1、第五概率与概率分布（优选）第五概率与概率分布第一节第一节 随机事件与概率随机事件与概率 一、随机事件及其运算一、随机事件及其运算 （一）基本概念（一）基本概念 随机现象（偶然现象、不确定现随机现象（偶然现象、不确定现象）象）在一定条件下可能发生也可能在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。从一次观察来看，随机不发生的现象。从一次观察来看，随机现象似乎没有什么规律，但大量观察的现象似乎没有什么规律，但大量观察的结果会呈现出某种明显的规律性。结果会呈现出某种明显的规律性。随机试验严格意义上的随机试验随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件满足三个条件 试验可以在系统条件下重复进行；试验可以在系统条
2、件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。（或实验）。由于多数试验不能同时满足这些条件，由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角度来理解。因此实际应用中常常从广义角度来理解。随机事件简称事件，随机事件简称事件，随机试验（或随随机试验（或随机现象）的每一个可能结果机现象）的每一个可能结果 基本事件基本事件 不可能再分成为两个或更多不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。事件的事件，
3、也称为样本点。基本事件基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空的全体（全集）称为样本空间或基本空间间 复合事件复合事件 由某些基本事件组合而成的由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。事件，也称为样本空间中的子集。必然事件必然事件 在一定条件下，每次试验在一定条件下，每次试验都必然发生的事件。都必然发生的事件。不可能事件不可能事件 在一定条件下，每次试在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件。验都必然不会发生的事件。B（二）随机事件的关系和运算（二）随机事件的关系和运算 1、事件的包含、事件的包含 事件事件B包含事件包含事件A，是指，是指事件事件A发生必然导致事件发生必然导致
4、事件B发生。发生。A基本事件 不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。连续随机变量取值不能一一列举。或P(A B)P(B)P(A|B)有些概率是无法精确计算的。将离散型随机变量X的所有可能取值xi及其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。但最常用的是求在中心（均值）附近、标准差的1、2、3倍区间内的概率1、对任一事件A，有0P(A)1；均方差（或标准差）方差的平方根复合事件 由某些基本事件组合而成的事件，也称为样本空间中的子集。比如,你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。由于多数试验不能同时满足这些条件，因此实际应用中常常从广义角
5、度来理解。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的2分布，记为2(n);基本事件 不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。均方差（或标准差）方差的平方根连续型随机变量的分布函数不同点t分布两边尾巴比较高而顶部比较低。(1)条件概率在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，称为“事件A已经发生的条件下B发生的条件概率”，记为P(B|A)，并且有二项分布的特例二点分布（01分布）它衡量某种事件在一定期间出现的数目的概率。t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。2、事件的并（和）、事件的并（和）指事件指事件A
6、与事件与事件B至至少一个发生。少一个发生。AB 3、事件的交（积）、事件的交（积）指事件指事件A与事件与事件B同同时发生。时发生。AB 4、事件的差（、事件的差（AB）指事件指事件A发生而发生而事件事件B不发生。不发生。AB查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。1、对任一事件A，有0P(A)1；设X为随机变量，x为任意实数，称函数 F（x）P(Xx)为X的累计分布函数，简称分布函数。2、2 分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；连续随机变量取值不能一一列举。常用的连续型随机变量分布连续型随机变量的概率密度具有下列性质曲线的陡缓程度取决于参数(方
