1、2019 年高中毕业年级第一次质量预测年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学试题卷理科数学试题卷 第第卷卷（选择题选择题） 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 个小题个小题,每小题每小题 5 分分,共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题只有一项是符合题 目要求的目要求的 1若复数1 2 i () 2i a aR 的实部和虚部相等，则实数a的值为（ ） A1 B1 C 1 6 D 1 6 1答案：C 解析：1 2 i(12 i)(2i)(22 )(41)i 2i
2、(2i)(2i)5 aaaa ，所以2241aa，解得 1 6 a 2已知集合 | 34Mxx， 2 |280Nx xx ，则（ ） AMNR B | 34MNxx C | 24MNxx D | 24MNxx 2答案：D 解析： 2 |280 |(2)(4)0 | 24Nx xxxxxxx， 所以 | 34MNxx， | 24MNxx 3已知矩形ABCD中，24BCAB，现向矩形ABCD内随机投掷质点M，则满足0MB MC 的 概率是（ ） A 4 B 4 4 C 2 D 2 4 3答案：B 解析：满足0MB MC 的点在以BC为直径的圆外（含边界） ， 则所求概率 2 1 2 42 2 44
3、 4 2 P 4下列函数既是奇函数，又在 1,1上单调递增的是（ ） A( )sinf xx B( )ln ex f x ex C 1 ( )() 2 xx f xee D 2 ( )ln(1)f xxx 4答案：C 解析：选项 A，()sin()sinsin( )fxxxxf x ，所以( )f x为偶函数； 选项 B， 定义域为(, )e e， 且( )()lnlnlnln10 exexex ex f xfx exexex ex ， 所以( )f x 为奇函数，因为 ()22 ( )lnlnln1 exxeee f x exexex ，所以( )f x在(, )e e上单调递减； 选项 C
4、， 1 ()()( ) 2 xx fxeef x ，故( )f x为奇函数，显然( )f x在 1,1上单调递增，故选 C； A BC D 选项 D， 22 ( )()ln(1)ln(1)ln10f xfxxxxx ，所以( )f x为奇函数， 又 2 ( )ln(1)f xxx ，所以( )f x在 1,1上单调递减 5在ABC中，三边长分别为a，2a，4a，最小角的余弦值为 13 14 ，则这个三角形的面积为 （ ） A153 4 B15 4 C 21 3 4 D 35 3 4 5答案：A 解析： 最小角的余弦值为 2222 2 (2)(4)122013 2(2)(4)2(68)14 aa
5、aaa aaaa ， 整理得 2 60aa， 解得3a 或2a （舍去） ，所以ABC的三边长为 3，5，7， 2 113 5 71 214 15 3 4 ABC S 6如图，在ABC中， 2 3 ANNC ，P是BN上一点，若 1 3 APtABAC ，则实数t的值为（ ） A BC N P A 2 3 B 2 5 C 1 6 D 3 4 6答案：C 解析： 25 , 32 ANNCACAN ，所以 15 36 APtABACtABAN ，因为,P N B三点共线， 所以 51 1, 66 tt 7已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 1 F， 2 F
6、，实轴长为 6，渐近线方程为 1 3 yx ，动点M在双曲线左支上，点N为圆 22 :(6)1E xy上一点，则 2 MNMF的最小值 为（ ） A8 B9 C10 D11 7答案：B 解析：依题意可知3,1,10abc 211 664610MEMFMEMFEF， 所以 minm n 2 i 2 19MNMFMEMF 2 1 1 2 3 4 6422 E F2F1 O M 8 已知函数( )sin()(0,) 22 f xx 的图像相邻的两个对称中心之间的距离为 2 ， 若将 函数( )f x的图像向左平移 6 后得到偶函数( )g x的图像，则函数( )f x的一个单调递减区间为（ ） A,
7、 8 6 B 7 , 4 12 C0, 3 D 5 , 26 8答案：B 解析： 2 ,2 22 T T T ，( )f x的图像向左平移 6 后得到 ( )sin 2 66 g xfxx sin 2 3 x 为偶函数，所以, 32 kkZ ， 所以, 6 kkZ ，又因为 22 ，所以 6 由 3 222, 262 kxkkZ ，得 2 , 63 kxkkZ ， 因为 72 , 4 1263 ，故选 B 9如图，网格纸上小正方形的边长为 2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A16 2(32 16 216 5) B16 2(16 16 216 5) C16 2(323
