1、重积分高数名师课件超经典超全三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节第一节一、问题的提出一、问题的提出 二、二重积分的概念二、二重积分的概念 四、小结四、小结 思考题思考题 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积
2、采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶
3、柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示解法解法:类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底：xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶:连续曲面连续曲面侧面：侧面：以以 D 的边界为准线的边界为准线,母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”D),(yxfz 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 D),(yxfz 1)“大化小大化小”
4、用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n ,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个k,),(kk 3)“3)“近似和近似和”nkkVV1 nkkkkf1),(),(kkf ),2,1(),(nkfVkkkk 则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4)“4)“取极限取极限”的的直直径径为为定定义义k kk,PPPP 2121max)(令令 )(max1knk nkkkkfV10),(lim ),(yxfz),(kkfk),(kk机动机动 目录目录 上
5、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,),(Cyx 计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为),(),(常常数数若若 yx设设D 的面积为的面积为 ,则则 M若若),(yx 非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n 相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx
6、2)“常代变常代变”中中任取任取一点一点k 在在每每个个),(kk 3)“近似和近似和”nkkMM1 nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk 令令 nkkkkM10),(lim k ),(kk ),2,1(),(nkMkkkk 则第则第 k 小块的质量小块的质量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx两个问题的两个问题的共性共性：(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”nkkkkfV10),(lim nkkkkM10),(lim 曲顶柱体体积曲顶柱体体
7、积:平面薄片的质量平面薄片的质量:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二重积分的概念二、二重积分的概念定义定义:),(yxf设设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nkk 任取任取一点一点,),(kkk 若存在一个常数若存在一个常数 I,使使 nkkkkfI10),(lim 可积可积,),(yxf则称则称 Dyxf d),(),(yxfI为为称称在在D上的上的二重积分二重积分.称称为为积积分分变变量量yx,积分和积分和 Dyxf d),(积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素记作记作是定义在有界区域是定义在有
8、界区域 D上的有界函数上的有界函数,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D D，DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为机动 目录 上页 下页 返回 结束 nkkkkfV10),(lim 引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:Dyx d),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx
9、这时这时分区域分区域D,因此面积元素因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划可用平行坐标轴的直线来划 记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Dyxf d),(nkkkkM10),(lim 二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数若函数),(yxf),(yxf定理定理2.),(yxf上可上可在在则则Dyxf),(证明略证明略)定理定理1.在在D上可积上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续限个点或有限个光滑曲线外都连续,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如,yxyxyxf 22),
10、(在在D:10 x10 y上二重积分存在上二重积分存在;yxyxf 1),(但但在在D 上上 y1xo1D二重积分不存在二重积分不存在.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (1 1)在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于
11、零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(
12、DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx )(22的的值值，其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域：12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aD
13、yxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 ,ab例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D：20,10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解例例 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时,1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时,0)ln(22 yx于于是是0)ln(122
14、yxrdxdyyx.解解例例 4 4 比较积分比较积分 Ddyx)ln(与与 Ddyx 2)ln(的大小的大小,其中其中 D 是三角形闭区域是三角形闭区域,三顶点各为三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln(yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx)ln(Ddyx 2)ln(.oxy121D例例5.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32 DDyxyx其中其中2)1()2(:22 yxD解解:积分域积分域 D 的边界为圆周的边界为圆周1 yx332)()(yxy
15、x 2)1()2(22 yx它与它与 x 轴交于点轴交于点(1,0),.1相切相切与直线与直线 yx而域而域 D 位位,1 yx从而从而 d)(d)(32 DDyxyx于直线的上方于直线的上方,故在故在 D 上上 1y2xo1D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22 yxDyxyxD解解:D 的面积为的面积为200)210(2 由于由于 yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200 即即:1.96 I 210101010D10011021xyo机动机动 目录目录 上页上页
16、 下页下页 返回返回 结束结束 xyo D注注：设函数设函数),(yxfD 位于位于 x 轴上方的部分为轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf ),(),()2(yxfyxf d),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于当区域关于 y 轴对称轴对称,函数关于变量函数关于变量 x 有奇偶性时有奇偶性时,仍仍1D在在 D 上上 d),(21 Dyxf在闭区域上连续在闭区域上连续,域域D 关于关于x 轴对称轴对称,则则则则有类似结果有类似结果.在第一象限部分在第一象限部分,则有则有1:,221 yxDD 为圆域为圆域如如 Dyxyxdd)(22 Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxy
17、x0机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被
18、积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答被积函数被积函数相同相同,且且非负非负,思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122 yxyxIyxdd12 yxyxIdd11113 解解:321,III由它们的积分域范围可知由它们的积分域范围可知312III 11xyo1.比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.设设D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的
