1、2019 年济南市高三模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知复数 12i 2i z （其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 1答案：D 解析： 12i(12i)(2i)4343 i,i 2i(2i)(2i)5555 zz ，所以在复平面对应的点位于第四象限 2已知全集 | 2Ux x，集合 2 |log1Pxx，则 UP （ ） A( 2,0 B( 2,1 C(0,1) D1,2) 2答案：A 解析： |2( 2,2)Ux x ，
2、 2 |log1(0,2)Pxx，所以( 2,0 UP 3已知 n a为等比数列，若 3 2a ， 5 8a ，则 7 a （ ） A64 B32 C64 D32 3答案：B 解析： n a为等比数列， 2 537 aaa， 7 32a 4随着我国经济实力的不断提升，居民收人也在不断增加某家庭 2018 年全年的收入与 2014 年全年的收 入相比增加了一倍，实现翻番同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品 类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是（ ） A 该家庭 2018 年食品的消费额是 2014 年食品的消费额的一半 B 该家庭 2
3、018 年教育医疗的消费额与 2014 年教育医疗的消费额相当 C 该家庭 2018 年休闲旅游的消费额是 2014 年休闲旅游的消费额的五倍 D 该家庭 2018 年生活用品的消费额是 2014 年生活用品的消费额的两倍 4答案：C 解析：选项 A 中，2018 年食品消费占 0.2，2014 年食品消费占 0.4，因 2018 年全年的收入与 2014 年全年的 收入相比增加了一倍，所以两年的食品消费额相当，故 A 项错误 选项 B 中，2018 年教育医疗消费占 0.2，2014 年教育医疗消费占 0.2，因 2018 年全年的收入与 2014 年全年 的收入相比增加了一倍，所以 201
4、8 年教育医疗消费额是 2014 年的两倍，故 B 项错误 选项 C 中，2018 年休闲旅游消费占 0.25，2014 年休闲旅游消费占 0.1，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以 2018 年教育医疗消费额是 2014 年的五倍，故 C 项错误 选项 D 中，2018 年生活用品消费占 0.3，2014 年生活用品消费占 0.15，因 2018 年全年的收入与 2014 年全 年的收入相比增加了一倍，所以 2018 年教育医疗消费额是 2014 年的四倍，故 D 项错误 5已知实数 , xy满足约束条件 30 20 2 xy xy x ，则3zxy的
5、最小值为（ ） A5 B2 C7 D11 5答案：A 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中(2,5),(2, 1),( 2,1)ABC， 则11,5,5 ABc zzz ，所以 min 5 C zz 62019年1月1日，济南轨道交通 号线试运行，济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意 见”活动市民可以通过济南地铁 APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，准备从四位朋友小王，小张，小 刘，小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小王和小李至多一人被选中的概率为（ ） A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 5 6 A B C O x y 6答案：D 解析：设小王和小李都被选中为
6、事件M，则 1 () 6 P M ，则小王和小李至多一人被选中的概率为 15 1 66 7执行如图所示的程序框图，若输入的 x 值为 2019，则输出的 y 值为（ ） A 1 8 B 1 4 C 1 2 D1 7答案：C 解析：根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少 4，输入2019x ，因为 2019 除以 4 余 3， 经过多次循环后3x ，再经过一次循环后1x 满足0x 的条件，输出 1 1 22 2 x y 8若 235 logloglog1xyz ，则（ ） A235xyz B532zyx C325yxz D523zxy 8答案：B 解析：不妨设 235 logloglog2xy
