1、山西省 2019 届高三第一次联考 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1 2 1 i (1 i) （ ） A 11 i 22 B 11 i 22 C2i D2i 1答案：B 解析： 22 1 i1 i(1 i) i11 i (1 i)2i2i22 2已知集合 2 |ln1, |0NAxxxBx xx，则AB （ ） A0,1 B(0,1 C1 D(0, e 2答案：C 解析： 2 |ln1,|0,1,2, |0 |01NN
2、AxxxXxe xBx xxxx， 所以1AB 3已知数列 n a是递增的等比数列， n S是其前n项和，若 1625 33,32aaa a，则 5 S （ ） A62 B48 C36 D31 3答案：D 解析： 161 61625 33,1 3232 aaa aa aa a 或 1 6 32 1 a a ，又因为数列 n a单调递增， 1 6 1 32 a a ， 5 6 5 1 32,2,1248 1631 a qqS a 4已知函数 2 ( )(2 )g xfxx是奇函数，且(1)2f，则( 1)f （ ） A 3 2 B1 C 3 2 D 7 4 4答案：A 解析：由()( )0gxg
3、 x，得 22 ( 2 )(2 )0fxxfxx， 2 ( 2 )(2 )2fxfxx， 令 1 2 x ，得： 1 ( 1)(1) 2 ff，又(1)2f， 3 ( 1) 2 f 5执行如图所示的程序框图，则输出的S （ ） A23 B76 C237 D69 5答案：B 解析：0,13 0 11,12393 1 36,3259SiSiSi 3 6523,52793 23776,729SiSi ，退出循环，输出76S 6某公司安排甲、乙、丙、丁 4 人到 A，B，C 三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必须有人 去，则 A 城市恰好只有甲 1 人去的概率为（ ） A 1 5 B 1 4
4、C 1 3 D 1 6 6答案：D 解析： 由题意知，其中一个城市必须有 2 人去，即把 4 人分成 3 组，每组分别有 2 人，1 人，1 人，共有 2 4 C种分法，再将他们分到三个城市，共有 23 43 C A种分法若A城市恰好只有甲 1 人，则把剩下的 3 人分成 2 组，每组分别有 2 人，1 人，共有 2 3 C种分法，再把他们分到,B C两个城市，共有 22 32 C A种分法，因此所 求概率 22 32 23 43 1 6 C A P C A 7 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的各个面的面积中， 最大的面积是（ ） A2 B5
5、 C6 D2 2 7答案：C 解析：由三视图可知，该几何体为四面体，记为四面体ABCD，将其放入长方体中，如图，易知长方体 的高为 1，,2ABBC ADDC ABAD，则2 2,5BDBCCD， 所以 111 2 22,255,2 2526 222 ABDABCADCBDC SSSS ， 所以BDC的面积最大，为6 AB D C 8已知 5 1 ax x 的展开式中 3 x的系数为5，则曲线 1 y x 与直线,ya xa xe所围成的图形的 面积是（ ） A1 B1 Ce D2e 8答案：D 解析： 5 1 ax x 的展开式含 3 x的项为 1 1423 5 1 ()5Caxa x x
6、，所以 22 55,1,1aaa ， 曲线 1 y x 与直线1,1,yxxe所围成的图形的面积是 1 1 1 1(ln )ln(1 ln1)2 e e dxxxeee x 1 2 e 1 O1 9把函数( )sin2cos2f xxx的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数( )yg x的图象，则下列判断 错误的是（ ） A( )sin2cos2g xxx B函数( )yg x的图象关于直线 3 8 x 对称 C函数( )yg x在, 4 4 上单调递减 D函数( )yg x的图象关于点 3 ,0 8 对称 9答案：C 解析：( )sin(2)cos(2)sin2cos22sin 2 24
7、g xfxxxxxx ， 所以选项 A 正确，当 3 8 x 时，2 42 x ，所以选项 B 正确， 当, 4 4 x 时， 3 2, 444 x ，所以( )yg x在, 4 4 上不单调，C 错误； 当 3 8 x 时，2 4 x ，故选项 D 正确 10在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC， 1 BC与底面所成角的正切值为 2 6 3 ，三棱柱的各顶 点均在半径为 2 的球O的球面上，且2,60ACABC，则三棱柱 111 ABCABC的体积为（ ） A4 3 B 4 3 3 C4 2 D 4 2 3 10答案：C 解析：该三棱柱为直三棱柱，所以是圆柱模型，设ABC
