1、7 7 测量误差及测量误差及 数据处理的基本知识数据处理的基本知识 【本章知识要点】观测条件；等精度观测；非等精度观测；粗差；系统误差；偶然误差及其特性；多余观测；标准差；中误差；极限误差；容许误差；相对误差；误差传播定律；最或是值；改正数；等精度观测值中误差；算术平均值中误差；权；定权方法；非等精度观测值精度评定；单位权中误差计算。7.1 测量误差概述测量误差概述7.1.1.误差来源误差来源 （仪器、人、环境）（仪器、人、环境）测量中的被观测量客观上多存在一个真实值或理论值，测量中的被观测量客观上多存在一个真实值或理论值，对该量进行观测得到观测值，观测值对该量进行观测得到观测值，观测值 Li
2、与真实值与真实值X（或理论值）（或理论值）之差称为真误差之差称为真误差，即：，即：i i=LiX7.1.2.误差分类：误差分类：(1)系统误差系统误差 （积聚性、可预知性）（积聚性、可预知性）(2)偶然误差偶然误差 （抵偿性、不可预知性）（抵偿性、不可预知性）1/24/2023 6:50 AM系统误差 误差大小、符号按一定规律变化或保持常数 具有累计性偶然误差 误差大小、符号无规律变化 抵消性 粗粗 差差 由于粗心和干扰产生大于限差的误差1/24/2023 6:50 AM7.1.3.多余观测多余观测必要观测必要观测 距离往返测距离往返测 水准红黑面读数水准红黑面读数 角度多测回角度多测回 多余
3、观测多余观测差值差值评定精度评定精度1/24/2023 6:50 AM7.1.4 偶然误差的统计规律偶然误差的统计规律 真误差真误差 定义式：定义式：i i=LiX （X真值；真值；L观测值）观测值）1/24/2023 6:50 AM1/24/2023 6:50 AM误差区间误差区间正正 误误 差差负负 误误 差差合合 计计个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n0.00.2450.126460.128910.2540.20.4400.112410.115810.2260.40.6330.092330.092660.1840.60.8230.064210.059
4、440.1230.81.0170.047160.045330.0921.01.2130.036130.036260.0731.21.460.01750.014110.0311.41.640.01120.00660.0171.6以上以上000000总和总和1810.5051770.4953581.0001/24/2023 6:50 AM (1)有界性有界性 在一定的观测条件下，偶然误差不会超过某一定值 (2)单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大 (3)对称性对称性 绝对值相等的正、负误差出现的可能性相等 (4)抵偿性抵偿性 当观测次数无限增加，偶然误差的算术平均值趋向零 误
5、差分布-正态分布 标准差1/24/2023 6:50 AM22221)(efnn22lim 1/24/2023 6:50 AM=3.1416 e=2.7183 为标准差2 为标准差的平方，称为方差。1/24/2023 6:50 AM甲系统误差系统误差1/24/2023 6:50 AM乙偶然误差偶然误差1/24/2023 6:50 AM丙偶然误差偶然误差1/24/2023 6:50 AM测量精度测量精度1/24/2023 6:50 AM7.2 评定精度的标准评定精度的标准 7.2.1 标准差标准差与与中误差中误差 (1)定义式定义式 nm1/24/2023 6:50 AM按观测值的真误差计算中误
6、差序号序号第一组观测第一组观测第二组观测第二组观测观测值观测值真误差真误差2 2观测值观测值真误差真误差2 21 117917959595959-1-11 118018000080008+8+864642 217917959585958-2-24 417917959545954-6-636363 318018000020002+2+24 418018000030003+3+39 94 417917959575957-3-39 918018000000000000 05 518018000030003+3+39 917917959535953-7-749496 61801800000000000
7、0 017917959515951-9-981817 717917959565956-4-4161618018000080008+8+864648 818018000030003+3+39 918018000070007+7+749499 917917959585958-2-24 417917959545954-6-63636101018018000020002+2+24 418018000040004+4+41616+2+26060+2+2404404中误差【】【】=60 n=10=60 n=10【】【】=404 n=10=404 n=10m m1 1=2.52.5m m2 2=6.4 6.