8、2 232 5) D16 2(1632 232 5) 9答案：A 解析：该几何体最上面是一个正四棱柱，下面是两个倒扣的圆锥，其表面积 2 16 2(32 14 2 22244 4 26 216 5)4 4 5S 10 已知直三棱柱 111 ABCABC中的底面为等腰直角三角形，ABAC， 点M，N分别是边 1 AB， 1 AC 上动点，若直线/MN平面 11 BCC B，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为（ ） A双曲线的一支（一部分） B圆弧（一部分） C线段（去掉一个端点） D抛物线的一部分 10答案：C 解析：平移平面 11 BCC B，使其与 1111 ,AB AB AC AC交于
9、11 ,M MN N，则四边形 11 MM NN为矩形， 且线段MN的中点Q为矩形 11 MM NN的中心，设 1 AA的中点为D，矩形 11 BCC B的中心为E，则点Q在 线段DE上，包括D，但不包括E 11抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足60AFB， 过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则 AB CD 的最小值为（ ） A3 B1 C 2 3 3 D2 11答案：B 解析： 22222 2cos60ABAFBFAFBFAFBFAFBF ， 11 11 22 CDAABBAFBF， 则 2 2 2 222 2 41212 4
10、 4AB AFBF CDAFBF AFBFAFBF AFBF AFBFA AFB FBF F 12 41 4 AFBF AFBF ，所以1 AB CD ，当且仅当AFBF 时等号成立，即 AB CD 的最小值为 1 Q M M1 N1 B1 A1 C1 A C B N 12已知函数 2 32 36 ,0, ( ) 34,0, xx x f x xxx 设| ( ( )0AxZ x f xa，若 1 A中有且仅有 4个元素， 则满足条件的整数a的个数为（ ） A31 B32 C33 D34 12答案：D 解析：当0x 时， 32 (4)3fxxx， 2 ( )363 (2)fxxxx x ，当2
11、x 时，( )0fx， ( )f x单调递减；当20x 时，( )0,( )fxf x单调递增，且( 2)0f ，作出( )f x的图象如图所示， 由( ( )0x f xa，当0x 时满足题意；当0x 时，需( )f xa；当0x 时，需( )f xa 又( 4)20,( 3)4,( 2)0,( 1)2,(0)0,(1)3,(2)0,(3)9,(4)24fffffffff ， 要保证集合 1 A中有且仅有 4个元素，由图可知当0a ，或9, 10, 23a ，或2,3,4,19a 时 满足题意，故满足条件的整数a的个数为 34 第第卷卷（非选择题非选择题） 二二、填空题填空题（每题每题 5
12、分分，满分满分 20 分分，将答案填在答题纸上将答案填在答题纸上） 13已知 2 1 ()nx x 的展开式的各项系数和为 64，则展开式中 3 x的系数为 13答案：20 解析：令1x ，得 2 1 ()nx x 的展开式的各项系数和为264,6 n n，则展开式中含 3 x的项为 3 32 33 6 1 ()20Cxx x ，所以展开式中 3 x的系数为 20 7 6 5 4 3 2 1 1 2 422 O D C A1 B1 B OF A D C B1 A1 B OF A 14已知变量x，y满足 240, 2, 60, xy x xy 则 1 3 y z x 的取值范围是 14答案： 1
13、3, 4 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中 8 10 (2,3),(2,4), 3 3 ABC ， 1 3 y z x 表示可行域内的点与 点(3, 1)P连线的斜率，4,13 PAPC kk ，所以 1 3 y z x 的取值范围是 13, 4 Ox y A B C P 15 中国诗词大会 （第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计 的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若沁园春长沙 、 蜀道难 、 敕勒歌 、 游子吟 、 关山月 、 清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面， 沁园春长 沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则
