1、弹性力学第十章空间问题的解答目录目录10.1 基本方程的柱坐标和球坐标形式基本方程的柱坐标和球坐标形式 10.2 位移场的势函数分解位移场的势函数分解10.3 拉梅应变势拉梅应变势10.4 齐次拉梅方程的通解齐次拉梅方程的通解10.5 无限体内一点受集中力作用无限体内一点受集中力作用10.6 半无限体表面受法向集中力作用半无限体表面受法向集中力作用 在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 表示。若取对称轴为 z 轴，则轴对
2、称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是 和 z 的函数，而与 坐标无关。,z-1 空空间问题间问题的基本方程的基本方程轴对称问题轴对称问题 轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。例如：受轴对称荷载的厚壁筒、回转圆盘、无限体 或半无限体受集中力等柱坐标：描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标柱坐标系柱坐标系xyz0Pcos,sin,xyzz与直角坐标的关系：22cossinxyxyzdd用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小微小六面体六面体ddzd沿方向的正应力径向正应力,环向正应力,沿方向的正应力z轴向正应力,沿z方向的正应力
3、z作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力z作用在水平面上而沿方向作用的剪应力 zzzzz从轴对称物体中取出图示的单元体 一、轴对称问题的应力分量与体力分量的表示由于对称性，ddzz00zzzzz并且环向体力分量为零ddzzz球对称问题的几何方程为：描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为：5 无限体内一点受集中力作用从轴对称物体中取出图示的单元体可见中的前二式自然满足，而第三式成为代入式（10-18）得并假设在z=h处w=0。将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程5、决定常数B，利用给定的位移条件:2）本题也可按轴对称问题计算
4、：那么存在一个标量势函数，它的梯度等于 U15、决定常数B，利用给定的位移条件:根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 表示。并假设在z=h处w=0。1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下5 无限体内一点受集中力作用根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。可见中的前二式自然满足，而第三式成为空间轴对称问题的平衡方程为:应变分量：z径向正应变环向正应变轴向正应变剪应变：zz位移分量：zuu0u径向位移环向位移轴向位移基本未知量：,z,zz,z,zzzu,u共10个二、轴对称问题的平衡微分方程:取图示微元体。由于轴对称，在微元体的两个圆柱面上，只有正应力和轴向剪应力；在两个水平
5、面上只有正应力和径向剪应力；在两个垂直面上只有环向正应力，如图示。根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。注意：此时环向正应力的增量为零。0yzzzzzzzzzzzzx0 xyzzzzzzzzzzzzdd2d2ddd12cos,22sinddddd根据方向的平衡0dddddddd2ddd2dddd)d(dbzFzzzzzzzz利用可得:经约简并略去高阶微量，得：根据z方向的平衡，可得:0bFzzz0yzzzzzzzzzzzzxzzzzzzzzbd(d)dddddddddddd0zzzzzzzzzzzFz 化简后得到:0bzzzFz 空间轴对称问题的平衡方程为:00bbzzz
6、zzFzFz三、几何方程 通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为：由于对称，各点环向位移为零，由径向位移产生的应变为,zuuuz由轴向位移w产生的应变为wzwzz,迭加得到几何方程,zzuuuwwzz四 物理方程1()1()1()2(1)zzzzzzEEEE 由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：应力分量用形变分量表示的物理方程：1121121122(1)zzzrEeEeEeE其中：ze 例题例题：设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。并假设在z=h处w=0。解:位移法求解空间问
7、题的方程为：220,0,()(1)dd0,0,(2)dduvw wzuvwweeewexyzzxyzz2b2b2b102(1)1 210(3)2(1)1 2102(1)1 2xyzEeuFxEevFyEewFz 1、由于任意铅直平面都是对称面，假设zRzxyq2、将(2)代入，可见中的前二式自然满足，而第三式成为可见中的前二式自然满足，而第三式成为)4(0211)1(22222pdzwddzwdE化简后，积分以后得：化简后，积分以后得：2d(1)(1 2)()d(1)(1)(1 2)()(5)2(1)wep zAzEwp zABE 上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。22d(1)(1
8、2)d(1)wpzE 即即1(1)1 21(1)1 21(1)1 2(6)2(1)2(1)2(1)xyzxyyzzxEuexEveyEwezEuvyxEvwzyEwuxz 3、将(5)代入弹性方程(6)得：)7(0)()(1zxyzxyZyxAzpAzp在本问题的边界上:0,1,0,xyzlmnpppq Rzxyq应力边界条件为:前二式自然满足，而第三式要求:()()()()()()()()()xsxysxzsxxysysyzsyxzsyzszszlmnplmnplmnppqAqzz/)(0 4、由应力边界条件确定A)8(0)()(1zxyzxyZyxqpzqpz2(1)(1 2)()2(1)
