1、第四讲第四讲 离散图像变换离散图像变换3.2 3.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCTDCT）离散余弦变换离散余弦变换DCT(Discrete Cosine DCT(Discrete Cosine Transform)Transform)是图像数据压缩中常用的一个是图像数据压缩中常用的一个变换编码方法。变换编码方法。任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项项 ，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化傅里叶变换的重要方法。变换是简化傅里叶变换的重要方法。3.2.1 3.2.1 一维离散余弦变换（一维离散余弦变换（D
2、CTDCT）将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用进行傅里叶变换，我们就可用2 2N N点的点的DFTDFT来产生来产生N N点的点的DCTDCT。信号。信号f(n)f(n)的离散余弦变换的定义式为：的离散余弦变换的定义式为：式中式中 102)12(cos)(2)()(NnNknnfNkCkF11,10,21)(NkkkC3.2.2 3.2.2 二维离散余弦变换（二维离散余弦变换（DCT2DCT2）二维信号同样可以推出它的离散余弦变换二维信号同样可以推出它的离散余弦变换 DCTDCT逆变换为逆变换为 这些函数被成为这些函数被成为D
3、CTDCT的基本函数（图像）。一幅的基本函数（图像）。一幅8 88 8的图像，是由的图像，是由6464个基本图像的线性组合。个基本图像的线性组合。1010)21(cos)21(cos),(2)()(),(MxNyyvNxuMyxfMNvCuCvuF1010)21(cos)21(cos),()()(2),(NvMuyvNxuMvuFvCuCMNyxf%DCT coefficient function%DCT coefficient functionclose allclose allclear allclear all M=8;N=8;M=8;N=8;figure,figure,number=1
4、;number=1;for u=1:1:Mfor u=1:1:M for v=1:1:N for v=1:1:N for i=1:1:M for i=1:1:M for j=1:1:N for j=1:1:N f(i,j)=cos(pi/M.f(i,j)=cos(pi/M.*(i+0.5).(i+0.5).*(u-1).(u-1).*cos(pi/N.cos(pi/N.*(j+0.5).(j+0.5).*(v-1);(v-1);end end end end I=mat2gray(f);I=mat2gray(f);subplot(M,N,number),imshow(I);subplot(M,
5、N,number),imshow(I);number=number+1;number=number+1;end endendend二维离散余弦变换的应用二维离散余弦变换的应用 DCTDCT的典型应用是进行的典型应用是进行数据压缩编码数据压缩编码，可以，可以进行图像数据压缩，目前的国际压缩标准进行图像数据压缩，目前的国际压缩标准JPEGJPEG的格式中就应用了的格式中就应用了DCTDCT变换。变换。DCTDCT的的MATLABMATLAB函数：函数：dct2dct2，idct2idct2。B=dct2(A);B=dct2(A);%A%A是是M MN N的矩阵，的矩阵，B B是是A A的的DCTD
6、CT系数，大小为系数，大小为M MN N。close all clear all f=zeros(10,10);f(2:2,1:10)=1;f(5:5,1:10)=1;f(8:8,1:10)=1;imshow(f,notruesize)J=dct2(f)；figure,imshow(log(abs(J),notruesize),J(abs(J)0.5)=0 K=idct2(J);figure,imshow(K,notruesize)J(abs(J)1)=0 K=idct2(J);figure,imshow(K,notruesize)f=imread(C:MATLAB701toolboximag
7、esiconshand.gif);imshow(f,notruesize)J=dct2(I);figure,imshow(log(abs(J),),colormap(jet(64),colorbar0246 J(abs(J)0.03e+003)=0 K=idct2(J);figure,imshow(K,notruesize)J(abs(J)0.08e+003)=0 看看MATLAB中的中的demo3.3 3.3 二维离散沃尔什二维离散沃尔什-哈达玛变换（哈达玛变换（DHTDHT）余弦型变换的基函数是余弦型函数。余弦型变换的基函数是余弦型函数。沃尔什变换是由沃尔什变换是由1 1或者或者1 1的基