14、后六场的排法有 种 （用数字作答） 15答案：144 解析：, ,A B C D E F排序，B在D的前面，,A F不相邻且均不排在最后， 先排,B C D E， 共有 4 4 24A 种方法，其中B在D的前面的有 12 种方法，产生 4个空位（不包括最后一个空位） ，再安排,A F插入 4 个空位，共有 2 4 12A 种方法，所以后六场的排法有12 12144种 16如图放置的边长为 1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点设顶点( , )P x y的轨迹方程是 ( )yf x，则对函数( )yf x有下列判断：函数( )yf x是偶函数；对任意的xR，都有 (2)(2)f xf x
15、；函数( )yf x在区间2,3上单调递减；函数( )yf x的值域是0,1； 2 0 1 ( ) 2 f x dx 其中判断正确的序号是 16答案： 解析：点P的运动轨迹如图所示，由图可知，函数( )yf x是周期为 4的偶函数，故正确， 函数( )yf x在区间 2, 1上单调递增，所以在区间2,3上单调递增，故错误； 函数( )yf x的值域是0,2，故错误； 2 2 0 111 ( )( 2)1 1 8242 f x dx ，故正确 x y O 三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必
16、考题，每个试题考每个试题考 生都必须作答生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答 17 已知数列 n a为等比数列，首项 1 4a ，数列 n b满足 2 log nn ba，且 123 12bbb （）求数列 n a的通项公式； （）令 1 4 nn nn ca bb ，求数列 n c的前n项和 n S 17 解析： （）由 2 log nn ba和 123 12bbb得 2123 log ()12a a a， 12 123 2a a a 2分 设等比数列 n a的公比为q， 1 4a ， 26312 123 4 4422a a aqqq，计算得出
17、4q 4分 1 4 44 nn n a 6分 （）由（）得 2 log 42 n n bn， 41 44 22(1)(1) nn n c nnn n 11 4 1 n nn 7分 设数列 1 (1)n n 的前n项和为 n A，则 11111 1 2231 n A nn 1 n n 9分 设数列4 n 的前n项和为 n B，则 4444 (41) 143 n n n B ，11 分 4 (41) 13 n n n S n 12 分 18 已知四棱锥中PABCD，底面ABCD为菱形，60ABC，PA 平面ABCD，E、M分别 是BC、PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为 15 5
18、，点F在PC上移动 P A B C D E F M （）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF 平面PAD； （）求点F恰为PC的中点时，二面角CAFE的余弦值 18解析： （）证明：连接AC，底面ABCD为菱形，60ABC，ABC是正三角形， E是BC中点， AEBC 又/ADBC， AEAD， PA 平面ABCD，AE 平面ABCD， PAAE，又PAAEA ，AE 平面PAD， 又AE 平面AEF，平面AEF 平面PAD4 分 （）由（）得，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，5 分 AE 平面PAD，AME就
19、是EM与平面PAD所成的角， 在RtAME中， 15 sin 5 AME，即 6 2 AE AM ，设2ABa，则3AEa，得2AMa， 又2ADABa，设2PAb，则(0, , )Ma b，所以 22 2AMaba， 从而ba，2PAADa，7 分 则(0,0,0)A，( 3 ,0)Baa，( 3 , ,0)Ca a，(0,2 ,0)Da，(0,0,2 )Pa，( 3 ,0,0)Ea， 3 (, ) 22 a a Fa， 所以( 3 ,0,0)AEa ， 3 (, ) 22 a a AFa ，(3 ,3 ,0)BDaa ，8 分 设( , , )nx y z 是平面AEF一个法向量， 则 0
20、 0 n AE n AF 30 3 0 22 ax axay az 取za，得(0, 2 , )na a 9 分 又BD 平面ACF，(3 ,3 ,0)BDaa 是平面ACF的一个法向量，10分 cos, | | n BD n BD nBD 2 615 552 3 a aa ，11 分 二面角CAFE的余弦值为 15 5 12分 P A B C D E F M x y z 19 2012 年 12月 18 日， 作为全国首批开展空气质量新标准监测的 74个城市之一， 郑州市正式发布2.5PM 数据 资料表明， 近几年来， 郑州市雾霾治理取得了很大成效， 空气质量与前几年相比得到了很大改善 郑
