1、11 电场线和电通量电场线和电通量 知识回顾知识回顾SqsE0d内2 高斯定理高斯定理sESed 约定：约定：闭合曲面闭合曲面以向外为曲面法线的正方向。以向外为曲面法线的正方向。是总场强，它由是总场强，它由q内内 和和 q外外共同决定；共同决定；E高斯定律适用于静电场和变化的电场；高斯定律适用于静电场和变化的电场；应用高斯定理求球体场强的应用高斯定理求球体场强的要点：要点：方法要点：方法要点：（1）分析）分析 的对称性；的对称性；E（2）选取高斯面的原则：）选取高斯面的原则：1）需通过待求）需通过待求 的区域；的区域；E2）在）在 S 上待求上待求 处，处，EsEd且等大，且等大，使得使得 ，
2、sEsEddSqsE0d内例例2已知：已知：无限长均匀带电直线，无限长均匀带电直线，求：求：E的分布的分布解：解：分析分析 的对称性：的对称性：ErerEE)(无无限限长长轴轴对对称称 选同轴柱体表面为高斯面选同轴柱体表面为高斯面S，3d00SsE线电荷密度为线电荷密度为 。SsEd 1dSsErlE 2 r ErS1S3S2 l E 2dSsE 3dSsErS1S3S2 lrlEsES 2d 0 l（高）（高）rerE02 讨论讨论 1）E 的分布：的分布：，Er0 说明此时带电直线不能说明此时带电直线不能2）所求出的）所求出的 是仅由是仅由ErE0rE1 视为几何线。视为几何线。q内内=l
3、 产生的吗？产生的吗？0 应用高斯定理求场强的要点：应用高斯定理求场强的要点：适用对象：适用对象：有球、柱、平面对称的有球、柱、平面对称的某些某些电荷分布。电荷分布。方法要点：方法要点：（1）分析）分析 的对称性；的对称性；E（2）选取高斯面的原则：）选取高斯面的原则：1）需通过待求）需通过待求 的区域；的区域；E2）在）在 S 上待求上待求 处，处，EsEd且等大，且等大，使得使得 ，sEsEdd 。或或，或或 sEEsEd00d其余处必须有其余处必须有SqsE0d内3）求场强分布（任一点场强）时，分区求场强分布（任一点场强）时，分区域讨论。域讨论。N个带电表面分为个带电表面分为 N+1区域
4、。区域。7填补法求场强填补法求场强适应于下列场源带电体：适应于下列场源带电体：1、均匀带电球体中偏心地挖掉一个小球体。、均匀带电球体中偏心地挖掉一个小球体。此时，电场中任意一点的场强此时，电场中任意一点的场强PPPEEE 大大小小2、均匀带电柱体中偏轴地挖掉一个小柱体。、均匀带电柱体中偏轴地挖掉一个小柱体。此时，电场中任意一点的场强此时，电场中任意一点的场强PPPEEE 大大小小8第三章第三章 电势电势（Electric Potential）本章研究电场力作功的性质，本章研究电场力作功的性质，给出静电场给出静电场的的环路定理，环路定理，揭示静电场揭示静电场有势性，有势性，静电场的静电场的能量。
5、能量。进而研究进而研究功能的问题始终是物理学所关注的问题。功能的问题始终是物理学所关注的问题。9.8 静电场的环路定理静电场的环路定理 9.9 电势差、电势电势差、电势 9.10 电势叠加原理电势叠加原理9.11 电势梯度电势梯度 9.12 点电荷在外电场中的电势能点电荷在外电场中的电势能9.13 电荷系的静电能电荷系的静电能本章目录本章目录9.14静电场的能量静电场的能量附：真空中静电场小结提纲附：真空中静电场小结提纲103.8 静电场的环路定理静电场的环路定理 一一.静电力作功的特点静电力作功的特点移动移动 实验点电荷实验点电荷qo，lEqAPPd)()(01221 (L)(L)()021
6、dPPlEq（就要研究就要研究电场力作功：电场力作功：(L)()21dPPlE（的特点：的特点：要搞清静电力作功的规律，要搞清静电力作功的规律，（circuital theorem of electrostatic field）dlq0P1P2EL11 对对点电荷：点电荷：)11(4210rrq 只与只与P1、P2位置有关，位置有关，rldd r1r2 P1P2q0dlErq(L)(L)()(20)()(21214ddPPrPPrleqlE 21204drrrrq 而与而与L无关。无关。12 对点电荷系：对点电荷系：iPPilE)()(21d(L)11(4210iiiirrq lEPPiid)