8、41/24/2023 6:50 AM(2)概率意义概率意义1/24/2023 6:50 AM7.2.2.极限误差极限误差P(|1 m)=0.683=68.3%P(|2 m)=0.954=95.4%P(|3 m)=0.997=99.7%所以，一般容许或极限误差取：所以，一般容许或极限误差取：m2极m3极1/24/2023 6:50 AM7.2.3.相对误差相对误差 K(1)定义定义 (2)适用情况适用情况 AxmKx1例：丈量200m和80m的中误差都是20mm，精度怎样描述？100001200020.01K4000180020.02K1/24/2023 6:50 AM中误差 m极限误差 允=2
9、 m相对中误差绝对误差平均误差 或然误差 1/24/2023 6:50 AM22222212)()()(21nxfxfxfzmmmmn ),(21nxxxfz 则函数的中误差与观测值中误差之间的关系式7.3误差传播定律误差传播定律 设有一般函数：误差传播定律误差传播定律描述观测值的中误差与观测值函数的中误差之间的关系(5-27)1/24/2023 6:50 AM222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn nnxxfxxfxxfz )()()(2211),(21nxxxfz 1、按问题要求写出函数式2、对函数式全微分3、写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式1）函数中误差的
10、计算方法：1/24/2023 6:50 AM例 S=a babbmaambma mb1/24/2023 6:50 AM2 2）特殊函数中误差的计算方法：）特殊函数中误差的计算方法：（1）、倍函数中误差（2）、和或差函数中误差（3）、线性函数1/24/2023 6:50 AM（1）、倍函数中误差 设有函数：z=k x 式中k为常数；x为观测值，其中误差为mx；则函数Z的中误差为mz mz=k mx 即观测值与某一常数乘积的中误差，等即观测值与某一常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘该常数于观测值中误差乘该常数222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 1/24/2023 6:5
11、0 AM z=k x ZI=k xI (ZI)2=(k xI)2 mz2=k2 mx2 mz =k mx1/24/2023 6:50 AM例 在在1：500地形图上，量得某线段的平距为地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm0.2mm，求，求AB的实地平距的实地平距DAB及其中误差及其中误差mD。解：解：函数关系为函数关系为 DAB=500 dAB=25600 mm 中误差式为中误差式为 m DAB=500 m dAB=100 mm DAB=25.600 0.1 m 1/24/2023 6:50 AM（2 2）、和或差函数中误差）、和或差函数中误差设有函数：z=x y x、y为观测值，
12、其中误差分别为mx、my；则函数Z的中误差为mz mz2 =mx2 my2 即两观测值代数和的中误差平方，等于两观即两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差平方之和。测值中误差平方之和。222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 1/24/2023 6:50 AM原理1/24/2023 6:50 AM例 水准测量测站高差计算公式为水准测量测站高差计算公式为h=a-b。已知后视。已知后视读数的中误差为读数的中误差为ma1mm，前视读数的中误差，前视读数的中误差为为mb1mm，求每测站高差的中误差，求每测站高差的中误差m h。解：函数关系为解：函数关系为 h=a b 中误差
13、式为中误差式为 m h=1.41mm11ahf12bhf2)1(122222hbammm1/24/2023 6:50 AM推广式设有函数：z=x1 x2 xn x、y为观测值，其中误差分别为mxi、；则函数Z的中误差为mz mz2=m12 m22 mn2 即即n个观测值代数和的中误差平方，等于个观测值代数和的中误差平方，等于n观测观测值中误差平方之和。值中误差平方之和。当m1=m2=mn=m时；则有 mz2=m2 m2 m2 mz2=n m2 mz=n m 222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 1/24/2023 6:50 AM（3 3）、线性函数）、线性函数设有函数：