7、z ， 则 111111 ,2,3,5,532 4925235 xyzxyzzyx 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A80 B48 C32 D16 9答案：B 解析：根据三视图可知原几何体为四棱锥，其表面积为 1111 443 43 44 54 548 2222 10若函数( )sin (0) 6 f xx 在0, 上的值域为 1 ,1 2 ，则的最小值为（ ） A 2 3 B 3 4 C 4 3 D 3 2 10答案：A 解析：0, , 666 xx ，而( )f x的值域为 1 ,1 2 ，根据图象可知 7 266 ，解得 24 33 ，所以的最小值为 2 3 1
8、0.5 0.5 1 4 4 2 3 4 5 4 O 11设 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左右焦点，过 2 F的直线交椭圆于,A B两点，且 1222 0,2AF AFAFF B ，则椭圆 的离心率为（ ） A 2 3 B 3 4 C 5 3 D 7 4 11答案：C 解析： 22 2AFF B ，设 2 BFx，则 2 2AFx， 由椭圆的定义，可以得到 11 22 ,2AFaxBFax， 1212 0,AF AFAFAF ， 在 1 RtAFB中，有 222 (22 )(3 )(2)axxax，解得 3 a x ， 21 24 , 33 aa AF
9、AF， 在 12 RtAFF中，有 22 2 42 (2 ) 33 aa c ，整理得 2 2 55 , 93 cc e aa B A F2F1 O 12我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个 等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等已知曲线，直 线 为曲线 在点处的切线如图所示，阴影部分为曲线 、直线 以及 轴所围成的平面图形，记该平面 图形绕 轴旋转一周所得的几何体为 给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为 的圆锥； 图是将底面直径和高均为 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图是底面边
10、长和高均为 的正四棱锥； 图是将上底面直径为 ，下底面直径为 ，高为 的圆台挖掉一个底面直径为 ，高为 的倒置圆锥得到的 几何体 根据祖暅原理，以上四个几何体中与 的体积相等的是（ ） A B C D 12答案：A 解析：因为几何体T是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为 1 x，切线对应的横坐标为 2 x， 2 ( ),( )2 ,(1)2f xxfxxkf，切线为12(1)yx ，即21yx， 2 12 1 , 2 y xy x ， 横截面面积 2 2 22 21 (1)1 42 yy Sxxy ， 图中的圆锥高为 1，底面半径为 1 2 ，可以看成由直
11、线21yx绕 轴旋转得到，横截面的面积为 2 2 1 2 y Sx 所以几何体T和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选 A 项 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知平面向量, a b 满足(1, 3),3,abaab ，则a 与b 夹角的余弦值为_ 13答案： 2 3 解析： 222 (1, 3),1( 3)2,0aaaabaabaa b ，设a 与b 的夹 角为，则 2 2 cos0, 42 3 cos0,cos 3 aab 14 5 1 1 (1)x x 的展开式中，x的系数为_（用数字作答） 14答案：5 解析：要求x的系数，则
12、 5 (1)x 展开式中 2 x项与 1 x 相乘，x项与1相乘， 所以展开式中 2 x项为 142 5( )5Cxx与 1 x 相乘得到5x，展开式中x项为 32 5( )10Cxx，与1相乘得到 10x，所以x的系数为1055 15已知函数 2 29,1 ( ) 4 ,1 xaxx f x xax x ，若( )f x的最小值为(1)f，则实数a的取值范围是_ 15答案：2a 解析：当1x 时， 4 ( )4f xxaa x ，当且仅当2x 时，等号成立 当1x时， 2 ( )29f xxax为二次函数，要想在1x 处取最小值，则对称轴要满足1xa， 并且(1)4fa，即1294aa，解得
13、2a 16已知一族双曲线 22 :( 2019 n n Exyn N， 且2019)n，设直线2x 与 n E在第一象限内的交点 为 n A，点 n A在 n E的两条渐近线上的射影分别为, nn B C记 nnn A B C的面积为 n a，则 1232019 aaaa_ 16答案： 505 2 解析：设 00 (,) n A x y，双曲线 22 : 2019 n n Exy的渐近线为0,0xyxy，互相垂直 点 00 (,) n A x y在两条渐近线上的射影为, nn B C，则 0000 , 22 nnnn xyxy A BA C 易知 nnn A B C为直角三角形， 22 000