7、()()(21 (L)(L)()(21dPPlE只与只与P1、P2位置有关，位置有关，P1P2q0dlEiriqiq2q1ri1ri 2而与而与L无关。无关。13 对任意电荷系：对任意电荷系：也应与也应与L无关。无关。)()(21dPPlE(L)二二.环路定理环路定理（circuital theorem）)()()()(2121ddPPPPlElE(L1)(L2)()(12dPPlE(L2)LlE0d 静电场的环路定理静电场的环路定理 LlEd称为静电场的称为静电场的“环流环流”（circulation）。）。L1L2P2P1 14 静电场的环路定理说明静电场的环路定理说明静电场为保守场，静电
8、场为保守场，思考思考 电场线平行但不均匀分布是否可能？电场线平行但不均匀分布是否可能？E静电场的静电场的线？线？静电场的电场线不能闭合。静电场的电场线不能闭合。15 3.9 电势差电势差 电势电势一一.电势差电势差（electric potential difference）定义定义P1对对P2的的电势差：电势差：)()(1221dPPlE 12为移动单位正电荷由为移动单位正电荷由P1P2电场力作的功。电场力作的功。与与路路径径无无关关，由由 )()(21dPPlE可引入电势差的概念。可引入电势差的概念。16二二.电势电势（electric potential）P1处电势为：处电势为：lEPP
9、d)()(10101 设设P0为电势参考点，即为电势参考点，即 0=0，)()(1221dPPlE 这说明这说明 P0点的不同选择，不影响电势差。点的不同选择，不影响电势差。则任一点则任一点 )()()()(210102ddPPPPlElE 17P0选择有任意性，选择有任意性，习惯上习惯上如下选取电势零点。如下选取电势零点。理论中：理论中：对有限电荷分布，选对有限电荷分布，选 =0。对无限大电荷分布，选有限区域中对无限大电荷分布，选有限区域中实际中：实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。选大地或机壳、公共线为电势零点。的某的某适当点适当点为电势零点。为电势零点。1）点电荷）点电荷0140 ，
10、rrq利用电势定义可以求得如下结果：利用电势定义可以求得如下结果：r0q 0182）均匀带电球壳）均匀带电球壳 （壳壳外外）（壳壳内内）4 400rqRq 3）无限长均匀带电直线）无限长均匀带电直线，ln200rr 0Rrq 0 qR rr00 0r0 0 00 r 191、当电势零点、当电势零点c在外，场点在外，场点P在内时在内时解题技巧：解题技巧：当场源带电体是当场源带电体是球状球状带电体和带电体和柱状柱状带带电体时，无论电势零点取在什么位置，电体时，无论电势零点取在什么位置，积分路径都应沿径向向外。此时，积分路径都应沿径向向外。此时，电势零点PPrdE2、当电势零点、当电势零点c在内，场
11、点在内，场点P在外时在外时PPrdE电势零点rdl d20例例1 1（）一半径为（）一半径为R的带电球体，其电的带电球体，其电 荷体密度分布为荷体密度分布为（A为一正的常数）为一正的常数）4RAr0)(Rr)(Rr 在此球外再罩一半径为在此球外再罩一半径为R1电量为电量为Q Q的球面的球面试求试求（1 1）带电球体的总电量）带电球体的总电量 （2 2）球内、外各点的电场强度）球内、外各点的电场强度 （3 3）球内、外各点的电势）球内、外各点的电势21解解:（1 1）带电球体的总电量（自己完成）带电球体的总电量（自己完成）结果结果:Aq球总（2 2）球内、外各点的电场强度（课后自）球内、外各点的