8、的底面半径为r，则 24 3 2 sinsin603 AC r ABC ，所以 2 3 3 r ， 设三棱柱的高为h，则 2 22 2 h Rr ， 2 22 48 4 433 h Rr， 4 6 3 h， 1 CC 平面ABC，所以 1 BC与底面ABC所成角为 1 CBC， 1 1 4 6 2 6 3 tan,2 3 CC CBCBC BCBC ，所以ABC为正三角形， 2 3 23 4 ABC S ， 1 1 1 4 6 34 2 3 ABC A B CABC VSh 11已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于,P Q两点，,P Q两点在抛 物线的准线上
9、的射影分别为,M N，若4 3,4MFNF，则p （ ） A3 B2 C2 3 D4 11答案：C 解析：由抛物线的性质可知MFNF，又因为4 3,4MFNF，可知30FMN， 设准线与x轴交于点K，则 1 2 3 2 FKMF，所以2 3pFK N Q P M KF O 12已知函数( )(1)sin(0)f xa xxa恰有两个零点 12 ,x x，且 12 xx，则 11 tanxx（ ） A2 B2 C1 D1 12答案：D 解析：函数( )(1)sin(0)f xa xxa的零点，即方程(1)sin0a xx的根，即直线 (1) (0)ya xa和曲线sinyx交点的横坐标 画出直线
10、(1) (0)ya xa与曲线sinyx，如图 所示，则当直线(1) (0)ya xa与曲线sinyx恰有两个公共点 1122 ( ,sin),(,sin)A xxB xx，且 12 xx时，直线(1) (0)ya xa与曲线sinyx相切，又直线(1) (0)ya xa恒过点(1,0)，所 以切点为 11 ( ,sin)A xx，对sinyx求导，得cosyx ，于是 1 cosxa，所以 1 1 1 sin0 cos 1 x x x ， 得 11 tan1xx B A O 1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知向量(0,2),( 1,
11、 )abx ，且a 与b 的夹角为 6 ，则x 13答案：3 解析： 2 23 cos 62 2 1 a bx abx ，解得3x 14 在平面直角坐标系xOy中，(1,2)P是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线l上的一点， 12 ,F F 分别为双曲线的左、右焦点，若 12 90FPF，则双曲线的左顶点到直线l的距离为 14答案： 2 5 5 解析：由题意知双曲线的一条渐近线l的方程为 b yx a ，因为点(1,2)P在渐近线l上，所以2 b a ， 所以直线l的方程为2yx所以直线l的方程为2yx在 12 RtPFF中，原点O为线段 12 FF的中点， 所以
12、 12 1 2 OPFFc， 又 22 125OP ， 所以5c ， 又 222, 2 b cab a ， 所以1,2ab 则双曲线的左顶点的坐标为( 1,0)，该点到直线l的距离 22 22 5 5 1( 2) d F2 F1 P O 15 某企业生产的一种产品有大、 中、 小三种规格， 现需购买原材料， 某材料有两种包装， A 包装每包 1 000 元，可同时生产大、中、小三种规格的成品的件数分别为 20、50、35，B 包装每包 1 200 元，可同时生产 大、中、小三种规格的成品的件数分别为 30、20、30现需大、中、小三种规格的成品的件数分别为 270、 300、360，则购买 A
13、 包装原材料和 B 包装原材料的最低费用和为 元 15答案：12 000 解析：设需要 A 包装原材料x包，B 包装原材料y包，费用和为z元，则 2030270, 5020300, 3530360 0, 0, xy xy xy xx yy Z Z , , 即 2327, 5230, 7672 0, 0, xy xy xy xx yy Z Z , , 作出可行域， 如图中阴影部分中的整数点，10001200zxy， 即200(56 )zxy作出直线560xy，平移该直线，由图可知，当平移后的线经过点(6,5)M时， z最小，所以 min 200 (5 66 5)12 000z （元） 16 14
14、 12 10 8 6 4 2 2 4 51015 M O 16已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足2(3) nn Sn a， 2 5a ，若 17 111 , l aaa 成等差数列，则l 16答案：2 解析：由2(3) nn Sn a，得当2n时， 11 2(1)(3) nn Sna ，两式相减，得： 1 2(3)(1)(3) nnn an ana ，得 1 (2)(1)3 nn nana ， 当3n时， 11 33333 , 12(1)(2)121122 nnnn aaaa nnnnnnnnnn ， 当1n 时， 11 23aa，得 1 3a ， 数列 3 11 n a nn 从第
