1、河北省九校 2019 届高三上学期第二次联考试题 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数z满足(1)2iiz（i是虚数单位） ，则z的共轭复数是（ ） Ai 1 B1 i C12i D1 i 1答案：B 解析： 2 2i2i(i 1)2i(i 1) ii1 i,1 i i 1(i 1)(i1)2 zz 2已知集合 2 |2, |0Mx xNx xx，则下列正确的是（ ） ARMN B R RMN C R RNM DM
2、NM 2答案：B 解析： 2 |0 |01Nx xxxx，所以 |0 R Nx x或1x，所以 R RMN 3已知向量(1,),(3, 2)am b ，且 abb ，则m （ ） A8 B6 C6 D8 3答案：D 解析：因为(1,),(3, 2)am b ，所以(4,2)abm ，又 abb ， 所以 3 4( 2)(2)0abbm ，解得8m 4圆C的半径为 2，圆心在x轴的正半轴上，直线3440xy与圆C相切，则圆C的方程为（ ） A 22 230xyx B 22 40xyx C 22 40xyx D 22 230xyx 4答案：C 解析：由题意设所求圆的方程为 22 ()4 (0)xm
3、ym，则 34 2 5 m ，解得2m 或 14 3 m （舍 去） ，故所求圆的方程为 22 (2)4xy，即 22 40xyx 5如图，矩形的长为 6，宽为 4，在矩形内随机撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96，以此试验 数据为依据可估计出椭圆的面积为（ ） A16.32 B15.32 C8.68 D7.68 5答案：A 解析：由题意，可估计椭圆的面积为 96 16 416.32 300 6函数 3 2lnyxx x 的单调递减区间是（ ） A( 3,1) B(0,1) C( 1,3) D(0,3) 6答案：B 解析：定义域为(0,)，令 2 222 3223(3)(1) 1
4、0 xxxx y xxxx ，得01x 7将偶函数( )sin(3) (0)f xx的图象向右平移 12 个单位长度后，得到的曲线的对称中心为 （ ） A,0 () 34 Z k k B,0 () 312 Z k k C,0 () 36 Z k k D 7 ,0 () 336 Z k k 7答案：A 解析：因为函数( )sin(3)f xx为偶函数且0，所以 2 ，( )f x的图象向右平移 12 个单 位长度后得到( )sin 3sin 3 1224 g xxx ，令3, 4 Z xkk， 得, 34 Z k xk，所以曲线( )yg x的对称中心为,0 () 34 Z k k 8执行如图所
5、示的程序框图， 如果输入的, ,a b k分别为 1，2，4， 输出的 15 8 M ，那么判断框中应填入的条件为（ ） Ank Bnk C1nk D1nk 开始开始 输入输入a,b,k 1n 1 Ma b ab bM 1nn 输出输出M 结束结束 是是 否否 8答案：A 解析： 1332838 1,2,4,11,2,22,3 2223323 abknMabnMabn 3315815 ,4 28838 Mabn结束循环，输出 15 8 M ，此时4n ，而输入的4k ， 故结合选项知，判断框应填入nk 9第十四届全国运动会将于 2021 年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出 3 名男记者
6、和 2 名女记 者到民间进行采访报导工作过程中的任务划分为： “负重扛机” ， “对象采访” ， “文稿编写” ， “编制剪辑” 四项工作， 每项工作至少一人参加， 但2名女记者不参加 “负重扛机” 工作， 则不同的安排方案书共有 （ ） A150 B126 C90 D54 9答案：B 解析：根据题意， “负重扛机”可由 1 名男记者或 2 名男记者参加，当由 1 名男记者参加“负重扛机”工 作时，有 1 3 C种方法，剩余 2 男 2 女记者可分为 3 组参加其余三项工作，共有 23 43 C A种方法，故由 1 名男记 者参加“负重扛机”工作时，共有 123 343 108C C A 种方
7、法； 当由 2 名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余 1 男 2 女 3 名记者各参加一项工作，有 23 33 18CA种方 法故满足题意的不同安排方案数共有108 18126种 10若函数( ) x f xkxxe有两个正实数零点，则k的取值范围是（ ） A(0,) B 1 0, e C(0,1) D(0, ) e 10答案：C 解析：令( )0 x f xkxxe，得 x kxxe， 当0x 时， 1 1 x x xe k xxe ，令 1 ( )1 x g x xe ，则 2 1 ( )0 x x g x x e ，所以( )g x在(0,)上单 调递增，且当0x 时，( )g x ；当