12、电场强度（课后自 己完成）己完成）结果结果:21404ArER ()rR 方向沿径向向外方向沿径向向外2204AEr 1()RrR 方向沿径向向外方向沿径向向外223204AQEr 1()rR 方向沿径向向外方向沿径向向外（3 3）球内、外各点的电势）球内、外各点的电势求各点电势（电势分布）时，要分求各点电势（电势分布）时，要分区域讨论，分区方式与场强相同。区域讨论，分区方式与场强相同。如无特殊说明，对球状如无特殊说明，对球状带电体产生的电场，选带电体产生的电场，选取取无穷远处无穷远处为电势零点。为电势零点。注意：注意：电势零点位置选择：电势零点位置选择：即：令即：令023 电场中任一点的电势
13、电场中任一点的电势oR1R1P2P3P球内球内)(Rr 11cosPPdrERrdrE112RRdrE13RdrEPPdrEcos)(41)(12103340RQRArRRA24壳外壳外)(1Rr 33cosPPdrErdrE3 代入（代入（2 2）中所得到的）中所得到的1E2E3E的具体表达式，进行积分，即可得到球的具体表达式，进行积分，即可得到球内外各点的电势（电势分布）。内外各点的电势（电势分布）。球外壳内球外壳内)(1RrR22cosPPdrE12RrdrE13RdrE)(4110RQrArQA0425例例2 2（11971197）一半径为一半径为R的的“无限长无限长”圆柱形带圆柱形带
14、 电体，其电荷体密度为电体，其电荷体密度为 式中式中A为常数。在此圆柱体外再罩一半为常数。在此圆柱体外再罩一半 径为径为R1、线电荷密度为、线电荷密度为 的的“无限长无限长”圆圆 筒，试求：筒，试求：Ar )(Rr （1 1）圆柱体内、外各点的电场强度分布）圆柱体内、外各点的电场强度分布 （2 2）选距离轴线的距离为）选距离轴线的距离为 处为电势零点，计算圆柱体内、处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。外各点的电势分布。（3 3）柱表面与柱壳之间的电势差。）柱表面与柱壳之间的电势差。l)(Rl e 261Ro,oRR1R1P2P3P3P2P1Pl27（1 1）圆柱体内、外各点的电场强度
15、分布（课）圆柱体内、外各点的电场强度分布（课 后自己完成）后自己完成）结果结果:0213ArE)(Rr 方向沿径向向外方向沿径向向外rARE0323)(1RrR方向沿径向向外方向沿径向向外rAREe033632)(1Rr 方向沿径向向外方向沿径向向外28（2 2）选距离轴线的距离为）选距离轴线的距离为 处为电势处为电势 零点，计算圆柱体内、外各点的电势分零点，计算圆柱体内、外各点的电势分 布。布。l)(Rl 注意：注意：求各点电势（电势分布）时，要分求各点电势（电势分布）时，要分区域讨论，分区方式与场强相同。区域讨论，分区方式与场强相同。电势零点位置选择：电势零点位置选择：对对 “无限长无限长
16、”柱状带电柱状带电体产生的电场，体产生的电场，绝对不绝对不能选无穷远处为电势零能选无穷远处为电势零点，点，只能选其它任一点只能选其它任一点为电势零点。为电势零点。29本题令本题令 电场中任一点的电势电场中任一点的电势PPdrE电势零点cos柱体内柱体内()rR 电势零点11cosPPdrERrdrE1lRdrE2柱外筒内柱外筒内1()RrR 电势零点22cosPPdrElrdrE2PPdrEcos0l30筒外筒外)(1Rr 33cosPPdrE电势零点12(RldrE)13rRdrE 代入（代入（1 1）中所得到的）中所得到的1E2E3E的具体表达式，进行积分，即可得到球内的具体表达式，进行积
17、分，即可得到球内外各点的电势（电势分布）。外各点的电势（电势分布）。（3 3）柱表面与柱壳之间的电势差。）柱表面与柱壳之间的电势差。1RrRr12RRdrERRAR103ln331作业：作业：P87 3.2 3.3 P88 3.6 3.7 3.9静电场力的功静电场力的功 电势能差电势能差 电势差电势差电势电势 电势零点选择方法电势零点选择方法课后重点复习课后重点复习一、定义一、定义二、公式二、公式静电场力的功静电场力的功=电势能差电势能差 电势差电势差公式公式 电势公式电势公式三、解题方法三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法；求场强时的填补法，叠加法；求电势的方法，电势差的方法求电势的方法，