14、z=k1 x1 k2x2 knxn 式中ki 为常系数；xi为独立观测值，其中误差分别为mxi、；则函数Z的中误差为mz mz2=k12 m12 k22 m22 kn2 mn2 即一组常数与一组独立观测值乘积代数即一组常数与一组独立观测值乘积代数和的中误差平方，等于各常数与相应观和的中误差平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方之和。测值中误差乘积的平方之和。222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 1/24/2023 6:50 AM例 对某段距离测量了n次，观测值为l1,l2,ln,观测值为相互独立的等精度观测，观测值的中误差为m，求算术平均值的中误差mx。函数关系为
15、函数关系为 全微分式全微分式 中误差式为中误差式为 nnnndldldldx 12111 nnnnnllllx 12111.2121212222mmmmnnnx nmxm 1/24/2023 6:50 AM例光电测距三角高程公式为 h=Dtan+i v，已知D=192.263m0.006m，=89166，i =1.515m0.002m v =1.627m0.002m求高差h的中误差mh。1/24/2023 6:50 AM函数关系为函数关系为 h=Dtan+i v，其全微分式为其全微分式为 中误差式为中误差式为 Mh=7mm h=27.437=0.007m dvdiDdDdhd)sec(tan2
16、222222222)sec()(tanvimDhmmDmma1/24/2023 6:50 AM计算实例计算实例 1.【例例7-2】课本课本P124，任意函数任意函数 2.【例例7-3】课本课本P125，倍函数倍函数 3.【例例7-4】课本课本P125，和差函数和差函数 4.【例例7-5】课本课本P125，线性函数线性函数1/24/2023 6:50 AM中误差的计算中误差的计算 注意：注意：（1）如果是距离）如果是距离D，则则需要计算需要计算相对误差相对误差K；（2）如果是角度）如果是角度，则则不要不要计算相对误差计算相对误差K。1/24/2023 6:50 AM7.3.2误差传播定律的应用误
17、差传播定律的应用n1）钢尺分段量距的精度n2）一般水准测量的精度n（1）水准尺读数中误差22221.nDmmmmmmmmmm0.250.116.173.0222222估照平读n（2）一测站的高差中误差n（3）依据测站数计算高差中误差n（4）依据线路长度计算高差中误差读站mmmmba222站mnmhkmhmLm（5）往返测所得高差闭合差的容许值）往返测所得高差闭合差的容许值hfmmh23）经纬仪测量水平角的精度n（1）半测回方向值中误差n（2）半测回角值中误差n（3）上、下半测回角值之差的中误差n（4）一测回角值中误差5.8622 回方半方mm回方半方半mmm22回方半mmm222回方半mmm2
18、27.4 等精度观测值的精度评定观测值的精度评定 7.4.1 算术平均值算术平均值证明：证明：算术平均值算术平均值=最可靠值最可靠值7.4.2 改正数改正数 v=xL 特点：特点：(1)v=0（可证明）可证明）(2)vv=min（可证明）可证明）nLnLnLnx 211/24/2023 6:50 AMV1=x-l1V2=x l2。Vn=x lnv=n x-l v=01/24/2023 6:50 AMvvmin=(x-l1)2+(x-l2)2+(x-ln)2 d vv/d x=2 (x l)=0 n x l=0 x=l /n等精度观测值的算术平均值等精度观测值的算术平均值x即为：即为：最可靠值最
19、可靠值1/24/2023 6:50 AM7.4.3 等精度观测值的中误差等精度观测值的中误差因为nm 在大多数情况下为未知V1=x l1V2=x l2 。Vn=x ln1 X l12 X l2。n=X ln只能通过上面两关系式找出 m 与 v 之间的关系1/24/2023 6:50 AM1 nvvm观测值中误差：1/24/2023 6:50 AM7.4.4算术平均值中误差算术平均值中误差用改正数(v)计算最或是值中误差：)1(nnvvxnmm表7-2mnLx49.251cmnvvm2.215201mcmnmMx01.00.152.225149101.049.2511xMkx 49.251nLx