8、x 时，( )1g x ，作出( )yg x的图象如图所示， 由题意知，直线yk与( )yg x的图象有两个交点，所以01k 1 O 11已知点(,0) (0)Fcc是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的 直线与圆 222 xyc交于点F和另一个点P，且点P在抛物线 2 4ycx上，则该双曲线的离心率是 （ ） A5 B 35 2 C 51 2 D 51 2 11答案：C 解析：如图，由 222 xyc及 2 4ycx及题意可取( 52) , 252 )Pcc，又点P在过F与渐近线 平行的直线() b yxc a 上，所以252( 52) b
9、 ccc a ， 252 51 b a ， 2222 2 222 4( 52)5151 11, 2262 5 cabb ee aaa 12已知三棱柱 111 ABCABC的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在平面截球面所得圆 的大小相同，若球O的表面积为20，则三棱柱的体积为（ ） A6 3 B12 C12 3 D18 12答案：A 解析：设球O的半径为R，则由 2 420R，得 2 5R ，设正三棱柱的高为h，底面边长为a，五个面 截球所得小圆半径均相等，设为r，则 222 4rah， 3 3 ra，所以 22 3ah， 又 2 2222 222 5 5 23444 hahhh R
10、rh ，可得2h ，所以 2 12a ， 所以三棱柱的体积 2 33 12 26 3 44 Va h 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知点(sin35 , cos35 )P为角终边上一点，若0360，则 P F O 13答案：55 解析：由题意知cossin35cos55 ,sincos35sin55 ，点P在第一象限，55 14已知两条不同的直线,m n，两个不重合的平面, ，给出下面五个命题： / ,mn mn； /,/mnmn； / ,/mn mn； ,/mm； /,/ ,mn mn其中正确命题的序号是 14答案： 解析：命题，显然
11、正确；命题，,m n可能为异面，故为假命题； 命题，可能n，故为假命题；命题由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知为真 命题；命题，由/ ,mn m，得n，又/，所以n，故为真命题 综上，正确的命题为 15学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁 四位同学对这四项参赛作品预测如下， 甲说： “是 C 或 D 作品获得一等奖” ； 乙说： “B 作品获得一等奖” 丙说： “A，D 两项作品未获得一等奖” ； 丁说： “是 C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 15答案：B 解析：若获得一等奖的
12、是 A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都是错； 若获得一等奖的是 B，则乙、丙两位同学说的对，符合题意； 若获得一等奖的是 C，则甲、丙、丁三位同学说的都对； 若获得一等奖的是 D，则只有甲同学说的话对故获得一等奖的作品是 B 16已知ABC中，2 , 7sin4sinBAAC，则cos A 16答案： 11 4 解析：在ABC中，由7sin4sinAC及正弦定理可得74ac，即 7 4 ca， 因为2BA，所以sinsin22sincosBAAA，结合正弦定理得 sin cos 2sin2 Bb A Aa ， 又 2222222 497493 2cos2 1642164 b abcbcAba
13、baab a ， 22 1111 , 42 baba， 11 cos 24 b A a 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项都为正数的数列，其前n项和为 n S，且 n S为 n a与 1 n a 的等差中项 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 ( 1)n n n b a ，求 n b的前n项和 n T 17解析： （1）由题意知， 1 2 nn n Sa a ，即 2 21 nnn S
14、aa， 当1n 时，由式可得 1 1S ； 当2n时， 1nnn aSS ，代入式，得 2 11 2()()1 nnnnn SSSSS ， 整理得 22 1 1 nn SS ，所以数列 2 n S是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 2 11 n Snn 因为 n a各项均为正数，所以 n Sn，4 分 所以 1 1 (2) nnn aSSnnn ，又 11 1aS也符合上式，1 n ann 6 分 （2） ( 1)( 1) ( 1) (1) 1 nn n n n bnn ann ， 当n为奇数时，1 ( 21)( 32)(12)(1) n Tnnnnn ； 当n为偶数时，1 ( 21)(