18、电势差的方法32知识回顾2 电势定义电势定义 LlE0d1 静电场的环路定理静电场的环路定理lEPPd)()(10101注意：注意：（1）电势零点电势零点P0的选取的选取:在在有限空间电荷分布，选有限空间电荷分布，选 =0。33在无限大空间电荷分布，选有限区域中在无限大空间电荷分布，选有限区域中的某的某适当点适当点为电势零点。为电势零点。(2)积分路径积分路径对对球状球状带电体和带电体和柱状柱状带电体，积分路带电体，积分路径径沿径向向外沿径向向外;分段积分分段积分a 当当P0在外场点在外场点P在内时在内时,b 当当P0在内场点在内场点P在外时在外时,电势零点PPrdEPPrdE电势零点34例例
19、1 1（）一半径为（）一半径为R的带电球体，其电的带电球体，其电 荷体密度分布为荷体密度分布为（A为一正的常数）为一正的常数）4RAr0)(Rr)(Rr 在此球外再罩一半径为在此球外再罩一半径为R1电量为电量为Q Q的球面的球面试求试求（1 1）带电球体的总电量）带电球体的总电量 （2 2）球内、外各点的电场强度）球内、外各点的电场强度 （3 3）球内、外各点的电势）球内、外各点的电势35解解:（1 1）带电球体的总电量（自己完成）带电球体的总电量（自己完成）结果结果:Aq球总（2 2）球内、外各点的电场强度（课后自）球内、外各点的电场强度（课后自 己完成）己完成）结果结果:21404ArER
20、 ()rR 方向沿径向向外方向沿径向向外2204AEr 1()RrR 方向沿径向向外方向沿径向向外363204AQEr 1()rR 方向沿径向向外方向沿径向向外（3 3）球内、外各点的电势）球内、外各点的电势求各点电势（电势分布）时，要分求各点电势（电势分布）时，要分区域讨论，分区方式与场强相同。区域讨论，分区方式与场强相同。如无特殊说明，对球状如无特殊说明，对球状带电体产生的电场，选带电体产生的电场，选取取无穷远处无穷远处为电势零点。为电势零点。注意：注意：电势零点位置选择：电势零点位置选择：即：令即：令037 电场中任一点的电势电场中任一点的电势oR1R1P2P3P球内球内)(Rr 11c
21、osPPdrERrdrE112RRdrE13RdrEPPdrEcos)(41)(12103340RQRArRRA38壳外壳外)(1Rr 33cosPPdrErdrE3 代入（代入（2 2）中所得到的）中所得到的1E2E3E的具体表达式，进行积分，即可得到球的具体表达式，进行积分，即可得到球内外各点的电势（电势分布）。内外各点的电势（电势分布）。球外壳内球外壳内)(1RrR22cosPPdrE12RrdrE13RdrE)(4110RQrArQA0439例例2 2（11971197）一半径为一半径为R的的“无限长无限长”圆柱形带圆柱形带 电体，其电荷体密度为电体，其电荷体密度为 式中式中A为常数。
22、在此圆柱体外再罩一半为常数。在此圆柱体外再罩一半 径为径为R1、线电荷密度为、线电荷密度为 的的“无限长无限长”圆圆 筒，试求：筒，试求：Ar )(Rr （1 1）圆柱体内、外各点的电场强度分布）圆柱体内、外各点的电场强度分布 （2 2）选距离轴线的距离为）选距离轴线的距离为 处为电势零点，计算圆柱体内、处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布。外各点的电势分布。（3 3）柱表面与柱壳之间的电势差。）柱表面与柱壳之间的电势差。l)(Rl e 401Ro,oRR1R1P2P3P3P2P1Pl41（1 1）圆柱体内、外各点的电场强度分布（课）圆柱体内、外各点的电场强度分布（课 后自己完成）后自
23、己完成）结果结果:0213ArE)(Rr 方向沿径向向外方向沿径向向外rARE0323)(1RrR方向沿径向向外方向沿径向向外rAREe033632)(1Rr 方向沿径向向外方向沿径向向外42（2 2）选距离轴线的距离为）选距离轴线的距离为 处为电势处为电势 零点，计算圆柱体内、外各点的电势分零点，计算圆柱体内、外各点的电势分 布。布。l)(Rl 注意：注意：求各点电势（电势分布）时，要分求各点电势（电势分布）时，要分区域讨论，分区方式与场强相同。区域讨论，分区方式与场强相同。电势零点位置选择：电势零点位置选择：对对 “无限长无限长”柱状带电柱状带电体产生的电场，体产生的电场，绝对不绝对不能选
