyxxyxxfyfxpypnnn设斜面设斜面AB 的长度为的长度为ds，则，则PB面及面及PA面的长度分别为面的长度分别为 lds及及mds，而，而PAB的面积为的面积为 ldsmds/2，棱柱的厚度设为，棱柱的厚度设为1。n由由x轴平衡条件，得：轴平衡条件，得：02xxxyxldsmdsp dsldsmdsfn其中，其中，fx为体力分量。将上式除以为体力分量。将上式除以ds，并令，并令ds趋于趋于0（斜面（斜面AB趋于趋于P点），点），即
23、得：即得：xxxyplmn由由y轴平衡条件，得：轴平衡条件，得：n用用n表示斜面表示斜面AB的的外法线方向，其方向余弦为：外法线方向，其方向余弦为：nn边界条件边界条件q若在若在su部分部分边界上给定了约束位移分量边界上给定了约束位移分量 和和 ，则对于此边界上的每一点，位移函数，则对于此边界上的每一点，位移函数u和和v应满足应满足条件：条件：()u s()v s()()suu s()()svv sq其中其中（u）s 和和（v）s 是位移的边界值，是位移的边界值，和和 在边界上是坐标的已知函数。在边界上是坐标的已知函数。()u s()v sn边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关
24、系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。件和混合边界条件。q位移边界条件：位移边界条件：q应力边界条件：应力边界条件：q若在若在su部分部分边界上给定了面力边界上给定了面力 和和 ，则由平衡条件得出平面应力问题的应力，则由平衡条件得出平面应力问题的应力(或面力）边界条或面力）边界条件为：件为：()xfs()yfs()()xyxsxlmfs()()yxysymlfs其中，其中，l,m是边界面外法线的方向余弦。是边界面外法线的方向余弦。cos(,cos(,)n xln ym）(1 4)(1
25、 5)圣维南原理圣维南原理n在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须在求解弹性力学问题时，应力分量、形变分量和位移分量必须满足区域内的三套基本方程，还必须满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。满足边界上的边界条件。但是，要使边界条件得到完全满足，往往遇到很大的困难。n圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大方便。n圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢圣维南原理表明，如果把物体的一小部分边界上的面力，
26、变换为分布不同但静力等效的面力（主矢相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。以不计。圣维南原理的应用圣维南原理的应用n例，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相例，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力等而方向相反的拉力F（a）。如果把一端或两端的。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，则只有虚线划出的部分拉力变换为静力等效的力，则只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受影响是的应力分布有显著的改变，而其余部分所受
27、影响是可以不计的。可以不计的。n由于（由于（d）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把）图中，面力连续分布，边界条件简单，应力容易求得。其它三种情况，应力难以求得。把d情情况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处况下的应力解答应用到其它三个情况，虽不能满足两端的应力边界条件，但仍然可以表明离杆端较远处的应力状态，没有显著的误差。的应力状态，没有显著的误差。n图图e，构件右端有位移边界条件，构件右端有位移边界条件，d情况的解答，不能满足位移边界条件，但情况的解答，不能满足位移边界条件，但e图右图右端的面力，
28、一定是合成为经过截面形心的力端的面力，一定是合成为经过截面形心的力F。所以把图。所以把图d情况的解答应用于图情况的解答应用于图e时，仍然只是在靠近两时，仍然只是在靠近两端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。端处有显著的误差，而在离两端较远之处，误差可以不计。()0,()0ssuuvvyfxfxyxxxyxfyfNFMSF圣维南原理的应用圣维南原理的应用n例，厚度例，厚度=1的梁中，左右两端的梁中，左右两端x=l，的边界面是正、负，的边界面是正、负x面，其上作用有一般分布的面力面，其上作用有一般分布的面力 。按照严格的应力边界条件，应力分量在边界上满足：。按照严格的应力边界条件，应
29、力分量在边界上满足：n上式要求在边界上上式要求在边界上y值不同的各点，应力分量与对应的面力分量必须处处相等，这种严格的条件是较难值不同的各点，应力分量与对应的面力分量必须处处相等，这种严格的条件是较难满足的。满足的。n当当lh时，时，x=l 是梁的边界的一小部分，可以应用是梁的边界的一小部分，可以应用圣维南原理，利用静力等效条件来代替，即，使应圣维南原理，利用静力等效条件来代替，即，使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。力的主矢量和主矩分别等于对应的面力的主矢量和主矩。(),()xyfyfy()(),()()xxlxxyxlyfyfy 圣维南原理的应用圣维南原理的应用n应力的主