14、0 00 1 242019 422 nnn A B C xyxyxyn S ， 即 20194 n n a 为等差数列，其前 2019 项的和为 12019 2019 12019 +2019 ()20195052019420194 = 222 aa S 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17ABC的内角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 2 2 sincoscos ,3 3 bCaCcA Bc （1）求角C； （2）若点E满足
15、 2AEEC ，求BE的长 17答案：（1） 6 C ；（2）1BE 解析：（1） 【解法一】由题设及正弦定理得2sinsinsincossincossin()BCACCAAC， 又,sin()sin()sin,2sinsinsinACBACBBBCB，因为sin0B ， 则 1 sin 2 C 又因为0 3 C ，所以 6 C 【解法二】由题设及余弦定理可得 222222 2 sin 22 abcbca bCacb abbc ， 因为0b ，所以 1 sin 2 C 又因为0 3 C ，所以 6 C 【解法三】由题设2 sincoscosbCaCcA，结合射影定理coscosbaCcA， 化
16、简可得2 sinbCb因为0b ，所以 1 sin 2 C 又因为0 3 C ，所以 6 C （2）由正弦定理易知2 3 sinsin bc BC ，解得3b 又因为 2AEEC ，所以 22 2 33 AEACb在ABC中，因为 2 , 36 BC ，所以 6 A ， 所以在ABE中，,3,2 6 AABAE 由余弦定理得 222 3 2cos342321 62 BEABAEAB AE ，所以1BE E B CA 18如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，2PAAB ，点M 为棱PC的中点，点,E F分别为棱,AB BC上的动点（,E F与所在棱的端点不重合）
17、，且满足 BEBF （1）证明：平面PEF 平面MBD； （2）当三棱锥FPEC的体积最大时，求二面角CMFE的余弦值 A B C D P M E F 18答案：（1）见解析；（2） 6 3 解析：【详解】 （1） 【解法一】：（综合法）证明：连接AC交BD于N，连接MN 因为底面ABCD为正方形，所以,ACBDANCN，又因为PMMC，所以/MNPA 由PA 底面ABCD知，MN 底面ABCD，又AC 底面ABCD，所以ACMN； 又,BDMNNBD MN平面MBD，所以AC 平面MBD 在ABC中，因为,BEBF BABC，所以 BEBF BABC ，即/EFAC，所以EF 平面MBD 又
18、EF 平面PEF，所以平面PEF 平面MBD 【解法二】 （向量法）因为PA 底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，AB 的方向为x轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则(0,0,2),(1,1,1),(2,0,0),(0,2,0)PMBD设( ,0,0)E t，则 (2,2,0)Ft ( ,0, 2),(2,2, 2),(1, 1, 1),( 1,1, 1)PEtPFtMBMD 设 111 ( ,)mx y z 为平面PEF的一个法向量，则 11 111 20 2(2)20 m PEtxz m PFxt yz ，可取(2, 2, )mt 设 222 (,)nxy z 为平面MB
19、D的一个法向量，则 222 222 0 0 n MBxyz n MDxyz ，可取(1,1,0)n 因为 2 12 100m nt ，所以m n 所以平面PEF 平面MBD （2）解：设BEBFx，由题意知， 1 (2) 2 CEF Sx x ，又2PA， 所以 2 1 1111 (2)2(2)(1) 3 2333 F PECP EFC VVx xx xx 易知当三棱锥FPEC的体积最大时，1x ，即此时,EF分别为棱,AB BC的中点 以A为坐标原点，AB 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 则(2,2,0),(2,1,0),(1,0,0),(1,1,1)CFEM(1,
20、0, 1),( 1, 1,0),(0,1,0)MFFEFC 设 111 ( ,)mx y z 是平面MEF的法向量，则 11 11 0 0 m MFxz m FExy ，可取(1, 1,1)m 设 222 (,)nxy z 是平面MCF的法向量，则 22 2 0 0 n MFxz n FCy ，可取(1,0,1)n 则 26 cos, 332 m n m n mn 由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角CMFE的余弦值为 6 3 A B C D P M E F N x y z 19设M是抛物线 2 :2(0)Expy p上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为1yx （1）求E的方程； （2）已