24、无穷远处为电势零能选无穷远处为电势零点，点，只能选其它任一点只能选其它任一点为电势零点。为电势零点。43本题令本题令 电场中任一点的电势电场中任一点的电势PPdrE电势零点cos柱体内柱体内()rR 电势零点11cosPPdrERrdrE1lRdrE2柱外筒内柱外筒内1()RrR 电势零点22cosPPdrElrdrE2PPdrEcos0l44筒外筒外)(1Rr 33cosPPdrE电势零点12(RldrE)13rRdrE 代入（代入（1 1）中所得到的）中所得到的1E2E3E的具体表达式，进行积分，即可得到球内的具体表达式，进行积分，即可得到球内外各点的电势（电势分布）。外各点的电势（电势分
25、布）。（3 3）柱表面与柱壳之间的电势差。）柱表面与柱壳之间的电势差。1RrRr12RRdrERRAR103ln345 9.10 电势叠加原电势叠加原理理(principle of superposition of electric potential)，及及 )()(0dPPiiEElE 由由 得：得：lEPPiid)()()(0 注意：注意：电势零点电势零点P0必须是共同的。必须是共同的。对点电荷系：对点电荷系：040 ，iirq 对连续电荷分布：对连续电荷分布：04d0 ，qrqlEiPPid)()(0 ii 462上述公式只适应于电势零点取在无穷远的上述公式只适应于电势零点取在无穷远的
26、情况，因此，情况，因此，场源带电体不能是无限大。场源带电体不能是无限大。1 电势是标量，上式可电势是标量，上式可直接积分，直接积分，电电势迭加比电场迭加要简便。势迭加比电场迭加要简便。注：注：47教材教材P69 70 例例3.3 给出了电偶极子电势：给出了电偶极子电势：204cosrp r Pp re204repr 21r 对比，点电荷的电势对比，点电荷的电势r1 48例例1 计算均匀带电圆环轴线上任意一点的电势。计算均匀带电圆环轴线上任意一点的电势。带电总量带电总量=，半径，半径=R，场点到环心距离，场点到环心距离=qxxxoPR49结果结果22041Rxq)0(U例例2 2 一考虑宽度的带
27、电圆环状平板，如果一考虑宽度的带电圆环状平板，如果 我们限于考虑离板的距离比板的厚度我们限于考虑离板的距离比板的厚度 大得多的地方，则该带电板就可以看大得多的地方，则该带电板就可以看 作一个带电平面，设：带电平面面电作一个带电平面，设：带电平面面电 荷密度为荷密度为，圆环的内、外径分别为，圆环的内、外径分别为 R1和和R2，求圆环轴线上任一点的电势，求圆环轴线上任一点的电势 （U分布）分布）50 xxO1R2RrdrrP带电圆环在带电圆环在P点产生的电势点产生的电势212202RPRrdrUxr 2222210()2xRxR )0(Up51推论推论带电圆盘在带电圆盘在P点产生的电势点产生的电势
28、10R 2RR 220()2PUxRx )0(Up52场强与电势的微分关系：场强与电势的微分关系：dd lE dd lEl 的的方向导数方向导数lEl nEn nneEE 9.11 电势梯度电势梯度（electric potential gradient）+d El El dl等等势势面面 +d ne（指向（指向 方向）方向）Enen 53 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大数学上，若某一标量函数对某一方向有最大电势梯度：电势梯度：nen grad gradE在直角坐标中：在直角坐标中：gradzkyjxi zkyjxi 则定义此方向上的则定义此方向上的导数为该标量函数的导数为该标量函数的
