1、平面几何射影几何点 齐次表示：直线 二次曲线 ax+bxy+cy+dx+ey+f=0平行线 平行直线无交点 点 齐次表示:直线 齐次表示:二次曲线 其中二次曲线系数矩阵c：平行线 平行直线交与理想点无穷远线 所有理想点的集合 0cxxTTxxx),(321xTcba),(lfedecbdba2/2/2/2/2/2/c),(yx0cbyax1.1 平面几何与射影几何的对比：1.2 2D射影平面Tyx)0,(lT)1,0,0(0lxTllxxxl1.2.1 点与直线：结论1.1：点X在直线L上的充要条件是：结论1.2：两直线L和L的交点是点X：结论1.3：过两点X和X的直线L是：1.2.2 理想点
2、与无穷直线理想点的齐次表示:无穷直线的齐次表示：=射影平面的模型：oxl理想点2x3x1x结论1.4：对偶原理 2维射影集合中的任何定理都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换定理中的点和线的作用而导出。射影平面的模型。IP的点和线分别表示为过IR中过原点的射线和平面。X1X2-上的射线表示理想点，而 x1x2-平面表示 l1.2.3 二次曲线与对偶二次曲线二次曲线的切线：cxl 结论1.5 过（非退化）二次曲线C上点X的切线L由对偶二次曲线：结论1.6：对偶二次曲线C的切线L由0*lclT非退化二次曲线非满秩矩阵C所定义的二次曲线称作退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（
3、秩1）。1.3 射影变换定义1.7 射影映射射影映射是IP到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1，x2和x3共线当且仅当h(x1),h(x2)和h(x3)也共线。射影映射组成一个群群。定理1.8 映射h：IP IP是射影映射的充要条件是：存在一个3X3的非奇异矩阵H，使得IP的任何一个用矢量X表示的点都满足h（X）=HX。定义1.9 射影变换就是X=HX1.3.1 直线与二次曲线的变换直线的变换：lHlT二次曲线的变换：在点变换X=HX下，1HHTcc结论1.10 在点变换X=HX下，对偶二次曲线 变化为*CTHHCC*1.4 变换的层次等距变换相似变换仿射变换射影变换射影变换的层次
4、图1.4.1 等距变换1100cossinsincos1yxttyxyx等距变换的矩阵表示：其中 1简洁的分块形式写为：xotRxHxTE1等距变换就是图形进行一个旋转和位移得到另一个图形的过程。等距变换失真情况1.4.2 相似变换相似变换的矩阵表示：1100cossinsincos1yxtsstssyxyx简洁的分块形式写成：xosRxHxTS1t其中s为缩放量，。等距变换的不变性质不变性质：长度，面积相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。相似变换失真情况相似变换的不变性质不变性质：长度比，夹角，虚圆点。1.4.3 仿射变换仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合。它的矩
5、阵表示为：1100122211211yxtaataayxyx它的分块形式：x1tAxxT0AH可以把仿射变换中A看作两个基本变换旋转和非均匀缩放的复合。仿射变换的失真情况仿射变换的不变性质不变性质：平行，面积比，共线线段或平行线段的长度比，矢量的线性组合1.4.4 射影变换射影变换的分块形式：xvtAxHxTPv射影变换是在仿射变换的基础上进行的非线性的缩放。它的不变性质不变性质：共点，共线，接触的阶：相交；相切；拐点；切线不连续性和歧点。交比。1.5 1D射影几何交比交比 交比是射影不变量。给定4个点 ，交比定义为：ix42314321)(xxxxxxxxCross4321x,x,x,x在任
6、何直线的射影变换下，交比的值不变：如 则：xHx2X2),(),(43214321xxxxCrossxxxxCross1.6 从图像恢复仿射和度量性质1.6.1 无穷远线l1001001AtoAlHlTTTTA结论1.11 由上式可知在射影变换H下，无穷远直线为不动直线的充要条件是H是仿射变换。1.6.3 虚圆点及其对偶在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点，它们是虚圆点I,J，其标准坐标是：oioi11JI结论1.12 在射影变换H下的，虚圆点I和J为不动点的充要条件是H是相似变换。01100cossinsincositsstssyxIHIsI01isei与虚圆点对偶的二次曲线 二次曲线TT
7、*JIIJC与虚圆点对偶。这条曲线是由虚圆点构成的退化的线二次曲线。*TS*S*CHCHCT*HHCC xHxS因为对偶二次曲线变换遵循结论 ，可以验证在点相似变换 下：结论1.13 对偶二次曲线 在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。*C1.6.4 射影平面上的夹角结论1.13 一旦二次曲线 在射影平面上被辨认，那么欧氏角可以测量，公式为：*C)(cos*mCmICImCITTT结论1.14 如果 ，则直线I和m正交。0mCI*T1.6.5 由图像恢复度量性质结论1.15 在射影平面上，一旦 被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。*C1.7 二次曲线的其他性质1.7.1极点-极线关系点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C的极线，而点X称为L关于C的极点。xcl如果点在C上，则它的极线就是二次曲线过点X的切线。1.8 不动点与直线eHe变换的一个特征矢量对应一个不动点，由下面的公式可知：同理变换的一个特征矢量对应一个不动直线：llHT 谢谢！