9、qwpzBEp在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。又由于对称，只可能发生径向正应变 及切向正应变 ，不可能发生坐标方向的剪应变。根据z方向的平衡，可得:球对称问题的几何方程为：6 半无限体表面受法向集中力作用环向正应力,沿方向的正应力描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标亥姆霍兹(Helmholtz)定理：一个任意的位移场 U总可以分解为两部分，一部分代表没有转动的（即无旋的）位移场U1，另一部分代表没有体积变化的（即等容的
10、）位移场U2。经约简并略去高阶微量，得：可见中的前二式自然满足，而第三式成为轴向正应力,沿z方向的正应力根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。可见中的前二式自然满足，而第三式成为5、决定常数B，利用给定的位移条件:将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。对式(10-15)作散度和旋度运算，可得2）本题也可按轴对称问题计算：代入式（10-18）得得:5、决定常数B，利用给定的位移条件:得铅直位移:)
11、(2)()1()21)(1(22zhpzhqEw0)(hzw2(1)(12)()2(1)pqBhEpRzxyqh2max0(1)(1 2)()(1)2zpwwqhhE6、分析：1）本问题的工程背景是地面受大面积堆载作用下的应力和位移分析。由：可得侧压力系数：1yxzz)8(0)()(1zxyzxyZyxqpzqpz2）本题也可按轴对称问题计算：取0,()uw wz()1()0Zzzpzqpzq 求得：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外来因素，都对称于某一点（通过这一点的任意平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一点。这种问题称为空间球对称问题。根据球对称的特
12、点，应采用球坐标 表示。若以弹性体的对称点为坐标原点 ，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。,rO 显然，球对称问题只可能发生于空心或实心的圆球体中。球对称球对称问题问题xzy一 平衡微分方程 取微元体。用相距 的两个圆球面和两两互成 角的两对径向平面，从弹性体割取一个微小六面体。由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。drd 由于对称性，微元体只有径向体积力 。由径向平衡，并考虑到 ，再略去高阶微量，即得球对称问题的平衡微分方程：rK22sindd02rrrKrdrd二 几何方程 由于对称，只可能发生径向位移 ；又由于对称，
13、只可能发生径向正应变 及切向正应变 ，不可能发生坐标方向的剪应变。球对称问题的几何方程为：rurtdrdurrrurt三 物理方程 球对称问题的物理方程可直接根据虎克定律得来：trrE21rttE11将应力用应变表示为：trrE21211rttE211例：空心圆球受均布压力例：空心圆球受均布压力 设有空心圆球，内半径为设有空心圆球，内半径为a，外半径为，外半径为b，内压为，内压为qa，外压为外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。，体力不计，试求其应力及位移。其解为得应力分量022222rrrurdrdurdrud解：由于体力不计，球对称问题的微分方程简化为2rBArur331211221rB
14、EAErBEAEtrxzy26trrE21211rttE211将边界条件bbrraarrqq代入上式解得12,2133333333abEqqbaBabEqbqaAbaba于是得问题的径向位移应力表达式barqbaraqabrbEru3333333311212112121batbarqbaraqabrbqbaraqabrb3333333333333333121112,1111能直接利用拉梅应变势求解的问题极少。轴对称问题的弹性体的形状一般为圆柱体或半空间体。可见中的前二式自然满足，而第三式成为根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。代入式（10-18）得解：由于体力不计，球对
15、称问题的微分方程简化为2）本题也可按轴对称问题计算：作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。空间轴对称问题的平衡方程为:作用在水平面上而沿方向作用的剪应力将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程若以弹性体的对称点为坐标原点 ，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。对于 U2，由于它表示等容变形，则体积应变为零，也表示其散度为零。（二）纽勃-(鲍勃)巴博考维奇通解(b),(d)代入(a)得用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体在空间问题
16、中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。那么存在一个标量势函数，它的梯度等于 U110.2 位移场的势函数分解式位移场的势函数分解式亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmholtz)(Helmholtz)定理：一个任意的位定理：一个任意的位移场移场 U U总可以分解为两部分，一部分代表总可以分解为两部分，一部分代表没有转动的（即无旋的）位移场没有转动的（即无旋的）位移场U1U1，另一，另一部分代表没有体积变化的（即等容的）位部分代表没有体积变化的（即等容的
