1、材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件 在在CD段内的弯矩段内的弯矩M=Fa为常数，为常数，而剪力而剪力FS等于零。等于零。5.1.1 纯弯曲与平面假设纯弯曲与平面假设 一、一、纯弯曲纯弯曲 梁横截面上只有弯矩，没有剪力的情况称为梁横截面上只有弯矩，没有剪力的情况称为纯弯曲纯弯曲。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件二、平面假设二、平面假设 在梁的侧面画一些横在梁的侧面画一些横向线和纵向线向线和纵向线(1)变形前的横向线在变形后仍为直线，在转
2、过一定变形前的横向线在变形后仍为直线，在转过一定角度后仍与变形后的梁轴线垂直。角度后仍与变形后的梁轴线垂直。(2)变形前的纵向线在变形后成为圆弧线，且上部的变形前的纵向线在变形后成为圆弧线，且上部的纵向线缩短，下部的纵向线伸长。纵向线缩短，下部的纵向线伸长。观察到如下现象：观察到如下现象：材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件两个假设两个假设1、平面假设、平面假设2、单向受力假设、单向受力假设 梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且与变形后的梁的横截面在弯曲后仍保持为平面，且与变形后的梁轴线垂直。梁轴线垂直。梁的纵向纤维处
3、于单向受力状态，各纤维之间没有梁的纵向纤维处于单向受力状态，各纤维之间没有相互作用。相互作用。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件二、中性层二、中性层 中性轴中性轴 由梁变形的连续性，其间必由梁变形的连续性，其间必存在一长度不变的过渡层，存在一长度不变的过渡层，称为称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴。中性层把梁沿高度分成受压区和受拉区。中性层把梁沿高度分成受压区和受拉区。1、中性层、中性层2、中性轴、中性轴材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5
4、.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件 表示微段中性层表示微段中性层O1O2的曲率半径的曲率半径 梁中任一纵向纤维的线应变与其到梁中任一纵向纤维的线应变与其到中性层的距离成正比。中性层的距离成正比。距中性层为距中性层为y处的纵向纤维伸长量为处的纵向纤维伸长量为 1变形几何关系变形几何关系 纵向线应变为纵向线应变为 5.1.2 正应力公式的推导正应力公式的推导 xdd xyyyddd)d(yxxyd)/d(材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件在弹性范围内在弹性范围内 梁横截面上各点的正应力与其到中性轴的距离成正
5、比梁横截面上各点的正应力与其到中性轴的距离成正比 2物理关系物理关系 E yE 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件纯弯曲纯弯曲代入代入 3静力关系静力关系 0dNAAF0dAyAzMMAyMAzdyE 0ddNAAAEyAF0dzASAy梁横截面对中性轴梁横截面对中性轴(z轴轴)的面积矩等于零。的面积矩等于零。中性轴通过横截面的形心。中性轴通过横截面的形心。(1)FN 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件代入代入 0dAyAzMyE y轴
6、为横截面的对称轴轴为横截面的对称轴 自动满足。自动满足。(2)My 0ddAAAyzEAzEy0dAAyzMAyMAzd(3)Mz zAAEIAyEAEyMdd22AzAyId2是梁横截面对中性轴的惯性矩。是梁横截面对中性轴的惯性矩。zEIM1EIz反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的反映了梁抵抗弯曲变形的能力，称为梁的抗弯刚度抗弯刚度。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件代入代入 yE 说明：说明：(1)纯弯曲正应力公式。纯弯曲正应力公式。梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应
7、力计算公式。zIMy zEIM1(2)当梁的跨度与横截面高度的比值较大时当梁的跨度与横截面高度的比值较大时(如如l/h 5)，纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。纯弯曲正应力公式对横力弯曲仍然适用。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件例例51 图图5-5所示长为所示长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端受的矩形截面悬臂梁，在自由端受一集中力一集中力F=5kN作用。已知作用。已知h=180 mm，b=120 mm，y=60 mm，a=2m。求截面。求截面C上上K点处的正应力。点处的正应力。解解 截面截面C上的弯矩上的弯矩 截