8、本函数的级数展的基本函数的级数展开而成的开而成的 ，它也满足完备正交特性，它也满足完备正交特性 。由于沃尔。由于沃尔什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状什函数是二值正交函数，与数字逻辑中的二个状态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信态相对应，因此它更适用于计算机技术、数字信号处理。号处理。沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函列最便于快速计算，采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称哈达玛变换，简称WHTWHT或简称哈达玛变换。或简称哈达玛变换。3.3
9、.1 3.3.1 哈达玛变换哈达玛变换 我们定义元素仅由我们定义元素仅由1 1和和1 1组成的正组成的正交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即交方阵为哈达玛矩阵。所谓正交方阵，即指它的任意两行（或两列）都彼此正交，指它的任意两行（或两列）都彼此正交，或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变或者说它们对应元素之和为零。哈达玛变换要求图像的大小为换要求图像的大小为N N2 2n n。最低阶的哈达玛矩阵为最低阶的哈达玛矩阵为:高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：高阶哈达玛矩阵可以通过如下方法求得：11112H2/2/2/2/NNNNNHHHHHN N4 4的哈达玛矩阵为的哈达玛矩阵为:2130111111
10、11111111114H3.3.2 沃尔什变换沃尔什变换 哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。哈达玛变换矩阵，其列率的排列是无规则的。将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的将无序的哈达玛核进行列率的排序，之后得到的有序的变换就成为沃尔什（有序的变换就成为沃尔什（WalshWalsh）变换。如）变换。如N N4 4时的矩阵：时的矩阵：321011111111111111114H一维一维WalshWalsh变换核为变换核为二维沃尔什正变换和反变换为二维沃尔什正变换和反变换为101)()(10)1(1),(niiniubxbNiNuxg1010)()()()(101011)1(),(1),(
11、NxNyvbybubxbniniiniiniyxfNvuW1010)()()()(101011)1(),(1),(NuNvvbybubxbniniiniinivuWNyxf沃尔什变换在图像处理中的应用沃尔什变换在图像处理中的应用 例1：一个二维数字图像信号矩阵为 该图像的的二维该图像的的二维DWTDWT：W=1/NW=1/N2 2GFGGFG 例例2 2：一幅均匀分布的数字图像：一幅均匀分布的数字图像 该图像的的二维该图像的的二维DWTDWT：W=1/NW=1/N2 2GFGGFG 得到得到W W后，可以通过公式后，可以通过公式F=GWGF=GWG得到图像矩得到图像矩阵。阵。由此可看出，二维沃
12、尔什变换具有能量集由此可看出，二维沃尔什变换具有能量集中的作用，而且，原始数据中数字越是均中的作用，而且，原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。边角上。因此，二维沃尔什变换可应用于图像压缩。因此，二维沃尔什变换可应用于图像压缩。3.5 3.5 二维离散小波变换二维离散小波变换 近几年来，小波变换的数学理论和方法已近几年来，小波变换的数学理论和方法已经引起科学技术界的广泛兴趣和注意。经引起科学技术界的广泛兴趣和注意。小波分析是一个数学分支，是泛函分析、小波分析是一个数学分支，是泛函分析、傅立叶分析、数学分析的完美结晶。傅立叶分析、数学
13、分析的完美结晶。小波变换在信号处理、图像处理、语音分小波变换在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别、量子物理及众多非线性领析、模式识别、量子物理及众多非线性领域，在工具和方法上都有重大突破。域，在工具和方法上都有重大突破。小波分析结合了三角函数系和小波分析结合了三角函数系和HaarHaar函数系的优点，函数系的优点，满足了时频分析的要求。满足了时频分析的要求。三角函数在频域上是局部化的，但在时间域上没三角函数在频域上是局部化的，但在时间域上没有局域性；而有局域性；而HaarHaar函数在时间上是完全局部化，函数在时间上是完全局部化，但在频域上的局部性很差。但在频域上的局部性很差。小波由基小波
14、构造，包含了平移和伸缩银子。小波由基小波构造，包含了平移和伸缩银子。小波变换在实现上有小波变换在实现上有S.MallatS.Mallat提出的快速算法。提出的快速算法。S.MallatS.Mallat提出的多分辨分析的概念，给出了小波提出的多分辨分析的概念，给出了小波构造的方法，并将小波变换应用于图像分解和重构造的方法，并将小波变换应用于图像分解和重构，是小波变换理论上的一个突破性进展。构，是小波变换理论上的一个突破性进展。看看MATLAB的的DEMO小波变换在图像处理中的应用小波变换在图像处理中的应用 图像压缩：压缩比很高。图像压缩：压缩比很高。图像增强：通过改变小波域中的某些系数图像增强：通过改变小波域中的某些系数的幅度，提升感兴趣的分量，而忽略不需的幅度，提升感兴趣的分量，而忽略不需要的东西。要的东西。图像融合：将两幅图像中，取各自幅度最图像融合：将两幅图像中，取各自幅度最大的系数进行组合，产生完美结果。大的系数进行组合，产生完美结果。