7、差)2。（一）概率的性质连续随机变量取值不能一一列举。在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。许多随机变量服从或近似服从正态分布；1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的2分布，记为2(n);连续型随机变量的概率密度具有下列性质t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。5、互不相容（互斥）事件、互不相容（互斥）事件 指事件指事件A与事与事件件B不可能同
8、时发生。不可能同时发生。AB 6、A的对立（逆）事件的对立（逆）事件 指样本空间中所指样本空间中所有不属于事件有不属于事件A的样本点的样本点AA概率和机会 你可能经常听到概率（你可能经常听到概率（probabilityprobability）这）这个名词。例如在天气预报中会提到降水个名词。例如在天气预报中会提到降水概率。因此，从某种意义说来，概率描概率。因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。换言之，概率也不可能少于百分之零。换言之，概率是在是在0 0和和1 1之间的一
9、个数，说明某事件发之间的一个数，说明某事件发生的机会有多大。生的机会有多大。（三）事件的概率（三）事件的概率 1、概率的古典定义、概率的古典定义 古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）具有以下具有以下两特点两特点 每次试验的可能结果有限（即样本空间每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；中基本事件总数有限）；每个试验结果出现的可能性相同。每个试验结果出现的可能性相同。概率的古典定义概率的古典定义 在古典概型中，事件在古典概型中，事件A发生的概率等于该发生的概率等于该事件所包含的基本事件数事件所包含的基本事件数m占基本事件占基本事件总数总数n的比重，即的比重，即P(A)=m
10、/n。2、概率的统计定义、概率的统计定义 在相同条件下重复进行在相同条件下重复进行n次试验，随次试验，随着着n的增大，事件的增大，事件A出现的频率趋于稳定，出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件这个稳定值就是事件A发生的概率。发生的概率。根据概率的古典定义，通过大量重复根据概率的古典定义，通过大量重复试验，可以用事件发生的频率来近似代试验，可以用事件发生的频率来近似代替其概率。替其概率。3、概率的主观定义、概率的主观定义 有些概率是无法精确计算的。有些概率是无法精确计算的。既不既不能由等可能性来计算，也不可能从试验能由等可能性来计算，也不可能从试验得出。但根据经验、常识或其他相关因得出。但根据
11、经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。计，这样确定的概率称为主观概率。比如比如,你对别人说你下一个周末去公你对别人说你下一个周末去公园的概率是百分之八十。园的概率是百分之八十。连续随机变量取值不能一一列举。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。特别地，均值为0，标准差为1的正态分布称为标准正态分布。自由度n趋于无穷，t分布逐渐趋于标准正态分布。F（x
12、）P(Xx)落在总体均值附近某一区间内的概率其分布形状取决于自由度。对于逆事件 ，P()=1P(A)根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。对于逆事件 ，P()=1P(A)6、A的对立（逆）事件 指样本空间中所有不属于事件A的样本点D(X)np(1p)第一节 随机事件与概率基本事件 不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。随机事件简称事件，随机试验（或随机现象）的每一个可能结果连续随机变量取值不能一一列举。二、概率的性质与运算法则二、概率的性质与运算法则（一）概率的性质（一）概率的性质 概率具有三条公理（基本性
13、质）概率具有三条公理（基本性质）1、对任一事件、对任一事件A，有，有0P(A)1；2、必然事件的概率为、必然事件的概率为1，P()1；3、对于两两互斥事件、对于两两互斥事件Ai，有，有 P(A1+A2+)P(A1)+P(A2)+（二）概率的运算法则（二）概率的运算法则1概率的加法公式概率的加法公式 对于两个互斥事件，对于两个互斥事件，P(A+B)P(A)+P(B)。即如果两个事件不可能同时发。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。率的和。对于两个任意事件，对于两个任意事件，P(A+B)P(A)+P(B)P(AB)。即如