8、面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 mkN1021053FaMC4533m1083.51218.012.012bhIzMPa3.10Pa103.101083.5)06.0(1010653zCKIyM材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件(1)宽为宽为b、高为、高为h的矩形截面的矩形截面 式中式中 称作抗弯截面系数称作抗弯截面系数 等截面梁来讲，最大正应力等截面梁来讲，最大正应力 5.1.3 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 zIyMmaxmaxmaxzWMmaxmaxmaxyIWzz621223bhhbhWz(
9、2)直径为直径为d的圆形截面的圆形截面 3226434dddWz材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件(1)抗拉和抗压强度相等的材料抗拉和抗压强度相等的材料(如碳钢如碳钢)，只要绝对值，只要绝对值最大的正应力不超过许用应力即可。最大的正应力不超过许用应力即可。梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件(2)抗拉和抗压强度不等的材料抗拉和抗压强度不等的材料(如铸铁如铸铁)，则要求最大，则要求最大拉应力和最大压应力分别不超过许用拉应力拉应力和最大压应力分别不超过许用拉应力t和和许用压应力许用压应力c WMzmaxmaxtmaxt
10、,cmaxc,材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件例例52 图图5-6a所示一箱形截面简支梁，跨长所示一箱形截面简支梁，跨长l=8m，材料，材料的许用应力的许用应力=120MPa，试确定许可载荷集度，试确定许可载荷集度q。解解 画弯矩图画弯矩图 qqqlM88818122max对中性轴对中性轴z的惯性矩为的惯性矩为441233m1003.1101220010012250130zI抗弯截面系数抗弯截面系数 3434maxm1024.8101251003.1yIWzz梁所能承受的最大弯矩为梁所能承受的最大弯矩为 mN10
11、9.891024.810120446maxzWM许可载荷集度许可载荷集度 49.89 10 812.4kN/mq 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件例例53 一一T形截面铸铁梁受力如图形截面铸铁梁受力如图5-7a所示。已知所示。已知F1=10 kN，F2=4 kN，材料的许用拉应力，材料的许用拉应力t=35 MPa，许用压应力许用压应力c=90 MPa，截面对中性轴的惯性矩，截面对中性轴的惯性矩Iz=7.6310-6 m4，中性轴到上、下边缘的距离分别为，中性轴到上、下边缘的距离分别为y1=52 mm，y2=88
12、mm。试校核梁的强度。试校核梁的强度。解解 (1)画弯矩图画弯矩图 在截面在截面D和截面和截面B上分别有最大正弯上分别有最大正弯矩和最大负弯矩矩和最大负弯矩 MD=3 kNm MB=-4 kNm材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件(2)校核强度校核强度 校核最大拉应力校核最大拉应力 截面截面B上，最大拉应力发生在截面的上边缘上，最大拉应力发生在截面的上边缘 截面截面D上，最大拉应力发生在截面的下边缘上，最大拉应力发生在截面的下边缘 MPa3.27Pa1073.21063.7052.0104t7631max,tzBBI
13、yMMPa6.34Pa1046.31063.7088.0103t7632max,tzDDIyM材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件校核最大压应力校核最大压应力 最大压应力发生在截面最大压应力发生在截面B的下边缘的下边缘 MPa1.46Pa1061.41063.7088.0104c7632max,czBIyM梁满足正应力强度要求梁满足正应力强度要求。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.1 弯曲正应力及强度条件弯曲正应力及强度条件例例54 图图5-8a所示的简支梁由两根槽钢焊接而成，梁上
14、所示的简支梁由两根槽钢焊接而成，梁上所受载荷如图所示。材料的许用应力所受载荷如图所示。材料的许用应力=160MPa，试，试选择槽钢的型号。选择槽钢的型号。解解 画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图 单根槽钢所需的抗弯单根槽钢所需的抗弯截面系数截面系数 由附录由附录C型钢规格表查得型钢规格表查得No.22a槽钢的槽钢的Wz为为218 cm3，可满足正应力强度要求。可满足正应力强度要求。mkN6.67maxM 33max667.6 10211.3cm22 160 10zMW材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件 两端面上内力两
15、端面上内力5.2.1 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 矩形截面梁中截取微段矩形截面梁中截取微段dx端面上的应力分布端面上的应力分布材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社平衡条件平衡条件 切应力互等定理切应力互等定理 其中其中求横截面上距中性轴为求横截面上距中性轴为y处各点的切应力处各点的切应力 将微段截开，并研究将微段截开，并研究下部隔离体下部隔离体 5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件=0 xF0dS1N2NFFFzzAzAzAISMMAyIMMAIyMMAF*112N)d(ddd)d(d1111d1A*zAyS是面积是面积A1对中性轴的面积矩。