30、矢量和主矩的绝对值分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值；应力的主矢量和主矩的绝对值分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值；n面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向。面力的主矢量和主矩的方向就是应力的主矢量和主矩的方向。/2/2(),hxxlNhdyF/2/2()hxxlhdy yM，/2/2()hxyxlShdyFyfxfxyxxxyxfyfNFMSF/2/2/2/2()(),hhxxlxhhdyfy dy/2/2/2/2()(),hhxxlxhhdy yfy dy y/2/2/2/2()()hhxyxlyhhdyfy dy y。按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题n以上几节已经建
31、立了弹性力学平面问题的以上几节已经建立了弹性力学平面问题的 基本方程和边界条件，即：平衡微分方程、几何方程和基本方程和边界条件，即：平衡微分方程、几何方程和物理方程，以及位移的边界条件和应力的边界条件。物理方程，以及位移的边界条件和应力的边界条件。n求解弹性力学平面问题即求解求解弹性力学平面问题即求解3个应力分量、个应力分量、3个形变分量及个形变分量及2个位移分量的未知函数。通常采用类个位移分量的未知函数。通常采用类似于代数方程中消元法进行求解。似于代数方程中消元法进行求解。n按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。按位移求解的方法，称为位移法。它以位移分量为基本未知函数。n
32、按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。按应力求解的方法，称为应力法。它以应力分量为基本未知函数。按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题n平面问题中，取位移分量平面问题中，取位移分量u和和v为基本未知函数。为基本未知函数。n从方程中消去形变分量和应力分量：从方程中消去形变分量和应力分量：n将几何方程代入上式将几何方程代入上式22222211()0122yxxxxEuuvffxyxyx y,xyxyuvvuxyxyn利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：利用平衡微分方程和边界条件，导出用位移表示的平衡微分方程：xyxyxyyyxxEEE121122)(12
33、1122xvyuExuyvEyvxuExyyx按位移法求解平面问题按位移法求解平面问题n利用应力边界条件利用应力边界条件)(121122xvyuExuyvEyvxuExyyxn得到用位移表示的应力边界条件得到用位移表示的应力边界条件()()xyxsxlmfs()()yxysymlfs其中：其中：n位移边界条件如（位移边界条件如（1-4）不变）不变()(),()()ssuu svv s()u在S 上()在S 上n按位移法求解平面应力问题时，要使位移分量在区域内满足平衡微分方程，在边界上满足位移边界条件或应力按位移法求解平面应力问题时，要使位移分量在区域内满足平衡微分方程，在边界上满足位移边界条件
34、或应力边界条件。边界条件。)()(21)(1)()()(21)(1)(22SfxvyulxuyvmElmSfxvyumyvxulEmlySSSxyyxSSSxyx按位移法求解平面问题（例题）按位移法求解平面问题（例题）n设有如图所示的杆件，在设有如图所示的杆件，在y方向的上端为固定，而下端为自由，受自重体力方向的上端为固定，而下端为自由，受自重体力fx0，fyg的作用。试用位移法求解此问题。的作用。试用位移法求解此问题。n解：将这个问题简化为一维问题处理。解：将这个问题简化为一维问题处理。n设设u=0,v=v(y)，泊松比，泊松比0。代入位移表示的平衡微分方程，得：。代入位移表示的平衡微分方程
35、，得：n第一式自然满足，第二式成为：第一式自然满足，第二式成为：22d vgdyE 22222211()0122yxxxxEuuvffxyxyx y n解出：解出：22gvyAyBE g按位移法求解平面问题（例题）按位移法求解平面问题（例题）n设有左图所示的杆件，在设有左图所示的杆件，在y方向的上端为固定，方向的上端为固定，而下端为自由，受自重体力而下端为自由，受自重体力fx0，fyg的的作用。试用位移法求解此问题。作用。试用位移法求解此问题。)(12xuyvEyn解出：解出：2()2gvyAyBaE n上下边的边界条件分别要求：上下边的边界条件分别要求：0()0()yvb()0()yy hc
36、n将（将（a）式代入（）式代入（b）式得：）式得：B0，n再代入（再代入（c）式，即得：）式，即得：ghAEn得到解答：得到解答：)()2(22yhgyhyEgvy有限元单元法分析步骤（一）n结构离散化结构离散化q 将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化是有限元法分析的第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：限元法分析的第一步，关系到计算精度和效率，包括以下三个方面：n单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。单元类型的选择。选定单