21、州市设有 9 个监测站点监测空气质量指数（AQI） ，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设 有 2, 5, 2个监测站点，以 9 个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量 （） 若某日播报的AQI为 118， 已知轻度污染区AQI的平均值为 74， 中度污染区AQI的平均值为 114， 求重度污染区AQI的平均值； （）如图是 2018 年 11月的 30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在170,180)内 组数 分组 天数 第一组 50,80) 3 第二组 80,110) 4 第三组 110,140) 4 第四组 140,170) 6 第五组 170,200)
22、5 第六组 200,230) 4 第七组 230.260) 3 第八组 260,290) 1 郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以公布的AQI为标准，如果AQI小于 180，则去 进行社会实践活动以统计数据中的频率为概率，求该校周日进行社会实践活动的概率； 在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数 据中抽取 3 天的数据进行评价，设抽取到AQI不小于 180 的天数为X，求X的分布列及数学期望 19解析： （）设重度污染区AQI的平均值为x，则74 2 114 52118 9x ，解得172x 即重度污染区AQI平均值为 1722
23、 分 （）由题意知，AQI在170,180)内的天数为 1， 由图可知，AQI在50,170)内的天数为 17 天，故 11 月份AQI小于 180的天数为1 1718， 又 183 305 ，则该学校去进行社会实践活动的概率为 3 5 5分 由题意知，X的所有可能取值为 0，1，2，3，且 30 1812 3 30 204 (0) 1015 C C P X C ， 21 1812 3 30 459 (1) 1015 C C P X C ， 12 1812 3 30 297 (2) 1015 C C P X C ， 03 1812 3 30 11 (3) 203 C C P X C ，10分
24、则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 204 1015 459 1015 297 1015 11 203 数学期望EX 20445929711 0123 101510151015203 6 5 12 分 20 设点M为圆 22 :4C xy上的动点，点M在x轴上的投影为N，动点P满足23PNMN ， 动点P的轨迹为E （）求E的方程； （）设E的左顶点为D，若直线: l ykxm与曲线E交于两点A，B（A，B不是左右顶点） ，且 满足DADBDADB ，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标 20 解析： （）设点 00 (,)M xy，( , )P x y，由题意可知 0 (,0)N x
25、 23PNMN ， 00 2(,)3(0,)xxyy，2 分 即 0 xx， 0 2 3 yy，又点M在圆 22 :4C xy上 ， 22 00 4xy 代入得 22 1 43 xy ，即轨迹E的方程为 22 1 43 xy 4分 （）由（）可知( 2,0)D ，设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 联立 22 1 43 ykxm xy 得 222 (34)84(3)0kxmkxm， 222 (8)4(34)(412)mkkm 22 16(1239)0km 即 22 340km， 22 1,2 2 816(1239) 2(34) mkkm x k 12 2 8 34 mk x
26、x k 2 12 2 4(3) 34 m x x k 7 分 又 1212 ()()y ykxm kxm 22 1212 ()k x xmk xxm 22 2 312 34 mk k DADBDADB ，DADB ，即0DA DB 即 1122 (2,) (2,)xyxy 121212 2()40x xxxy y 222 222 4128312 24 343434 mmkmk kkk 0 22 71640mmkk10分 解得 1 2mk， 2 2 7 mk，且均满足即 22 340km 当 1 2mk时，l的方程为2(2)ykxkk x，直线恒过( 2,0)，与已知矛盾； 当 2 2 7 mk