16、对中性轴的面积矩。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社整理得整理得 代入代入 其中其中类似地类似地 认为切应力均匀分布认为切应力均匀分布 5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件0dS1N2NFFFzzIMSF*1NxbFddS0d)d(xb IMSISMMz*zz*zbISxMzz*ddSd/dFxMbISFzz*S矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。矩形截面梁横截面上任一点的切应力计算公式。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社 矩形截面梁横截面上的切应力沿梁高度按二次抛物矩形截面梁横截面上的切应力沿梁高度按二次抛物线
17、规律分布。线规律分布。(1)截面上、下边缘，切应力等于零截面上、下边缘，切应力等于零;矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力 5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(2)在中性轴上在中性轴上(y=0)，切应力有最大值。最大切应力，切应力有最大值。最大切应力是平均切应力的是平均切应力的1.5倍。倍。22*422212yhbyhyyhbSz22S42yhIFzAFbhFIhFz23238SS2Smax材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件例例55 一矩形截面简支梁如图一矩形截面简支梁如图5-12所示
18、。已知所示。已知a=3m，h=160 mm，b=100 mm，y=50 mm，F=18 kN。求。求m m截面上截面上K点处的切应力。点处的切应力。解解 m m截面上的剪力为截面上的剪力为18 kN 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 K点处的切应力为点处的切应力为 4533m1041.31216.01.012bhIz3411m1095.1065.003.01.0CzyASMPa02.1Pa1002.11.01041.31095.110186543SbISFzz材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社(1)切应力沿腹板高度仍按抛物线规律分布切应力沿腹板高度仍按抛
19、物线规律分布 一、腹板一、腹板5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(2)最大切应力最大切应力max发生在中性轴上发生在中性轴上 5.2.2 工字形截面梁的切应力工字形截面梁的切应力 2222428yhbhHBSz2222S42)(8yhbhHBbIFz(3)最小剪应力发生在翼缘与腹板的连接处最小剪应力发生在翼缘与腹板的连接处 8822SmaxhbBBHbIFz8822SminBhBHbIFz材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社二、翼缘二、翼缘 腹板上的切应力是均匀分布腹板上的切应力是均匀分布 5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件认为切应力沿
20、翼缘厚度均匀分认为切应力沿翼缘厚度均匀分布布(1)Sz*为欲求应力点到翼缘端部间的为欲求应力点到翼缘端部间的面积对中性轴的静矩面积对中性轴的静矩 bhFS(2)翼缘上水平切应力的大小呈线性变化翼缘上水平切应力的大小呈线性变化(3)对薄壁杆件，其横截面上弯曲切应对薄壁杆件，其横截面上弯曲切应力形成力形成切应力流切应力流。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社假设假设（AB弦上各点）弦上各点）截面边缘上各点的切应力与圆周相切截面边缘上各点的切应力与圆周相切 5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(1)切应力的作用线都通过切应力的作用线都通过P点点 5.2.3
21、圆形截面梁的切应力圆形截面梁的切应力(2)切应力的垂直分量切应力的垂直分量y相等相等在中性轴上在中性轴上342,22RRSRbz4/4RIz2Smax34RF最大切应力是平均切应力的倍最大切应力是平均切应力的倍1)切应力取最大值切应力取最大值max2)各点沿铅垂方向的切应力各点沿铅垂方向的切应力y为该点的总切应力为该点的总切应力材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社二、切应力强度条件二、切应力强度条件 一、最大切应力一、最大切应力5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(1)梁的强度由正应力强度条件控制。梁的强度由正应力强度条件控制。5.2.4 梁的切应力强