15、32)(12)(1) n Tnnnnn 所以 n b的前n项和为( 1)n n Tn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 等边三角形ABC的边长为 3，点,D E分别是边,AB AC上的点，且满足 1 2 ADCE DBEA ，如图甲，将 ADE沿DE折起到 1 ADE的位置，使二面角 1 ADEB为直二面角，连接 11 ,AB AC，如图乙 （1）求证：BD 平面 1 ADE （2）在线段BC上是否存在点P，使平面 1 PAE与平面 1 ABD所成的角为60？若存在，求出PB的长； 若不存在，请说明理由 A BC D E E C B D A1 甲甲乙乙 18解析： （1）因为等边三角形
16、ABC的边长为 3，且 1 2 ADCE DBEA ，所以1,2ADAE， 在ADE中，60DAE，由余弦定理得 222 122 1 2 cos603DE ， 从而 222 ADDEAE，所以ADDE，即BDDE2 分 因为二面角 1 ADEB是直二面角，所以平面 1 ADE 平面BCED， 又平面 1 ADE 平面,BCDEDE BDDE，所以BD 平面 1 ADE6 分 （2）存在 由（1） 的证明可知， 1 ,BD DA DE两两垂直， 以D为坐标原点，分别以 1 ,DB DE DA所在的直线为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 设2PBa，作PHBD于点H，连接 1
17、1 ,AH AP PE，则,3 ,2BHa PHa DHa， 所以 1 (0,0,0),(0,0,1),(2,3 , 0),(0, 3,0)DAPaaE， 所以 11 (2,3 ,1),(0, 3, 1)APaaAE ， 显然平面 1 ABD的一个法向量为(0,1,0)m ，设( , , )nx y z 为平面 1 PAE的一个法向量， 由 1 1 (2)30 30 n APa xayz n AEyz ，得 3 (2)3(1)0 zy a xay ， 取2ya，则3(1)xa，3(2)za，( 3(1),2,3(2)naaa ，8 分 所以 22222 221 cos60cos, 2 3(1)
18、(2)3(2)3(1)4(2) m n aa m n mnaaaaa ， 222 3(1)4(2)4(2)aaa，解得1a 所以存在点P，且2PB ，使平面 1 PAE与平面 1 ABD所成的角为6012 分 E C B D A1 x y z P 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 2 2 ，点(0,1)P在短轴CD上，且1PC PD （1）求椭圆E的方程； （2）过点P的直线l与椭圆E交于,A B两点，若 1 2 PBAP ，求直线l的方程 19 （1）由题意知， 2 2 c e a ，得22acb，不妨取(0, ),(0,)Cb
19、Db，则 22 (1)(1)11,2,2PC PDbbbba ， 所以椭圆E的方程为 22 1 42 xy 4 分 （2）当直线l的斜率不存在时， 1 (0,21),(0,21), 2 PBAPPBAP ，不符合题意6 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1ykx，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy 联立方程得 22 1 42 1 xy ykx ，整理得 22 (12)420kxkx， 由根与系数的关系，得 1212 22 42 , 1212 k xxx x kk ，8 分 由 1 2 PBAP ，得 221121 11 (,1)(,1), 22 xyxyxx ， 2 11
20、 22 84 , 1212 kk xx kk ，解得 2 114 , 1414 kk ， 所以直线l的方程为 14 1 14 yx 12 分 20 （本小题满分 12 分） 已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 1 3 ，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试 验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果 种子没有发芽，则称该次试验是失败的 （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率； （2）第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望； （3）第三小组进行试验，到成功了四次为止