17、）位移场移场U2U2。21UUU(a)由于U1为无旋的位移场，故其旋度为零。01 U 那么存在一个标量势函数，它的梯度等于 U1 1U 对于 U2，由于它表示等容变形，则体积应变为零，也表示其散度为零。(b)不失一般性，可令不失一般性，可令(c)02U(c)(c)式成立的条件是式成立的条件是2U(d)0(10-14)(b),(d)(b),(d)代入代入(a)(a)得得U(10-15)式式(10-15)(10-15)称为位移场的势函数分解式，或称为位移场的势函数分解式，或称称Stokes Stokes 分解式。分解式。对式对式(10-15)(10-15)作散度和旋度运算，可得作散度和旋度运算，可
18、得2U2U(10-16)10.3 拉梅应变势拉梅应变势式式(10-15)给出了位移场既非无旋也非等容的给出了位移场既非无旋也非等容的一般情况下的分解式，若位移场是无旋的，一般情况下的分解式，若位移场是无旋的，则式则式(10-15)可简化为可简化为U(10-17)将式将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程代入不计体力的拉梅方程0)(2UGG(10-18)222UU代入式（10-18）得 注意到：0)2(2 G由此可得：C2(10-19)6 半无限体表面受法向集中力作用空间轴对称问题的平衡方程为:在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都
19、是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。代入式（10-18）得轴向正应力,沿z方向的正应力作用在水平面上而沿方向作用的剪应力环向正应力,沿方向的正应力对于 U2，由于它表示等容变形，则体积应变为零，也表示其散度为零。用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体这种问题称为空间轴对称问题。由径向平衡，并考虑到 ，再略去高阶微量，即得球对称问题的平衡微分方程：球对称问题的几何方程为：空间轴对称问题的平衡方程为:根据z方向的平衡，可得:由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均匀的，或者没有膨胀和收缩。设有空心圆球，内半径为a
20、，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。用相距 的两个圆柱面，互成 的两个铅垂面及相距 的两个水平面，从弹性体内取一个微小六面体上式中的A，B是任意常数，根据边界条件决定。(c)式成立的条件是若以弹性体的对称点为坐标原点 ，则球对称问题的应力分量、形变分量和位移分量都将只是径向坐标 r 的函数，而与其余两个坐标无关。由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均匀的，或者没有膨胀和收缩。能直接利用拉梅应变势求解的问题极少。10.4 齐次拉梅方程的通解齐次拉梅方程的通解（一）布西内斯克-伽辽金通解将：根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 表示。作用在水平面上而
21、沿方向作用的剪应力球对称问题的几何方程为：由于球对称，各面上只有正应力，其应力情况如图所示。那么存在一个标量势函数，它的梯度等于 U1(c)式成立的条件是由于圆柱坐标，是和直角坐标一样的正交坐标，所以可直接根据虎克定律得物理方程：根据轴对称的特点，宜采用圆柱坐标 表示。描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标根据z方向的平衡，可得:(c)式成立的条件是由于方程（10-19）的成立表示弹性体内各处的膨胀或收缩是均匀的，或者没有膨胀和收缩。根据球对称的特点，应采用球坐标 表示。并假设在z=h处w=0。通过与平面问题及极坐标中同样的分析，由径向位移引起的形变分量为：根据连续性假设，微元体的正面
22、相对负面其应力分量都有微小增量。球对称问题的几何方程为：可见中的前二式自然满足，而第三式成为那么存在一个标量势函数，它的梯度等于 U1取微元体。（二）纽勃-(鲍勃)巴博考维奇通解10.5 无限体内一点受集中力作用无限体内一点受集中力作用10.6 半无限表面受法向集中力作半无限表面受法向集中力作用用又由于对称，只可能发生径向正应变 及切向正应变 ，不可能发生坐标方向的剪应变。代入式（10-18）得作用在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力环向正应力,沿方向的正应力轴向正应力,沿z方向的正应力5 无限体内一点受集中力作用在空间问题中，若弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部荷载，都对称于某一轴（通过这
23、个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、形变和位移也对称于这一轴。描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标或半无限体受集中力等描述空间轴对称问题的应力、形变、位移宜用柱坐标(c)式成立的条件是亥姆霍兹(Helmholtz)定理：一个任意的位移场 U总可以分解为两部分，一部分代表没有转动的（即无旋的）位移场U1，另一部分代表没有体积变化的（即等容的）位移场U2。设有空心圆球，内半径为a，外半径为b，内压为qa，外压为qb，体力不计，试求其应力及位移。根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。球对称问题的物理方程可直接根据虎克定律得来：式(10-15)称为位移场的势函数分解式，或称Stokes 分解式。5 无限体内一点受集中力作用5、决定常数B，利用给定的位移条件:根据连续性假设，微元体的正面相对负面其应力分量都有微小增量。将式(10-17)代入不计体力的拉梅方程根据球对称的特点，应采用球坐标 表示。