22、度条件梁的切应力强度条件(2)梁截面设计时，根据正应力强度条件设计截面，再梁截面设计时，根据正应力强度条件设计截面，再对切应力强度条件进行校核。对切应力强度条件进行校核。bISFzz*max,maxS,max bISFzz*max,maxS,max等截面梁来说，最大切应力发生在剪力最大的等截面梁来说，最大切应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上横截面的中性轴上 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁的切应力强度条件起控制作用的情况梁中弯矩较小而剪力很大梁中弯矩较小而剪力很大。1)梁的跨
23、度较短梁的跨度较短 2)支座附近有较大的集中载荷支座附近有较大的集中载荷 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件例例56图图5-15a所示为起重设备简图。已知起重量所示为起重设备简图。已知起重量(包含包含电葫芦自重电葫芦自重)F=30 kN，跨长，跨长l=5m。梁。梁AB由由No.20a工字工字钢制成，许用应力钢制成，许用应力=170MPa，=100MPa。试校核。试校核梁的强度。梁的强度。解解1.计算最大正应力计算最大正应力载荷置于梁的跨中处载荷置于梁的跨中处 弯矩图弯矩图 2.计算最大切应力计算最大切应力载荷靠近支
24、座处载荷靠近支座处 剪力图剪力图 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.2 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(1)正应力强度校核正应力强度校核 型钢表查得型钢表查得No.20a工字钢工字钢(2)切应力强度校核切应力强度校核 查得查得 梁的正应力和切应力强度条件均能满足，梁是安全的。梁的正应力和切应力强度条件均能满足，梁是安全的。m37.5kNmaxM363m10237237cmzW 158.2MPaPa101.582102371037.5863maxmaxzWM30kNmaxS,FFFA17.2cm*max,zzSImm7.01 db*3S,max,ma
25、xmax23130 1024.9MPa17.2 107.0 10zzFSI b材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施 5.3.1 减小最大弯矩减小最大弯矩(1)分散载荷分散载荷材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社(2)合理地安排支座位置合理地安排支座位置 5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施5.3.2 选用合理截面选用合理截面(1)矩形截面和正方形截面矩形截面和正方形截面 621bhWz6
26、32aWz抗弯截面系数的比值抗弯截面系数的比值 ahabhWWzz663221a)当当 时，由时，由hb=a2可知可知 ,从而有从而有 ，说明矩形截面比同样面积的正方形截面合理。说明矩形截面比同样面积的正方形截面合理。bh b)当当 时，由于时，由于hab，可得，可得 ，说明矩形，说明矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。截面不如同样面积的正方形截面合理。bah1/ahbh1/ah(2)正方形截面比同样面积的圆形截面合理。正方形截面比同样面积的圆形截面合理。一、常见截面比较一、常见截面比较 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措
27、施二、选择合理截面二、选择合理截面(1)尽可能使大部分面积布置在距中性轴较远的地方。尽可能使大部分面积布置在距中性轴较远的地方。(2)最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用应力。最大拉应力和最大压应力同时达到各自的许用应力。a)塑性材料，采用对称于中性轴的截面。塑性材料，采用对称于中性轴的截面。b)脆性材料，使中性轴偏于截面受拉的一边。脆性材料，使中性轴偏于截面受拉的一边。ct21yy材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施5.3.3 等强度梁等强度梁 2.变截面梁，要求其所有截面上的最大正应力同时达变截面梁，要求其所有截面上
28、的最大正应力同时达到材料的许用应力到材料的许用应力得得 截面按上式变化的梁称为截面按上式变化的梁称为等强度梁等强度梁。一、等强度梁一、等强度梁 xWxMz)()(max xMxWz)()(1.等截面梁，只有危险截面上的最大应力才有可能达等截面梁，只有危险截面上的最大应力才有可能达到许用应力到许用应力。材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施跨长为跨长为l，自由端作用有集中力，自由端作用有集中力F的矩形截面悬臂梁的矩形截面悬臂梁。(1)宽度的设计宽度的设计代入代入即：当梁截面高度为常数时，它的宽度将按直线变化即：当梁截面高度为常数时，它的宽度将按直线变化二、等强度梁的设计二、等强度梁的设计 6)()(20hxbxWFxxM)(xMxWz)()(6)(20Fxhxb6)(20hFxxb则则 材料力学电子教案材料力学电子教案 C 机械工业出版社机械工业出版社5.3 提高梁强度的措施提高梁强度的措施(2)最小宽度设计最小宽度设计切应力强度条件切应力强度条件为了抵抗剪力的作用，在自为了抵抗剪力的作用，在自由端附近，还需根据切应力由端附近，还需根据切应力强度条件设计它所需要的最强度条件设计它所需要的最小宽度小宽度bmin 得得 23230minmaxmaxhbFAF230minhFb