15、 2 项起是一个常数列，所以 2 3 32 11 n a a nn ，21(2) n ann， 又因为 1 3a 也符合上式，所以21 () n ann N 因为 17 111 , l aaa 成等差数列，所以 17 211 l aaa ，即 2112 213155l ，解得2l 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且 2 3 sin2 cos 2 BC
16、aCc （1）求角A的大小； （2）若7a ，ABC的面积是15 3 4 ，求ABC的周长 17解析： （1）在ABC中，ABC，所以coscossin 222 BCAA ， 根据正弦定理，得： 2 3sinsin2sinsin 2 A ACC，因为sin0C ，所以 2 3sin2sin 2 A A 解法一 所以 2 2 3sincos2sin 222 AAA ，又因为sin0 2 A ，所以3cossin 22 AA ， 所以tan3 2 A ，易知0, 0 22 A A ，所以 23 A ，故 2 3 A 6 分 解法二 所以3sin1 cosAA ，所以3sincos1AA，即 1 s
17、in 62 A ， 又 7 666 A ，所以 52 , 663 AA 6 分 （2）由题意得 1315 3 sin 244 ABC SbcAbc ，得15bc ，8 分 由余弦定理，得 2222222 2cos()()1549abcbcAbcbcbcbcbc， 所以 2 ()64,8bcbc，故ABC的周长为15abc12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形， 3 2, 4 BCABBCDPB 平面 PAC （1）求证：AC 平面PAB； （2）若2 2AB ，异面直线PC与AD所成的角为 6 ，求二面角BPCD的余弦值 P A BC
18、D 18解析： （1）由四边形ABCD是平行四边形和 3 4 BCD ，得 4 ABC ， 由余弦定理，得： 2222222 2cos22ACABBCAB BCABCABABABAB， 所以ACAB，所以, 42 ACBBAC ，即ACAB2 分 因为PB 平面,PACAC 平面PAC，所以PBAC， 又PB 平面,PABAB 平面,PABPBABB，所以AC 平面PAB4 分 （2）由2 2,2ABBCAB，得4BC ， 因为/BCAD，所以PCB是异面直线PC与AD所成的角， 又PB 平面PAC，所以PBPC，在BPC中，,4 26 BPCPCBBC ， 所以 1 2 2 PBBC， 易知
19、PBPA，所以在RtPAB中， 222 844,2PAABPBPA，6 分 取AB的中点E，连接PE，则PEAB，且 1 2 2 PEAB， 由（1）知AC 平面PAB，所以ACPE， 又AB 平面,ABCDAC 平面,ABCDACABA，所以PE 平面ABCD 如图，以A为坐标原点，,AB AC所在直线分别为, x y轴，过点A且与PE平行的直线为z轴，建立空间 直角坐标系，则(2 2,0,0),(0,2 2,0),( 2 2,2 2,0),( 2,0,2)BCDP，(2,2 2,2)PC ， ( 2 2,2 2,0),(2 2,0,0)BCDC ，设平面PBC的法向量为( , , )mx
20、y z ， 则 22 220 2 22 20 m PCxyz m BCxy ，取1x ，则1yz，所以(1,1,1)m ，8 分 设平面PDC的法向量为( , , )na b c ， 则 22 220 2 20 n PCabc n DCa ，则0a ，取1b ，则2c ，所以(0,1,2)n ，10 分 所以 15 cos, 5 m n m n mn ，由图可知二面角BPCD是钝角， 所以二面角BPCD的余弦值为 15 5 12 分 P A B C D E x y z 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点P在椭
21、圆上，且 1 PFx轴， 2 7 2 PF ， 离心率为 3 2 （1）求该椭圆的方程； （2）若斜率为k的直线l与该椭圆交于,A B两点，且直线OA与OB的斜率之和为定值1，其中O为坐 标原点，直线OA与OB不重合，当k取何值时，坐标原点O到直线l的距离最大？ 19解析： （1）由题意可得： 2 2 222 7 2 2 3 2 b PFa a abc c e a ，解得 2 1 3 a b c ，故椭圆方程为 2 2 1 4 x y （5 分） （2）设直线 1122 :,( ,),(,)l ykxm A x yB xy，联立方程，得 2 2 1 4 ykxm x y ， 可得 22222
22、(41)84(1)0,16(41)0kxkmxmkm ， 2 1212 22 84(1) , 4141 kmm xxx x kk ，直线OA与OB的斜率之和 2 122112211212 22 12121212 ()()()82 22 4(1)1 OAOB yyx yx yx kxmx kxmm xxkmk kkkk xxx xx xx xmm 8 分 因为直线OA与OB的斜率之和为定值1，所以 2 21mk， 易知当0m 时，不满足题意，所以 2 0m ，所以 1 2 k ， 又 22 16(41)0km ，所以 2 420kk，所以0k 或 1 2 k ，因此 1 0 2 k或 1 2 k
