1、出版社 理工分社材料力学页第第1313章章 超静定结构超静定结构出版社 理工分社材料力学页 13.1压杆稳定的概念13.1.1超静定结构的概念例如如图13.1（a）所示的曲杆，固定端A处有3个约束力，而独立的静力学平衡方程有3个，故仅用静力学平衡方程就能解出这3个约束力，此曲杆为静定结构。由于某些特定的工程需要，例如，提高其强度或刚度，在B处增加了一个铰支座，如图13.1（b）所示，现在有4个约束力，平衡方程仍然是3个，这样就多出了一个多余约束、约束力，是超静定结构 图13.1出版社 理工分社材料力学页13.1.2超静定问题分类与超静定次数的判定例如图13.1（b）中的弯梁，由于在B点有多余外
2、部约束力，因而是外力超静定结构。例如图13.2（c）中的框架结构，结构整体并没有多余的外部约束力，但结构内部的支撑杆EF带来多余的内部约束力，因此为内力超静定结构。如在结构外部和内部均存有多余的约束力，即约束力和内力均是超静定的，称为外力与内力超静定结构，也称为联合超静定结构，如图13.2（g）所示。1）外力超静定次数的判定：根据约束性质确定约束反力的个数，根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数，二者的差即为结构的超静定次数。例如，图13.1（b）与图13.3分别为一次和二次外力超静定结构。2）内力超静定次数的判定：判断结构内力超静定次数，需要用截面法将超静定结构截开，使其成为静定结构，
3、截面上的未知内力数目即超静定次数。出版社 理工分社材料力学页 图13.2出版社 理工分社材料力学页例如，如图13.2（a）所示的静定刚架，A，B处的3个约束力可通过静力学平衡方程求出。这样，任一截面（例如图13.2（b）中所示的C截面）的3个内力也完全可以通过静力学平衡方程求出。现增加一个二力杆EF，如图13.2（c）中所示，此时D截面又出现一个内力（见图13.2（d），总共4个内力，但平衡方程仍然是3个，这样有一个内力不能由静力学平衡方程解出，因而为一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封闭刚架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f），其中有3个内力不能由静力
4、学平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。出版社 理工分社材料力学页出版社 理工分社材料力学页出版社 理工分社材料力学页 图13.6然后以未知约束力X1（不能由静力学平衡方程求出的）替代被解除支座的作用，再加上原来的外力F，得到如图13.6（c）所示结构，称为原结构的相当结构。之所以称为相当结构，是要求该结构的变形与原结构的变形完全相同，截面B的铅垂位移1为零，即出版社 理工分社材料力学页式（a）
5、即为该超静定问题的变形协调条件。应用叠加原理，1可视为F单独作用引起的位移1F(见图13.6（d）)与X1独作用引起的位移1X1(见图13.6（e）)的叠加，即式（b）即为该超静定问题的补充方程。根据莫尔定理，欲求1X1，可在基本结构的B处沿铅垂方向施加单位力F=1，如图13.6（f）所示。由于变形与力呈线性关系，若单位力引起的位移用11表示（见图13.6（f）那么有将式(c)代入式补充方程(b)中，得到式中X1约束力；11单位力F=1引起B处的铅垂位移；出版社 理工分社材料力学页1F原外力F引起B的铅垂位移。式(13.1)称为力法正则方程，是一次超静定问题补充方程的一般形式。例13.1如图1
6、3.7（a）所示，梁的EI为常数，试求B端的支座反力。图13.7出版社 理工分社材料力学页解首先根据前述超静定次数判别方法，系统为一次外力超静定问题。可把B支座作为多余约束，悬臂梁AB为静定基（见图13.7（b）。在静定基上施加被解除约束B处的多余反力X1可得相当系统，如图13.7（c）所示。显然，变形协调条件为B点处挠度为零。利用弯曲变形叠加原理，B点的挠度为 依据式（13.1），力法正则方程为应用单位荷载法及莫尔积分求解1F及11。施加单位荷载后，图13.7（b）与图13.7（d）中的弯矩方程分别为依据莫尔积分表达式（12.33），可得出版社 理工分社材料力学页同理，图13.7(e)与图1
7、3.7(f)中的弯矩方程分别为同样采用莫尔积分可得将1F与11代入正则方程得从而解得X1=38ql综上所述，力法分析超静定结构的要点如下：判定超静定次数，解除超静定结构的多余约束，并以相应的约束力X1,X2,X3,代替其作用，得到一个几何不变的静定结构，即原结构的“相当结构”。原结构已经变成静定结构，其变形与原结构相同，即在多余约束处满足“变形几何条件”，建立力法正则方程。出版社 理工分社材料力学页解补充方程求出多余约束力。在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形。例13.2计算如图13.8（a）所示边长为l的正方形桁架各杆中5杆的内力（设各杆的横截面面积相等均为A且材料相同）。解图示桁架结构