21、知过点(0,1)的两条不重合直线 12 ,l l的斜率之积为 1，且直线 12 , l l分别交抛物线E于,A B两点和 ,C D两点是否存在常数使得ABCDABCD成立？若存在，求出的值；若不存在，请说 明理由 19答案：（1） 2 :4E xy；（2） 1 4 解析：（1） 【解法一】由 2 1 2 yx xpy ，消去y可得 2 220xpxp 由题意得 2 480pp ，因为0p ，所以2p 故抛物线 2 :4E xy 【解法二】设切点为 2 0 0, 2 x P x p ，由 2 2xpy得 2 , 2 xx yy pp 由 0 2 0 0 1 1 2 x p x x p 解得2p
22、故抛物线 2 :4E xy （2）假设存在常数使得ABCDABCD成立，则 11 ABCD 由题意知， 12 , l l的斜率存在且均不为零，设 1 l的方程为1ykx，则由 2 1 4 ykx xy ，消去y得， 2 440xkx 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则 1212 4 ,4xxkx x 所以 22222 1212 1()4116164(1)ABkxxx xkkk （也可以由 2 1212 ()242yyk xxk，得到 2 12 24(1)AByyk） 因为直线 12 ,l l的斜率之积为 1，所以 2 1 4 1CD k 所以 2 22 2 111111 14
23、(1)4(1)4 4 1 k ABCDkk k 所以，存在常数 1 4 使得ABCDABCD成立 20某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图所示，两个一级过 滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每个 滤芯是否需要更换相互独立），三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯 每个 80 元，二级滤芯每个 160 元若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个 200 元，二级滤芯 每个 400 元现需决策安装净水系统的同时购滤芯的数量，为此参
24、考了根据 100 套该款净水系统在十年使 用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图， 表是根据 100 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表 图 1 二级滤芯更换频数分布表 二级滤芯更换的个数 5 6 频数 60 40 表 1 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换 滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率 （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的概率； （2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求
25、 X 的分布列及数学期望； （3） 记 ,m n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若 28mn，且 5,6n，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 ,m n 的值 20答案：（1）0.064；（2）见解析；（3）23,5mn 解析：（1）由题意可知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30，则该套净水系 统中的两个一级过滤器均需更换 12 个滤芯，二级过滤器需要更换 6 个滤芯设“一套净水系统在使用期内 需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30”为事件 A 因为一个一级过滤器需要更换 12 个滤芯的概率为 0
26、.4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的概率为 0.4， 所以( )0.4 0.4 0.40.064P A （2）由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 10，11，12 的概率分别为 0.2，0.4，0.6 由题意，X 可能的取值为 20，21，22，23，24，并且 (20)0.2 0.20.04,(21)0.2 0.420.16,(22)0.4 0.40.2 0.420.32, (23)0.4 0.420.32,(24)0.4 0.40.16 P XP XP X P XP X 所以 X 的分布列为 X 20 21 22 23 24 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.