29、梯度梯度（gradient）。）。变化率（方向导数最大），变化率（方向导数最大），54例例 由偶极子的电势求场强由偶极子的电势求场强：204cos),(rpr rlErr /304cos2Erp rlE Erp304sin Pr p ddrl erlrdd redl55 9.12 点电荷在外电场中的电势能点电荷在外电场中的电势能点电荷的电势能：点电荷的电势能：qW 电偶极子的电势能：电偶极子的电势能：EpW pE时电势能最低。时电势能最低。Ep56电势能差、电场力的功及电势、电场电势能差、电场力的功及电势、电场四者之间的关系四者之间的关系abA abWW 0()abq UU 0cosbaqEd
30、l 点电荷系在电场中具有电势能：点电荷系在电场中具有电势能：iiUqW UdqW或或0Wq U 电势能电势能:57求：求：a a点电势点电势 由无穷远点移到由无穷远点移到a a点，电场力作的功点，电场力作的功 电势能的增量电势能的增量rrrra+qqqq1234oq例例3 3 已知条件如图所示已知条件如图所示58rrrra+qqqq1234 a a点电势点电势41041iiqra总59 由无穷远点移到由无穷远点移到a a点，电场力作的功点，电场力作的功oqaA)(0aqaq041004iiqrq电势能的增量电势能的增量aWW )(0aq41004iiqrq 电势能的增量电势能的增量 =克服静电
31、场力做功克服静电场力做功609.14 静电场的能量静电场的能量电场能量密度电场能量密度2021ddEVWe w在电场存在的空间在电场存在的空间V中，静电场能中，静电场能（静电能）：（静电能）：VEVWVVed21d20 w61 电势计算方法总结电势计算方法总结一、场强分布已知一、场强分布已知电势零点PPdlEcosPPdlE电势零点cos注意：注意：必须取好电势零点必须取好电势零点积分是从积分是从场点到电势零点场点到电势零点（或从（或从 电势零点到场点）的电势零点到场点）的线线积分积分当场源带电体为球状、当场源带电体为球状、“无限长无限长”柱状、柱状、“无限大无限大”平板时，常常平板时，常常常
32、用情形常用情形：分段积分分段积分62先用高斯定理求场强，再用上述方法求电势。先用高斯定理求场强，再用上述方法求电势。二、场强分布未知且不易求出二、场强分布未知且不易求出用叠加原理求电势用叠加原理求电势令令0U点电荷点电荷rq041点电荷系点电荷系iinirq1041总任一带电体任一带电体电荷分布范围rdq0463注意：注意：电势零点一定是在无穷远处电势零点一定是在无穷远处 场源带电体一定不能是无限大带电体场源带电体一定不能是无限大带电体 积分是对积分是对电荷分布范围电荷分布范围的积分的积分作业 P88 3.11 P90 3.2164真空中静电场小结提纲真空中静电场小结提纲一一.线索（基本定律、
33、定理）：线索（基本定律、定理）：iEEqFE0/库仑定律库仑定律还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。还有电荷守恒定律，它时刻都起作用。iirireqEi204 LSlEqsE0dd0 内内65从受力从受力的角度的角度描述描述 电电 场场从功能从功能的角度的角度描述描述定定量量描描述述EqF 力力能能PqW 形形象象描描述述电场线电场线等势面等势面 P1）相互垂直）相互垂直2）电场线密）电场线密 等势面也密等势面也密 gredd)()(0 ElEPPPEe SeSEd二二.基本物理量之间的关系：基本物理量之间的关系：66三三.求场的方法：求场的方法：。，微分法：微分法：；高斯定理法：高斯定理法：；，叠加法（补偿法）：叠加法（补偿法）：求求内内 lEEqsEqreEEEElsqrii 020dd4.167 。），（零零点点要要同同）；叠叠加加法法（补补偿偿法法）：；分分段段，积积分分也也要要分分段段）（，场场强强积积分分法法：求求 0 4d d.20)()(0 qiiPPprqElE四四.几种典型电荷分布的场强和电势：几种典型电荷分布的场强和电势：点电荷；点电荷；均匀带电长圆筒。均匀带电长圆筒。均匀带电长直线；均匀带电长直线；均匀带电大平板；均匀带电大平板；均匀带电薄球壳；均匀带电薄球壳；（自己总结）（自己总结）完完