19、一个有界闭域,且且 0 y 1,则则,d31 DxyI,d322 DxyI DxyI d3213的大小顺序为的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA 提示提示:因因 0 y 1,故故;212yyy D故在故在D上有上有,03 x又因又因323321xyxyxy yox1D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.证明证明:,2d)cossin(122 Dyx其中其中D 为为.10,10 yx解解:d)cossin(22Dyx d)sin(242Dx,1)sin(,1042212 xx又又 D 的面积为的面积为 1,故
20、结论成立故结论成立.yox1D1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题4 4、Ddyx)sin(22_,其中其中 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积,16.练习题答案练习题答案第二节第二节二重积分的计算法二重积分的计算法(1)二、小结二、小结 思考题思考题一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域为：如果积分区域为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2x
21、y )(1xy 为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,a0 xbzyx)(0 xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),()(),()()(21 DbaxxbadyyxfdxdxxAdyxf得得.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿
22、过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.xy211xy o221d y例例1.计算计算,d DyxI 其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.x解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则:DI 21d x yyx d21d x
23、2121321dxxx89 1221xyx解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则:D I xyx d21d y yyx2221 21321d2yyy89 y1xy2xy 121 x2 xy21 y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.计算计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:D xyx d Dyx d 21dy 212221d2yyxyy 2152d)2(21yyyy 12612344216234 yyyy845Dxy22 xy214oyxy2
24、2 yxy21 y2y2y2 xy及直线及直线则则 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3.计算计算,ddsin Dyxxx其中其中D 是直线是直线,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X 型域型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d 0dsinxx 0cos x 2 0dsinxxx x先对先对 x 积分不行积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xy 1原原
25、式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域如图积分区域如图例例5.交换下列积分顺序交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211 xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 2 22280:22xxyD21DDD 将将:D视为视为Y型区域型区域,则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf 20dy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6.计算计算,dd)1ln(2yxyyxID 其中其中D 由由,42xy 1,3 x
26、xy所围成所围成.oyx124xyxy32D1D1x解解:令令)1ln(),(2yyxyxf 21DDD(如图所示如图所示)显然显然,1上上在在D),(),(yxfyxf ,2上上在在D),(),(yxfyxf yxyyxIDdd)1ln(12 0yxyyxDdd)1ln(22 4机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7.求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解解:设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积
27、为则所求体积为yxxRVDdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz RxxRyDyx00:),(22xxRRd8022 222Ryx222Rzx D机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.,10 yx,xyyx 所所求求体体积积 DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的投投影影是是二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二
28、、小结二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型练练 习习 题题 5 5、将二次积分、将二次积分 22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.6 6、将二次积分、将二次积分 xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.7 7、将二次积分、将二次积分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序改换积分次序,应为应为_._.一、一、1 1、1 1；2 2、23 ；3 3、220),(
29、xrrrdyyxfdx；4 4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、211210),(yydxyxfdy；6 6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7 7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案练习题答案二二、1 1、1 ee；2 2、613；3 3、；4 4、235 .三三、34.四四、6.第二节第二节二重积分的计算法二重积分的计算法(2)二、小结二、小结 思考题思考题一、利用极坐标计算二重积分一、利用极坐标计算二重积分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21i
30、iiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).()(21 r区域特征如图区域特征如图,).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrr
31、fd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图,).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积 d)(21202 D d思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx
32、问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1.计算计算,dd22 Dyxyxe其中其中.:222ayxD 解解:在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式原式 Drerard02 are02212 )1(2ae 2xe 的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角故本题无法用直角2re ddrr 20d由于由于故故坐标计算坐标计算.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注:利用例利用例1可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常
33、积分公式非常有用的反常积分公式2d02 xex事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,Dyxyxedd22 yexeyxdd2220d42 xex利用例利用例1的结果的结果,得得)1(limd42220aaxexe 故故式成立式成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4si
34、n22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由由对对称称性性，可可只只考考虑虑第第一一象象限限部部分分，注注意意：被被积积函函数数也也要要有有对对称称性性.Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd.4 14DD 1D例例5.求球体求球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面xayx222 )0(a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积.解解:设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:arD dd4422rrraVD 20d4 cos2022d4arrra d)
35、sin1(3322033 a)322(3323 aoxyza2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 一、一、填空题填空题:1 1、将将 Ddxdyyxf),(,D为为xyx222 ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分,为为_._.2 2、将将 Ddxdyyxf)