23、 坐标原点O到直线l的距离 2 22 2 21 11 1 mmk d kk k ，令21(0)ktt ，则 1 2 t k ， 222 2144451 5 (1)12522 52 2 1 4 ktt d tktt t t ， 当且仅当 5 t t ，即5t 时取等号，此时 511 22 k ，符合题意， 所以当 51 2 k 时，坐标原点O到直线l的距离最大12 分 20 （本小题满分 12 分） 某车床生产某种零件的不合格率为(01)pp，要求这部车床生产的一组 5 个零件中，有 2 个或 2 个以 上不合格品的概率不大于 0.05，为了了解该车床每天生产零件的利润，现统计了该车床 100
24、天生产的零件 组数（1 组 5 个零件） ，得到的条形统计图如下： 现以记录的 100 天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率 （1）设平均每天可以生产 n 个零件，求 n 的值； （2）求p的最大值 0 p； （3）设每个零件的不合格率是 0 p，生产 1 个零件的成本是 20 元，每个合格零件的出厂价为 120 元，不 合格的零件不得出厂，不计其他成本假设每天该机床生产的零件数为n，X表示这部车床每天生产零件 的利润，求X的数学期望()E X （参考数据： 4 0.921.32的取值为0.95） 20解析： （1）由题意知每天生产 14 组，15 组，16 组，17 组零件的频率
25、分别为0.2, 0.3, 0.4, 0.1， 所以(14 0.2 15 0.3 16 0.4 17 0.1) 577n 2 分 （2）记为一组零件中不合格品的个数，则(2)1 (0)(1)0.05PPP , 即 514 5 1 (1)(1) 0.5pCpp，整理得： 4 (1) (14 )0.95pp4 分 记 4 ( )(1) (14 ), 01f pppp， 则 343 ( )( 4)(1) (14 )4(1)20 (1)0fpppppp ，所以( )f p在(0,1)上单调递减 又 44 (0.08)(1 0.08)(14 0.08)0.921.320.95f ，所以由( )0.95(0
26、.08)f pf， 得0.08p，故 0 0.08p 8 分 （3）设生产一个零件的利润为Y元，由题意，得Y的可能取值是 100 和20， 则 00 (100)10.92,(20)0.08P YpP Yp 10 分 所以Y的分布列为 Y 100 -20 P 0.92 0.08 ( )100 0.92( 20) 0.0890.4E Y （元） ， 所以()77 ( )77 90.46960.8E XE Y（元） 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( ) x ax f x xe ，其中(0,),Rxa （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若对任意的 1 0,( ) 1
27、 x xf x e 恒成立，求实数a的取值范围 21解析： （1） 2 22 (1)()1 ( ) () xxx xx axeaxexeaxx fx xex e 当0a时， 2 2 1 ( )0,( ) x axx fxf x x e 在(0,)上是减函数2 分 当0a 时，对于方程 2 10,140axxa ，方程 2 10axx 有两个不相等的实数根， 12 11411 4 , 22 aa xx aa ，易知 12 0,0xx，令( )0fx，则 2 xx， 令( )0fx，则 2 0xx，所以( )f x在 114 0, 2 a a 上是减函数，在 114 , 2 a a 上是增函 数
28、综上，当0a时，( )f x 在(0,)上是减函数当0a 时，( )f x在 114 0, 2 a a 上是减函数，在 114 , 2 a a 上是增函数 （2） 1 ( ) 1 x f x e 可化为 11 1 xx ax xee ，因为0x ，所以10 x e ， 所以(1)(1) xx axexe，即(1)(1)0 xx axexe 令( )(1)(1) xx g xaxexe，则对任意的0x ，有( )0g x 恒成立 ( )(1)(1)(1) xxxx g xa eaxeexaxa ea， 令( )(1) x h xaxa ea，则( )(1)21 x h xaxae， 令 10 2
29、10 a a ，得 1 2 a，则( )0h x， 此时( )h x在(0,)上是减函数，当0x 时，( )(0)0h xh，所以( )( )0g xh x， 所以( )g x在(0,)上是减函数，当0x 时，( )(0)0g xg，符合题意8 分 当1a时，10, 210aa ，当0x 时，有(1)210axa ， 所以( )0,( )h xh x在(0,)上是增函数，当0x 时，( )(0)0g xg，这与( )0g x 矛盾，不符合 题意10 分 当 1 1 2 a时，令( )0h x，则(1)210axa ，得 1 2 1 a x a ， 所以( )h x在 12 0, 1 a a 上