27、16 200.0421 0.1622 0.3223 0.32240.1622.4EX （3）因为28mn，5,6n， 若22,6mn，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22 80200 0.32400 0.166 1602848 ； 若23,5mn，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 23 80200 0.165 160400 0.42832 故 ,m n的值分别为 23，5 21已知函数 2 ( )ln(1) 2 a f xxxxax，其导函数( )fx的最大值为 0 （1）求实数a的值； （2）若 1212 ( )()1()f xf xxx ，证明
28、： 12 2xx 21答案：（1）1a ；（2）见解析 解析：（1）由题意，函数( )f x的定义域为(0,)，其导函数( )ln(1)fxxa x 记( )( )h xfx 则 1 ( ) ax h x x 当0a时， 1 ( )0 ax h x x 恒成立，所以( )h x在(0,)上单调递增，且(1)0h 所以(1,)x ，有( )( )0h xfx ，故0a时不成立； 当0a 时，若 1 0,x a ，则 1 ( )0 ax h x x ；若 1 ,x a ，则 1 ( )0 ax h x x 所以( )h x在 1 0, a 单调递增，在 1 , a 单调递减所以 max 1 ( )
29、ln10h xhaa a 令( )ln1g aaa ，则 11 ( )1 a g a aa 当01a时，( )0g a ；当1a 时，( )0g a 所以( )g a在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增 所以( )(1)0g ag，故1a （2）当1a 时， 2 1 ( )ln 2 f xxxx，则( )1lnfxxx 由（1）知( )1ln0fxxx 恒成立，所以 2 1 ( )ln 2 f xxxx在(0,)上单调递减， 且 1 (1) 2 f ， 12 ( )()12 (1)f xf xf ，不妨设 12 0xx，则 12 01xx ， 欲证 12 2xx，只需证 21 2xx，因为
30、( )f x在(0,)上单调递减， 则只需证 21 ()(2)f xfx，又因为 12 ( )()1f xf x ，则只需证 11 1( )(2)f xfx ， 即 11 (2)( )1fxf x 令( )( )(2)F xf xfx（其中(0,1)x），且(1)1F 所以欲证 11 (2)( )1fxf x ，只需证( )( 1),(0,1)F xFx， 由( )( )(2)1ln(1ln(2)2)F xfxfxxxxx ， 整理得：( )lnln(2)2(1),(0,1)F xxxxx ， 2 2(1) ( )0,(0,1) (2) x Fxx xx ， 所以( )lnln(2)2(1)F
31、 xxxx 在区间(0,1)上单调递增， 所以(0,1)x ，( )lnln(2)2(1)(1)0F xxxxF ， 所以函数( )( )(2)F xf xfx在区间(0,1)上单调递减， 所以有( )( 1),(0,1)F xFx，故 12 2xx （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos 13sin x y （为参数） ，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin2 3 6 （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）射线OP的极
32、坐标方程为 6 ，若射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段 AB的长 22答案：（1） 22 (1)3xy，34 30xy；（2）2 解析：（1）由 3cos 13sin x y ，可得： 3cos 13sin x y ，所以 2222 (1)3cos3sin3xy， 所以曲线C的普通方程为 22 (1)3xy 由sin2 3 6 ，可得 31 sin +cos2 3 22 ， 所以 31 sincos2 30 22 ，所以直线l的直角坐标方程为34 30xy （2） 【解法一】曲线C的方程可化为 22 220xyy，所以曲线C的极坐标方程为 2 2 sin20 由题意设 12
33、 , 66 AB ，将 6 代入 2 2 sin20，可得： 2 11 20， 所以 1 2或 1 1 （舍去）， 将 6 代入sin2 3 6 ，可得： 2 4，所以 12 2AB 【解法二】因为射线OP的极坐标方程为 6 ，所以射线OP的直角坐标方程为 3 (0) 3 yx x ， 由 22 (1)3 3 (0) 3 xy yx x 解得( 3,1)A，由 34 30 3 (0) 3 xy yx x 解得(2 3,2)B， 所以 22 (2 33)(2 1)2AB 23已知函数( )2 21f xxx （1）求不等式( )3f x 的解集； （2）若不等式( )f xax的解集为空集，求实
34、数 的取值范围 23答案：（1）0,2；（2） 3 3 2 a 解析：（1）由题意 1 33, 2 1 ( )2211,2 2 33,2 xx f xxxxx xx ， 当 1 2 x时，( )333f xx ，解得0x，即 1 0 2 x ， 当 1 2 2 x时，( )13f xx ，解得2x，即 1 2 2 x， 当2x时，( )333f xx ，解得2x，即2x 综上所述，原不等式的解集为0,2 （2）由（1）可知，( )f x的图象为 6 5 4 3 2 1 1 2 A(2,3) O 不等式( )f xax的解集为空集可转化为( )f xax对任意xR恒成立，即函数y ax 的图象始终在函 数( )yf x的图象的下方，如图 6 5 4 3 2 1 1 22 A(2,3) O 当直线y ax 过点(2,3)A以及与直线33yx 平行时为临界点，所以 3 3 2 a