37、元类型，确定单元形状、单元节点数、节点自由度数等。n单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。度后计算精度提高就不明显，对应应力变化平缓区域不必要细分网格。n节点编码节点编码。注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。用有限元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
38、成的离散物体。用有限元分析计算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。平面问题有限单元法基本概念平面问题有限单元法基本概念有限元单元法分析步骤（二）有限元单元法分析步骤（二）n单元特性分析单元特性分析q 选择未知量模式选择未知量模式n选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法；n选节点力作为基本未知量时，称为力法；选节点力作为基本未知量时，称为力法；n取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。q分析单元力学性质分析单元力学性质n根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点
39、力和节点位移关系式，根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。应用几何方程和物理方程建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。q计算等效节点力计算等效节点力n作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。代所有作用在单元上的力。有限元单元法分析步骤（三）n整体分析整体分析q集成整体节点载荷矢量集成整体节点载荷矢量 F。结构离散化后，单元之间通过节点传递力
40、，作用在单元边界上的表面。结构离散化后，单元之间通过节点传递力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体力、体积力或集中力都需要等效地移到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编码顺序组集成整体节点载荷矢量。节点编码顺序组集成整体节点载荷矢量。q组成整体刚度矩阵组成整体刚度矩阵K，得到总体平衡方程：，得到总体平衡方程：q引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合一分一合”
41、，分是为了进行单元分析，合是为了对，分是为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。整体的结构进行综合分析。KF有限单元法中基本量的矩阵表示有限单元法中基本量的矩阵表示n有限单元法有限单元法(FEM)中，为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于编制程序利用中，为了简洁清晰地表示各个基本量以及它们之间的关系，也为了便于编制程序利用计算机进行计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。计算机进行计算，广泛采用矩阵表示和矩阵运算。q平面问题中，物体受体力，可用体力列阵表示：平面问题中，物体受体力，可用体力列阵表示：(1)q物体受面力，可用面力列阵表示：物体受面力，可用面力列阵表示：(
42、2)q3个应力分量的应力列阵表示：个应力分量的应力列阵表示：(3)q3个形变分量的应变列阵表示：个形变分量的应变列阵表示：(4)q2个位移分量的位移列阵表示：个位移分量的位移列阵表示：(5)()xTxyyfffff()Txyxy()Txyxy()Tduv()xTxyyfffff弹性力学中基本方程的矩阵表示弹性力学中基本方程的矩阵表示q几何方程的矩阵表示为：几何方程的矩阵表示为：(6)q物理方程矩阵表示为：物理方程矩阵表示为：(7)q 利用应力列阵和应变列阵（利用应力列阵和应变列阵（3）、（）、（4）得：）得：(8)其中矩阵其中矩阵 (9)()()TTxyxyuvvuxyxy21010100(1
43、)/2xxyyxyxyED21010100(1)/2ED只与弹性常数只与弹性常数E及及有关，称为平面问题的弹性矩阵。有关，称为平面问题的弹性矩阵。虚位移原理虚位移原理n用用u*和和v*表示虚位移，用表示虚位移，用 表示与该虚位移相应的虚应变。表示与该虚位移相应的虚应变。n根据虚功方程：处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚根据虚功方程：处于平衡状态的变形体，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。功。n对于厚度为对于厚度为t的薄板，虚功方程可用矩阵表示为：的薄板，虚功方程可用矩阵表示为：*,xyxyn其中，其中，分别为体力列阵，面力列阵和应力列阵