21、，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连 续失败的概率 20解析： （1）该小组恰有两次失败的概率 22 2 4 12248 338127 PC 3 分 （2）由题意可知X的取值集合为0,2,4， 则 22 2 4 12248 (0) 338127 P XC ， 33 13 44 121232840 (2) 33338181 P XCC ， 44 2116 117 (4) 338181 P X 7 分 故 X 的分布列为： X 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 84017148 ()024 27818181 E X ，即所求的数学期望为148 81 9 分 （3）由
22、题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有 3 6 20C （个）基本事件，而满足恰 有两次连续失败的基本事件共有 2 4 12A （个） ，从而由古典概型可得所求概率 123 205 P 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 ( ) x f xxexaxb，曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程为4230xy （1）求, a b的值； （2）证明：( )lnf xx 21解析： （1）( )(1)2 x fxxeaa，由题意知 (0)12 3 (0) 2 fa fb ， 解得 3 1, 2 ab 4 分 （2）由（1）知 2 3 ( ) 2 x f xx
23、exx，设 2 ( )ln x h xxexxx，则只需证明 3 ( ) 2 h x 2 121(1)(21)1 ( )(1)21(1)(1)(1)2 xxxx xxxx h xxexxexexe xxxx ， 设 1 ( )2 x g xe x ，则 2 1 ( )0,( ) x g xeg x x 在(0,)上单调递增 11 34 11 240,230 43 gege ，存在 0 1 1 , 4 3 x ，使得 0 0 0 1 ()20 x g xe x ， 且当 0 (0,)xx时，( )0,( )0, ( )g xh xh x单调递减， 当 0 (,)xx时，( )0,( )0, (
24、)g xh xh x单调递增， 0 2 min00000 ( )()ln x h xh xx exxx，由 0 0 1 20 x e x ，得 0 0 1 2 x e x ， 22 00000000 0 1 ()2ln1 lnh xxxxxxxx x 9 分 设 2 1 1 ( )1 ln , 4 3 xxxx x ，则 1(21)(1) ( )21 xx xx xx ， 所以当 1 1 , 4 3 x 时，( )0,( )xx在 1 1 , 4 3 上单调递减， 2 00 111173 ()()1 lnln3 333392 h xx ， 因此 3 ( ) 2 h x ，即( )lnf xx1
25、2 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 2 :sin2 cosCa (0)a ，过点( 2, 4)P 的直线 2 2 2 : 2 4 2 xt l yt （t为参数）与曲线C相交于,M N两点 （1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （2）若,PMMNPN成等比数列，求实数a的值 22解析： （1）由 2 sin2 cosa，得 22 sin2cosa，由cos ,sinxy， 得曲
26、线C的直角坐标方程为 2 2(0)yax a，3 分 由 2 2 2 2 4 2 xt yt （t为参数） ，消去参数t得直线l的普通方程为20xy5 分 （2）将 2 2 2 2 4 2 xt yt （t为参数）代入 2 2yax，整理得 2 2 2(4)8(4)0ta ta7 分 设,M N两点对应的参数分别为 12 ,t t，则 121 2 2 2(4),8(4)tta t ta，8 分 由题意知， 2 22 12121 21 2 ,()()4MNPMPNttttt tt t， 2 121 2 ()5ttt t， 2 8(4)5 8(4),1aaa 10 分 23 【选修 45：不等式选
27、讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )211f xxx （1）解不等式( )2f x ； （2）记函数( )( )()g xf xfx，若对任意的Rx，不等式1( )kg x恒成立，求实数k的取值范 围 23解析： （1）依题意得 1 3 , 2 1 ( )2,1 2 3 ,1 xx f xxx xx ， 于是得 1 2 32 x x 或 1 1 2 22 x x 或 1 32 x x ，解得 2 3 x 或01x或1x 故不等式( )2f x 的解集为 2 ,(0,) 3 5 分 （2）( )( )()112121(1)(1)(21)(21)4g xf xfxxxxxxxxx 当且仅当 (1)(1)0 (21)(21) xx xx 0 0 ，即 1 1 , 2 2 x 时取等号， 若对任意的Rx，不等式1( )kg x恒成立，则 min 1( )4kg x，所以414k ， 解得35k ，即实数k的取值范围为( 3,5)10 分