20、算术平均值：观测值中误差：算术平均值中误差：序号L（m）V（cm）VV 精 度 评 定1251.52-39最后结果可写成x=251.490.01（m）2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11V=0VV=20算术平均值相对中误差：7.5 非等精度观测值的精度评定（1）不等精度观测 不同观测条件（2）不等精度观测权 权大，精度高，观测值可靠性强 权小，精度低，观测值可靠性差问题:怎样求P点的高程ACBPN3=35站站N2=20站站N1=15站站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h31/24/2023 6
21、:50 AMn第一组观测了四次第一组观测了四次,l1,l2,l3,l4 n第二组观测了两次第二组观测了两次,l1,l2例例 对某一观测量进行了两组观测对某一观测量进行了两组观测:1/24/2023 6:50 AMx1=(l1+l2+l3+l4)/4x2=(l1+l2)/2 l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的，的精度是相同的，x1与与x2的精度是不同的的精度是不同的!X=(l1+l2+l3+l4+l1+l2)/6 =(4 x1+2 x2)/(4+2)1/24/2023 6:50 AM单位权 等于1的权单位权观测值 P=1的观测值 单位权中误差 单位权观测值的中误差权的概念权的概念2
22、2imip中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小1/24/2023 6:50 AM权与中误差关系l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是相同的，的精度是相同的，设其中设其中误差皆为误差皆为m，则，则x1与与x2的的中误差分别为中误差分别为 1/24/2023 6:50 AM2214mm2222mm22122212=mp=4 p=2 m=2p=2 p=1 若取，则有若取，则有222222/2/pmm222211/4/pmm 上式可以说明可以任意选择上式可以说明可以任意选择 的值，但
23、的值，但并不改变观测值之间的权的比并不改变观测值之间的权的比。距离、高差、角度观测值的定权方法距离、高差、角度观测值的定权方法同精度丈量时，边长的权与边长成反比同精度丈量时，边长的权与边长成反比 Pi=c/si当每公里水准测量精度相同时，水准路线观当每公里水准测量精度相同时，水准路线观测高差的测高差的 权与路线长度成反比权与路线长度成反比 Pi=c/si由角度观测值求算术平均值时，其权与观测由角度观测值求算术平均值时，其权与观测值个数（测回数）成正比值个数（测回数）成正比 Pi=ni/c1/24/2023 6:50 AM例 设对某量进行了n次等精度观测，求算术平均值的权。解：设一测回角度观测值
24、中误差为m 则算术平均值的中误差为 令=m 一测回角度观测值权为p=2/m2=1 算术平均值的权为 p=2/m x2=nnmxm 1/24/2023 6:50 AM7.5.2 权及中误差加权算术平均值：22mip nnnppplplplppplx 2122111/24/2023 6:50 AM加权平均值的中误差 nppppppppllllxn 2121)(2222222112212nlnllpxmpmpmpm 怎么求？12222212222221221nnllnlpppxppxppmpmpmmm 因为，故有1/24/2023 6:50 AM7.5.3 单位权中误差的计算单位权中误差的计算 （怎
25、么求？）n因为可以用i代替mi，nn2=pm2=pn2=p/nn实际应用时，v=x l 21pvvn1/24/2023 6:50 AM单位权中误差2=pvv /(n-1)mx=/p 1/24/2023 6:50 AM例7-8 算例7-9序号测回数观测值权pivipi vi2备注1240 20 142+4322440 20 174+143640 20 206-2241660X=402018 =5.5 mx=1.61/24/2023 6:50 AM课堂作业：课堂作业：设某矩形长和宽分别为设某矩形长和宽分别为A、B，其测量中误，其测量中误差分别为差分别为 mA、mB，试求其周长和面积的，试求其周长和面积的中误差。中误差。课外作业：课外作业：7.2、7.3、7.4、7.10、7.14 1/24/2023 6:50 AM本章小结本章小结1、测量误差（来源、分类、处理方法）。2、偶然误差及其特性3、精度的概念：等精度、非等精度粗差。4、精度标准：标准差、中误差、极限误差、容许误差、相对误差。5、误差传播定律及应用。6、权的概念；定权方法；非等精度观测值精度评定；单位权中误差计算。