8、仅内部有一个多余约束，故此桁架属于一次内力超静定。以bd杆为多余约束，假想在d点处将杆切开，并以多余约束力X1及X1代替，相当系统如图13.8（b）所示。由于d点实际为ad，cd及bd三杆铰接点，所以d点处相对位移应等于零，则依据此变形协调条件可列出补充方程，即其中，1P表示d点两侧截面因载荷作用而引起的沿X1及X1方向的相对位移，1X1表示因多余约束力X1及X1引起的沿X1及X1方向的相对位移。依据式（13.1），正则方程为出版社 理工分社材料力学页表示由单位力引起的沿X1及X1方向的相对位移。图13.8应用单位荷载法及莫尔积分求解1P及11。由求出静定基在P力作用下及单位荷载作用下(见图1
9、3.8(c)及图13.8(d)各杆的内力,分别为将以上结果代入莫尔积分式（12.34）中，可得 图13.8将以上结果代入正则方程，得出版社 理工分社材料力学页X1为负值，表示它与所设方向相反，即bd杆受压。13.2.3二次超静定结构的力法正则方程对于有两个多余约束反力的超静定系统，例如，将如图13.6（a）所示结构的B处改为固定铰支座，如图13.9（a）所示，则为二次超静定结构，其相当结构如图13.9（b）所示，截面B的铅垂与水平位移均为零，即 图13.9出版社 理工分社材料力学页现在只分析1，应用叠加原理可知式中，1F，1X1，1 X2 分别是F，X1，X2单独作用引起B的铅垂位移（见图13
10、.9（c）、（d）、（e）。为求这3个位移，可在B处加铅垂单位力F1=1（见图13.9（f）和水平单位力F2=1（见图13.9（g）。单位力F1、引起B的铅垂方向位移分别用11和12表示，则代入式（d）中，得同理可得以上二式为二次超静定时的正则方程，合并记为出版社 理工分社材料力学页二次超静定结构的力法正则方程可写成矩阵形式，即例13.3试求如图13.10（a）所示刚架的全部约束反力，刚架EI为常数。图13.10解刚架有两个多余约束，为二次超静定结构。出版社 理工分社材料力学页选取并去除多余约束，代以多余约束反力。在此解除A端固定铰链约束，用X1与X2替代，得到如图13.10（b）所示相当结构
11、。根据式（13.2）列出正则方程为用莫尔定理求计算系数ij和自由项iF，图13.11（a）、（b）、（c）各图中的弯矩方程分别为AC段CB段则依据莫尔积分表达式（12.33），可得出版社 理工分社材料力学页将上述结果代入力法正则方程可得出版社 理工分社材料力学页联立求解得 图13.11 图13.12式中负号表示X1，X2与假设的方向相反，即X1应该向下，X2应该向右。出版社 理工分社材料力学页13.2.4n次超静定结构力法正则方程将式（13.2）推广到n次超静定结构，得到力法正则方程的一般表达式n次超静定结构的力法正则方程也可写成矩阵形式为单位力引起的位移矩阵（系数矩阵），由位移互等定理ij=
12、ji可知是一对称矩阵；X1X2XnT为未知力向量；1F2FnFT为载荷引起的位移向量。式（13.3）为一线性方程组，可用计算机求解。出版社 理工分社材料力学页 13.3*对称及反对称性质的利用当对称结构受对称载荷作用时，则此结构将产生对称变形（见图13.13（b）。如受反称载荷作用时，则结构将产生反对称变形（见图13.13（c）。图13.13对称结构的对称变形与反对称变形图13.14对称结构的对称变形现以如图13.14（a）所示的对称变形为例证明载荷对称的性质。此结构为3次外力超静定结构，切开结构对称截面，其上应有3个多余未知力，即轴力X1，弯矩X2与剪力X3，如图13.14（b）所示。变形协
13、调条件是，上述切开截面两侧水出版社 理工分社材料力学页平相对位移、垂直相对位移和相对转角都等于零。这3个条件写成正则方程为 图13.14采用图乘法计算 ij 及 iP(i=1,2,3)。基本结构在外载荷单独作用下弯矩图MP以及X1=1，X2=1，X3=1时的弯矩图分别如图13.14（c）、（d）、（e出版社 理工分社材料力学页）、（f）所示，其中MP，M1，M2均对称于对称轴，而M3反对称于对称轴。由莫尔积分可知对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即于是正则方程化为若330，则必有X3=0。可见，当对称结构上受对称载荷作用时，在对称截面上，反对称内力等于零 图13.15出版社 理工分社材
14、料力学页以图13.13（c）的反对称变形为例，仍在对称面将结构切开，其多余未知力也是 X1，X2与 X3，如图13.15(a)所示。这时正则方程仍为式（a）。同上类似证明，但外载荷单独作用下弯矩图 MP是反对称的，如图13.15(b)所示。而M1，M2和M3仍如图13.14（d）、（e）、（f）所示。即有此处和前面一样于是正则方程化为前面两式成为X1和X2的齐次方程组，显然有X1=X2=0。所以在对称结构上作用反对称载荷时，在对称截面上，对称内力X1和X2（即轴力和弯矩）都等于零，正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程。出版社 理工分社材料力学页有些载荷既不是对称的，