30、是增函数，当 1 2 0 1 a x a 时，( )(0)0h xh， 所以( )( )0g xh x，所以( )g x在 12 0, 1 a a 上是增函数，当 1 2 0 1 a x a 时，( )(0)0g xg，这 与( )0g x 矛盾，不符合题意 因此实数a的取值范围为 1 , 2 12 分 （2）解法二： 1 ( ) 1 x f x e ，即 11 1 xx ax xee ，因为0x ，所以 1 1 x x e a ex 恒成立， 即 min 1 1 x x e a ex ，设 111 ( )1(0) 11 x xx e g xx exex ， 则 22 2222 1(1) (
31、) (1)(1) xxx xx eex e g x exx e ， 设 22 ( )(1)(0) xx h xex ex，则 22 ( )2(1)2(22 ) xxxxxx h xe exex eeexx， 设 2 ( )22(0) x xexxx，则( )2222(1) xx xexex， 设( )1 (0) x m xexx，则( )10 x m xe ，( )m x在(0,)上单调递增，( )(0)0m xm， 即( )0,( )xx在(0,)上单调递增，( )(0)0x，( )0, ( )h xh x在(0,)上单调递增， ( )(0)0h xh，( )0,( )g xg x在(0,)
32、上单调递增， 11 ( ) 1 xxx xx exee g x exxex ， 0000 1(1)1 lim ( )limlimlim (1)1(2)2 xxxx xxx xxxx xeexexe g x xexxexe ， 所以当0x 时， 1 ( ) 2 g x ， 1 2 a （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知在平面直角坐标系xOy中，点P是曲线 22 1: ( 2)4Cxy上任意一点，动点( , ) (0)M x yy满 足0OM OP ，且 1 2 O
33、MOP ，动点M的轨迹为曲线 2 C，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为 极轴建立极坐标系 （1）分别求出曲线 1 C和 2 C的极坐标方程； （2） 设曲线 1 C和 2 C交于点C（异于点O） ， 直线, 2 R 与曲线 1 C交于点O和点A， 与曲线 2 C交于点O和点B，求ABC面积的最大值 22解析： （1） 22 (2)4xy可化为 22 4xyx，把cos ,sinxy代入，可得曲线 1 C的 极坐标方程为4cos2 分 设点(,)M ，由 1 2 OMOP ，得2OP ， 又0,0yOM OP ，所以OMOP，2, 2 P ， 将点P的坐标代入曲线 1 C的方程4cos，得24
34、cos 2 ， 故曲线 2 C的极坐标方程为2sin，即2sin（5 分） （2）设点 11 (,)C ，则 11 2sin4cos，所以 111 2 55 tan2,sin, cos 55 ， 连接OC，则 1 4 5 5 OC点C到直线的距离 11 4 5 sin()sin() 5 dOC， 直线, 2 R 与曲线 2: 2sinC交于点O和点B，则(2sin,)B ， 直线, 2 R 与曲线 1: 4cosC交于点O和点A，则(4cos(),)A， 即( 4cos,)A ，所以4cos2sinAB 所以ABC的面积 1 14 5 ( 2cossin) sin() 25 ABC SAB d
35、 ， 11 4 54 552 5 ( 2cossin) (sincoscossin)( 2cossin)sincos 5555 2 22 1 452 5 (sin2cos)4sincos4sin ()4 555 当且仅当 1 2 ，即 1 2 时，ABC的面积取得最大值 4 2 1 1 2 224 B C O A 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )21f xx （1）求不等式( )32f xx的解集； （2）若( )1,( )2f af b，求证：(32 )7fab 23解析： （1）不等式( )32f xx，即2123xx， 当2x时，2123xx ，解得 4 3 x，所以2x； 当 1 2 2 x时，2123xx ，解得0x，所以02x ； 当 1 2 x 时，2123xx ，解得 2 3 x，所以 2 3 x 综上，原不等式的解集为 2 0 3 x xx 或5 分 （2）( )21,( )21f aaf bb， (32 )2(32 ) 16413(21)2(21)3(21)2(21)3 ( )2 ( )fabababababf af b 因为( )1,( )2f af b，所以3 ( )2 ( )7f af b，故(32 )7fab10 分