14、果两个事件有可即如果两个事件有可能同时发生，则能同时发生，则“P(A)+P(B)”中事件中事件A和和B同同时发生的概率时发生的概率P(AB)被重复计算了一次，因此，被重复计算了一次，因此，应该减去。应该减去。对于逆事件对于逆事件 ，P()=1P(A)AA 2概率的乘法公式概率的乘法公式 (1)条件概率条件概率在事件在事件A已经发生的已经发生的条件下事件条件下事件B发生的概率，称为发生的概率，称为“事件事件A已经发生的条件下已经发生的条件下B发生的条件概率发生的条件概率”，记为记为P(B|A)，并且有，并且有 P(B|A)P(A B)/P(A)(2)概率的乘法公式的一般形式概率的乘法公式的一般形
15、式 P(A B)P(A)P(B|A)或或P(A B)P(B)P(A|B)(3)如果事件如果事件A、B相互独立，则相互独立，则 P(A B)P(A)P(B)第二节随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量的概念一、随机变量的概念 随机变量表示随机试验结果的变量。随机变量表示随机试验结果的变量。对于随机试验的样本空间中的每一个样本点对于随机试验的样本空间中的每一个样本点（事件（事件）总有一个实数）总有一个实数X()与之对应，与之对应，则称实数函数则称实数函数X()为随机变量，简记为为随机变量，简记为X。离散型随机变量离散型随机变量取值可以一一列举取值可以一一列举;连续随机变量连续随机变量取值不能
16、一一列举。取值不能一一列举。二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布（一）离散型随机变量的概率分布 将离散型随机变量将离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值xi及及其对应的概率其对应的概率P(xi)用函数式、表格或图用函数式、表格或图形表示出来，就称为离散型随机变量的形表示出来，就称为离散型随机变量的概率分布。概率分布。离散型随机变量的概率分布具有下列性离散型随机变量的概率分布具有下列性质质 P(xi)0；1)(1niixPX10P0.50.5（二）连续型随机变量的概率密度（二）连续型随机变量的概率密度 连续变量的概率分布是用概率分布密度连续变量的概率分
17、布是用概率分布密度函数函数 f(x)表示的，简称概率密度。表示的，简称概率密度。连续变量落入某个区间的概率就是该概率连续变量落入某个区间的概率就是该概率密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密密度曲线在这个区间上所覆盖的面积，即密度函数在这个区间上的积分。度函数在这个区间上的积分。1x2x 对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，对于连续变量，取某个特定值的概率都是零，而只有变量取值于某个（或若干个）区间的而只有变量取值于某个（或若干个）区间的概率才有意义概率才有意义 P(x1Xx2)P(x1Xx2)dxxfxx21)(其分布形状取决于自由度。由于它特有的数学性质，许多分布（如二项分布）可以用正
18、态分布近似计算；连续型随机变量的数学期望显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。例1已知x 2(6),求或P(A B)P(B)P(A|B)2、事件的并（和）指事件A与事件B至少一个发生。1、n个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有n个自由度的2分布，记为2(n);因此，从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。2、F（6）;曲线在 x=及 x=+处有拐点；P(A B)P(A)P(B|A)6、A的对立（逆）事件 指样本空间中所有不属于事件A的样本点二项分布与泊松分布的关系连续型随机变量的分布函数落在总体均值附近某一区间内的概率基本事件 不可能再分成为
19、两个或更多事件的事件，也称为样本点。但根据经验、常识或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。（二）随机事件的关系和运算连续随机变量取值不能一一列举。落在总体均值附近某一区间内的概率 连续型随机变量的概率密度具有下列性连续型随机变量的概率密度具有下列性质质 1、f (x)0 2、1)(xf)(xfx（三）随机变量的分布函数（三）随机变量的分布函数 设设X为随机变量，为随机变量，x为任意实数，称函数为任意实数，称函数 F（x）P(Xx)为为X的累计分布函数，的累计分布函数，简称分布函数。简称分布函数。已知已知X的分布函数，就可以求出的分布函数，就可以求出X在任