44、。分别为体力列阵，面力列阵和应力列阵。*(11)Tdu v为虚位移列阵为虚位移列阵,f fn有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中力来代替。在厚度为有限单元法中，作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的等效集中力来代替。在厚度为t的薄板上，的薄板上，设作用于设作用于i点的集中力沿点的集中力沿x及及y方向的分量为方向的分量为Fix,Fiy,作用于作用于j点的力为点的力为Fjx,Fjy等。这些集中力以及它们相等。这些集中力以及它们相应的虚位移用列阵表示为：应的虚位移用列阵表示为：为虚应变列阵为虚应变列阵*,jyjFv*,jxjFu*,ixiF u*,iyiFv虚位移原理虚位
45、移原理(续续)n代入虚功方程，得：代入虚功方程，得：n 上式为集中力作用下的虚功方程。上式为集中力作用下的虚功方程。n集中力列阵集中力列阵 （13）(.)TixiyjxjyFFFFFn虚位移列阵虚位移列阵 （14）*(.)Tiijjuvuvn外力在虚位移上所做的功为：外力在虚位移上所做的功为：*()TixiiyijxjjyjF uF vF uF vF（1）取三角形单元的节点位移为基本未知量：）取三角形单元的节点位移为基本未知量：(a)其中，其中，称为单元的节点位移列阵；称为单元的节点位移列阵；（2）应用插值公式，由单元节点位移求出单元的位移函数：）应用插值公式，由单元节点位移求出单元的位移函数
46、：(b)其中，其中，N 称为形函数矩阵；称为形函数矩阵；（3）应用几何方程，由单元的节点位移求出单元的应变：）应用几何方程，由单元的节点位移求出单元的应变：(c)其中，其中，B是表示是表示 与与 之间关系的矩阵；之间关系的矩阵；三角形单元离散化结构分析步骤三角形单元离散化结构分析步骤()()eTijmTiijjmmuvuvuv(,)(,)eu x ydNv x yeeBe (f)其中，其中，Fe 是单元的节点力，是单元的节点力，k称为单元劲度列阵；称为单元劲度列阵；对三角形板单元，节点力为：对三角形板单元，节点力为：(e)（5）应用虚功方程，导出单元节点力与）应用虚功方程，导出单元节点力与节点
47、位移之间的关系。对右图中的节点位移之间的关系。对右图中的i节点：节点：节点对单元的作用力为节点力，节点对单元的作用力为节点力，作用于单元上。作用于单元上。三角形单元离散化结构分析步骤三角形单元离散化结构分析步骤(续）续）（4）应用物理方程，由单元的节点位移）应用物理方程，由单元的节点位移求出单元的应力：求出单元的应力：(d)其中，其中，S称为应力转换矩阵；称为应力转换矩阵；eeFkTTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFFeS()TiixiyFFF Fe是作用于单元的外力，此外，单元内部还作用有应力。根据虚功方程，从而得到节点力的公式：是作用于单元的外力，此外，单元内部还作用有应
48、力。根据虚功方程，从而得到节点力的公式：（7）列出各节点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。由于节点列出各节点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。由于节点i受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷受有环绕节点的单元移置而来的节点载荷 和节点力和节点力 因而因而i节点的平衡方程为：节点的平衡方程为：（i=1,2,n）(h)三角形单元离散化结构分析步骤三角形单元离散化结构分析步骤(续）续）（6）应用虚功方程，将单元中的外力载荷向节点移置，化为节点载荷（即求出单）应用虚功方程，将单元中的外力载荷向节点移置，化为节点载荷（即求出单元的节点载荷）：元的节点载荷）：(g)()eTLLiLjLmFFFFiL
49、ieeFF()TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFF()TLiLixLiyFFF()TiixiyFFF 将（将（f）代入（）代入（h），整理得：），整理得：（j)其中，其中，K称为整体刚度矩阵，称为整体刚度矩阵，FL是整体节点载荷列阵，是整体节点载荷列阵，是整体节点位移列阵。是整体节点位移列阵。LKF 在上述求解步骤中，（在上述求解步骤中，（2）至（）至（6）是针对每个单元进行的，称为单元分析；）是针对每个单元进行的，称为单元分析；（7）是针对整个结构进行的称为整体分析。）是针对整个结构进行的称为整体分析。n对三角形对三角形i,j,m三个节点，位移函数应当等于该节点的位移值，即：三
50、个节点，位移函数应当等于该节点的位移值，即：三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式n对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应变，再应用物理方程求得应对每个单元，只要求得单元中的位移函数，就可以应用几何方程求得应变，再应用物理方程求得应力。有限单元法中常取节点位移为基本未知量，由单元的节点位移求出单元中的位移函数是首先必力。有限单元法中常取节点位移为基本未知量，由单元的节点位移求出单元中的位移函数是首先必须解决的问题。须解决的问题。n可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元中做出位移插值函数）。三角形单元可以假定一个位移模式，来表示单元中的位移函数（即在单元