27、，l的方程为 22 () 77 ykxkk x，直线恒过 2 (,0) 7 所以，直线l过定点，定点坐标为 2 (,0) 7 12 分 21 已知函数 2 ( )8ln ()f xxxax aR （）当1x 时，( )f x取得极值，求a的值并判断1x 是极大值点还是极小值点； （）当函数( )f x有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，且 1 1x 时，总有 2 1 11 1 ln (43) 1 ax txx x 成立， 求t的 取值范围 21 解析： （） 2 28 ( )(0) xxa fxx x ，(1)0 f ，则6a 从而 2(1)(3) ( )(0) xx fxx x ，
28、所以(0,1)x时，( )0fx，( )f x为增函数； (1,3)x时，( )0fx，( )f x为减函数，所以1x 为极大值点4 分 （）函数( )f x的定义域为(0,)，有两个极值点 1 x， 212 ()x xx，则 2 ( )280t xxxa在(0,)上有两个不等的正实根，所以08a， 由 12 12 12 4 2 xx a x x xx 可得 1 11 02 2 (4) x axx 从而问题转化为在 1 02x，且 1 1x 时 2 1 11 1 ln (43) 1 ax txx x 成立6 分 即证 2 111 11 1 2 (4)ln (43) 1 xxx txx x 成立
29、，即证 11 1 1 2ln (1) 1 xx t x x ，即证 11 1 1 2ln (1)0 1 xx t x x ， 亦即证 2 11 1 11 (1) 2ln0 1 xt x x xx 令 2 (1) ( )2ln(02) t x h xxx x 则 2 2 2 ( )(02) txxt h xx x 1)当0t时，( )0h x，则( )h x在(0,2)上为增函数且(1)0h，式在(1,2)上不成立 2)当0t 时， 2 44t 若0，即1t时，( )0h x，所以( )h x在(0,2)上为减函数且(1)0h， 1 1 1 x x 、 2 1 1 1 (1) 2ln t x x
30、 x 在区间(0,1)及(1,2)上同号，故式成立 若0 ，即10t 时， 2 2ytxxt的对称轴 1 1x t ， 令 1 min(,2)a t ，则1xa时，( )0h x ，不合题意 综上可知：1t满足题意12分 选考题选考题：共共 10 分分请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，如果多选如果多选，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 22 1: (3)9Cxy，A是曲线 1 C上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90得到点B，设点B的轨迹方程
31、为曲线 2 C （）求曲线 1 C， 2 C的极坐标方程； （）射线 5 (0) 6 与曲线 1 C， 2 C分别交于P，Q两点，定点( 4,0)M ，求MPQ的面积 22解析： （）曲线 22 1: (3)9Cxy，把公式 cos sin x y 代入可得： 曲线 1 C的极坐标方程为6sin 设( , )B ，则( ,) 2 A ，则有6sin()6cos 2 所以，曲线 2 C的极坐标方程为6cos 5 分 （）M到射线 5 6 的距离为 5 4sin2 6 d ， 射线 5 6 与曲线 1 C交点为 5 (3,) 6 P ，射线 5 6 与曲线 2 C交点为 5 (3 3,) 6 Q
32、3 33PQ 故 1 3 33 2 SPQd10 分 23选修 45：不等式选讲 已知函数( )3222 ()f xxaxaR （）当 1 2 a 时，解不等式( )6f x ； （）若对任意 0 xR，不等式 000 ()3422f xxx都成立，求a的取值范围 23解析： （）当 1 2 a 时，不等式( )6f x 可化为31226xx ， 当 1 3 x 时，不等式即1 3226xx， 3 5 x ； 当 1 1 3 x时，不等式即31226xx ，x； 当1x 时，不等式即31226xx ， 9 5 x 综上所述不等式的解集为 39 55 x xx 或5 分 （）不等式 000 ()3422f xxx可化为 00 3234xax 令( )323g xxax 2 62 , 3 2 2 , 3 a xa x a a x ，所以函数( )g x的最小值为2a， 根据题意可得24a ，即2a ，所以a的取值范围为(2,)10分