20、一在任一区间上的概率区间上的概率 P(x1t)=第一节 随机事件与概率或P(A B)P(B)P(A|B)t分布主要适用于在正态总体标准差不知道而用样本标准差来代替时对总体均值进行推断。例已知xN(3,16),求:1、x8的概率;2、F（6）;3、f(6);4、5x8的概率落在总体均值附近某一区间内的概率落在总体均值附近某一区间内的概率 几乎所有的统计学书后都附有标准正态几乎所有的统计学书后都附有标准正态分布的函数值。查表或利用统计软件即分布的函数值。查表或利用统计软件即可查得正态分布在一定区间的概率。但可查得正态分布在一定区间的概率。但最常用的是求在中心（均值最常用的是求在中心（均值）附近、标
21、）附近、标准差准差的的1、2、3倍区间内的概率倍区间内的概率%73.99)3()3(%45.95)2()2(%27.68)1()(XZPXPXZPXPXZPXP标准正态分布（图）及其概率标准正态分布（图）及其概率%45.95%73.990123123%27.682、2分布分布(卡方分布卡方分布)卡方卡方(c2)分布的定义分布的定义)(.,2,1),1,0(2222222212nnzzzzniNznii记为（卡方）分布，的服从自由度为则称令相互独立。且若卡方卡方(c2)分布的图示分布的图示不同自由度的卡方分布曲线不同自由度的卡方分布曲线n=1n=4n=10n=20卡方卡方(c2)分布的特点分布的
22、特点1、n个独立的标准正态随机变量的平方和个独立的标准正态随机变量的平方和仍然为一随机变量，其概率分布是有仍然为一随机变量，其概率分布是有n个个自由度的自由度的2分布，记为分布，记为2(n);niNzzzznin,2,1),1,0()(2222122、2 分布是一个以自由度为参数的分布分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；对称分布；3、随着自由度、随着自由度n的增大，的增大，2分布逐渐趋于分布逐渐趋于正态分布正态分布;4、2分布适用于对总体方差的统计推断、分布适用于对总体方差的统计推断、拟合优度检验、独立性检验等等。拟合优度
23、检验、独立性检验等等。例1已知x 2(6),求1、x2.2的概率；2、若xa的概率为0.75，a值为多少？例2、的置信区间。的置信度估计时，试以当样本容量）（已知22222%95500,36),1(1snnsn3.t分布分布)k(tttkX/kztzX),k(X),1,0(Nz2记为分布，的服从自由度为则相互独立，、且若分布的定义tt分布（图）分布（图）N(0,1)t(n)t显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）；连续型随机变量的概率密度具有下列性质1、f(x)概率密度函数；例如在天气预报中会提到降水概率。落在总体均值附近
24、某一区间内的概率2、2 分布是一个以自由度为参数的分布族，其分布形状取决于自由度，是一非对称分布；基本事件 不可能再分成为两个或更多事件的事件，也称为样本点。即如果两个事件不可能同时发生，那么至少其中之一发生的概率为这两个概率的和。连续型随机变量的概率密度具有下列性质三、随机变量的数字特征2概率的乘法公式正态分布的概率密度所对应的图形简称正态曲线基本事件的全体（全集）称为样本空间或基本空间在相同条件下重复进行n次试验，随着n的增大，事件A出现的频率趋于稳定，这个稳定值就是事件A发生的概率。（二）随机事件的关系和运算有些概率是无法精确计算的。（一）随机变量的数学期望2、F（6）;但根据经验、常识
25、或其他相关因素对事件发生的可能性大小给以主观估计，这样确定的概率称为主观概率。t分布的特点分布的特点 t分布也是一个以自由度为参数的分布族。其分布也是一个以自由度为参数的分布族。其分布形状取决于自由度。分布形状取决于自由度。标准正态曲线与标准正态曲线与 t分布曲线异同分布曲线异同 相同点都是关于相同点都是关于X=0对称的、取值范围都是对称的、取值范围都是xt)=例1若tt(12),求1、t3.05的概率；2、t2.18的概率.4、F分布分布分布的定义F)k,k(FFF)k,k(k/Xk/XFXX),k(X),k(X2121221121222121记为分布，的服从自由度为则相互独立，、且若因此，
26、从某种意义说来，概率描述了某件事情发生的机会。显然，这种概率不可能超过百分之百，也不可能少于百分之零。对于两个互斥事件，P(A+B)P(A)+P(B)。即如果两个事件有可能同时发生，则“P(A)+P(B)”中事件A和B同时发生的概率P(AB)被重复计算了一次，因此，应该减去。许多随机变量服从或近似服从正态分布；连续型随机变量的概率密度具有下列性质标准正态曲线与 t分布曲线异同常用的连续型随机变量分布曲线的陡缓程度取决于参数(方差)2。曲线在 x=及 x=+处有拐点；根据中心极限定理，样本平均数的分布服从或近似服从正态分布；二、随机变量的概率分布P(B|A)P(A B)/P(A)2、必然事件的概率为1，P()1；1概率的加法公式连续变量的概率分布是用概率分布密度函数 f(x)表示的，简称概率密度。即n1时的二项分布。在古典概型中，事件A发生的概率等于该事件所包含的基本事件数m占基本事件总数n的比重，即P(A)=m/n。连续型随机变量的数学期望F分布图F(10,8)F(6,8)F(2,8)