15、也不是反对称的，但可将它们化为对称和反对称的两种载荷的叠加。如图13.16和图13.17所示。分别求出对称和反对称两种情况下的解，叠加后即为原载荷作用下的解。图13.16 图13.17例13.4半径为 R 的等截面圆环，直径CD方向受一对力 P，如图13.18（a）所示，求圆环内弯矩M。解封闭圆环为3次超静定。在A处截开，则有3个多余未知力，弯矩 X1，轴力 X2，剪力 X3（图13.18（b）。直径AB为一对称轴，对称截面A出版社 理工分社材料力学页 图13.18上剪力 X3应为零，对称截面B上弯矩和轴力与截面A上相等。由竖直方向力的平衡可得 X2=P/2。故只有弯矩X1未知（见图13.18
16、（c）。选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图13.18(c)所示，则协调条件应是A或B截面在 P及弯矩X1作用下转角 应为零（由对称性可知），所以有静定基上施加外力P（见图13.18(d)）及单位力偶（见图13.18（e），用莫尔法求11与1P。外力引起弯矩出版社 理工分社材料力学页单位力偶引起弯矩根据对称性，可只取1/4圆环进行计算，故采用莫尔积分式（12.33），可得将11，1P代入式（a）解得圆环内横截面弯矩M为出版社 理工分社材料力学页13.4*连续梁及三弯矩方程13.4.1连续梁及其静不定次数 图13.19为了便于研究连续梁，对连续梁今后采用下述记号：从左到右把支座依次编号为0，1
17、，2，（见图13.19（a），把跨度依次编号为l1，l2，l3，13.4.2三弯矩方程连续梁是超静定结构，求解连续梁时，静定系统可有多种选择。如采取解除中间支座得到静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上出版社 理工分社材料力学页的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常烦琐。如果设想将每个中间支座上的梁切开（见图13.19（b），并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩M1，M2，Mi，Mn+1作为多余约束力（见图13.19（b），则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方
18、向相反的一对力偶矩，与其相应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面的相对转角为零。如对中间任一支座n来说，其变形协调条件为（见图13.20（a）方程（13.4）中只涉及3个未知量Mn1，Mn，Mn+1。n,n1，nn，n,n+1 及nP 可用莫尔积分来求。(1）求nP 出版社 理工分社材料力学页静定基上只作用外载荷时（见图13.20（b），跨度ln上弯矩图为MnP，跨度ln+1上弯矩图为 M(n+1)P（见图13.20（c）。当 Mn=1时（见图13.20（e），跨度ln和ln+1内弯矩分别为由莫尔积分得式中MnPdxn=dn是外载单独作用下，跨度ln内
19、弯矩图的微面积（见图13.20（c），而 是弯矩图面积n对ln左侧的静矩，如以an表示跨度ln内弯矩图面积的形心到左端的距离，则 。同理bn+1表示外载荷单独作用下，跨度ln+1内弯矩图面积n+1的形心到右端的距离，则 。于是有出版社 理工分社材料力学页式中第一项可看成是跨度ln右端按逆时针方向的转角，第二项看成是跨度ln+1左端按顺时针方向的转角。两项和就是铰链n两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。（2）n(n1)，nn，n(n+1)的计算当n支座铰链处作用有Mn=1时，其弯矩图如图13.20（e）所示，用莫尔积分有 图13.20而 也可类似求得（利用图13.20（d）出版社 理工分社材料
20、力学页与（e）以及（f）与（e）（3）三弯矩方程将 ，nP代入式（13.4）得这就是三弯矩方程。其中n代表任一支座，如n=1,2,m，则可得到m个方程联立，解m个中间支座多余力M1，M2，,Mm，此m个联立方程中每个方程只涉及3个多余力，求解比较方便。例13.5左端为固定端，右端为自由端的连续梁受力P 作用，如图13.21（a）所示，其抗弯刚度为EI，试用三弯矩方程求解B，C，D处的弯矩。解为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度为无限小（l0）的简支梁AB，而外伸端的载荷可向支座D简化，得一力P与弯矩Pl，原结构（见图13.21出版社 理工分社材料力学页（a）变化为图13.21（b）。将A，B，C，D四处支座处分别用0，1，2，3表示，则对1，2两支座应用三弯矩方程式（13.5），并将l1=l=0，l2=l3=l，M0=0，M3=Pl代入得则解得 图13.21