36、,(,D为为xy 10,10 x,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(；2 2、1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、sec2034)(rdrrfd；4 4、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、2cossin0401rdrrd
37、,12.二、二、1 1、)12ln2(4 ；2 2、414a；练习题答案练习题答案 3 3、)34(33 R；4 4、25.三、三、4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(.四、四、405.五、五、4323a.第三、四节第三、四节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、直角坐标系下三重积分的计算二、直角坐标系下三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分(1)三、小结三、小结 思考题思考题一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想类似二重积分解决问题的思想,采用采用kkkkv )
38、,(),(kkkkv引例引例:设在空间有限闭区域设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的内分布着某种不均匀的物质物质,),(Czyx 求分布在求分布在 内的物质的内的物质的可得可得 nk 10lim M“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”解决方法解决方法:质量质量 M.密度函数为密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.设设,),(,),(zyxzyxfkkknkkvf ),(lim10 存在存在,),(zyxf vzyxfd),(称为称为体积元素体积元素,vd.dddzyx若对若对 作作任意分割任意分割:任意取点任意取点则称此极限为函数则称此极限为函数在在
39、 上的上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似三重积分的性质与二重积分相似.性质性质:例如例如),2,1(nkvk ,),(kkkkv 下列下列“乘乘中值定理中值定理.),(zyxf设设在有界闭域在有界闭域 上连续上连续,则存在则存在,),(使得使得 vzyxfd),(Vf),(V 为为 的的体积体积,积和式积和式”极限极限记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、直角坐标系下三重积分的计算二、直角坐标系下三重积分的计算方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)
40、方法方法3.三次积分法三次积分法,0),(zyxf先假设连续函数先假设连续函数 并将它看作某物体并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算通过计算该物体的质量引出下列各计算最后最后,推广到一般可积函数的积分计算推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数的密度函数,方法方法:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 zxyD Dyxdd 方法方法1.投影法投影法(“先一后二先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21 yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21 该物体的质量为该物体的质量为 vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzz
41、zyxf Dyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzz yxdd微元线密度微元线密度记作记作机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ab方法方法2.截面法截面法(“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底为底,d z 为高的柱形薄片质量为为高的柱形薄片质量为zD以以xyz该物体的质量为该物体的质量为 vzyxfd),(ba ZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzD zDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度面密度 zd记作记作
42、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 投影法投影法方法方法3.三次积分法三次积分法设区域设区域:利用投影法结果利用投影法结果,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz 把二重积分化成二次积分即得把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyx vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyy baxd机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 小结小结:三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1.“先一后二先一后二”方法方法2.
43、“先二后一先二后一”方法方法3.“三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyx vzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d ),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据具体计算时应根据 vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法三种方法(包含包含12种形式种形式)各有特点各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择被积函数及积分域的特点灵活选择.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解由由 22222xzyxz,得得交交线线投投影影区区域域,122 yx故故 ：22222221111
44、xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI解解（一）（一）zdxdydz,10 zDdxdyzdz1|),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241.xozy111 zdxdydz解解（二）（二）zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1(102)1(21dzzz241.xozy111其中其中 为三个坐标为三个坐标例例3.计算三重积分计算三重积分,ddd zyxx12 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域.1xyz121解解:zyxxddd )1(01021d)21(dxyyxxx yx
45、z210d 1032d)2(41xxxxyxz210 )1(021xy 10 x )1(021dxy 10d xx481面及平面面及平面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xyz例例4.计算三重积分计算三重积分,ddd2zyxz.1:222222 czbyax其中其中解解:zyxzddd2 cczczbazd)1(222czc 2222221:czbyaxDz zDyxdd cczz d23154cba abc用用“先二后一先二后一”zDz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称
46、性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性例例利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中积积分分区区域域1|),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计
47、算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题1选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD思考题思考题2则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关
48、于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2练练 习习 题题一、一、1 1、111112222),(yxxxdzzyxfdydx；2 2、cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22；3 3、101010)(dzzyxdydx，23；4 4、hxaxaadzzyxfdydx020),(22，22200),(xaxaahdyzyxfdxdz；22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy练习题答案练习题答案二、二、3641.三、三、0.0.四、四、2ln.第三、四节第三、四节一、利用柱面坐标计算三重积分、利用柱面坐标
49、计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分(2)三、小结三、小结 思考题思考题,0 r,20 .z二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为
50、如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv o oxyz例例1.计算三重积分计算三重积分h,1ddd22 yxzyxzyx422 )0(hhz所围成所围成.与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 o oxyz解答解答:计算三重积分计算三重积分解解:在柱面坐标系下在柱面坐标系下h:hrz42d hrdrhrr2
