1、一、二元函数一、二元函数二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续三、多元函数三、多元函数第二节第二节 多元函数多元函数 导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.第二节第二节 多元函数多元函数一、二元函数一、二元函数例 矩形面积 S 与长 x，宽 y 之间关系为 S=x y (x0,y0)其中长 x 和宽 y 是两个独立的变量,在它们变化范围内,当x,y 的值取定后,矩形面积
2、 S 有惟一确定值对应.例 在西方经济学中，著名 的生产函数为 ，这里 为常数，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量，Q是一个依赖于K和L的变化而变化的量当K,L 的值取定后,Q就 有惟一确定的值相对应.DouglasCobbLcKQ,c0,0KL 定义 设D为 中的一个非空点集，若有一个映射f，使得对于D中每一个有序实数对 ，都有惟一确定的实数z与之对应，则称映射f 为定义在D上的二元函数，记为 f：DR，又记为 ，其中 称为自变量，z称为因变量，的变化范围D称为函数的定义域，记为 实数z的取值范围称为值域，记为 .),(yxDyxzyx),(,),(),(yxfz yx,),(y
3、x)(fD)(Df2RzDyxzf),(yx 二元函数的定义域 当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式有意义的自变量所组成的平面点集为该二元函数的定义域，二元函数的定义域通常为平面区域.,1 22的示意图并作出的定义域求函数DDyxz例例解 要使函数有意义须满足,0122yx.1),(22yxyxD,1 22 yx即所以函数的定义域为xy.)ln(1Dyxxz的定义域求函数例解 要使函数有意义须满足0,0 xyx所以函数的定义域为0,0|),(xyxyxD例.1)ln(22Dyxxyxyz的定义域求函数解 要使函数有意义须满足010022yxxyxy函数的定义域为1,0,0),(22yxx
4、yxyyxDxyxy 例.1)ln(22Dyxxyxyz的定义域求函数解 要使函数有意义须满足010022yxxyxy所以函数的定义域为1,0,0),(22yxxyxyyxDxyxy 二元函数的几何图形 设函数 z=f(x,y)的定义域为D.对于任意取定的点 ,对应的函数值为 .这样,就确定空间一点 .当(x,y)取遍D上的一切点时,得到空间点集这个点集称为二元函数的图形.该几何图形通常是一张曲面.而定义域 D 正是这曲面在Oxy平面上的投影.DyxP),(),(yxfz),(zyxM),(),(),(Dyxyxfzzyx),(yx),(zyxMxyz即上半球面分上方的部单位球面）在半径为的球
5、面（称为表示以原点为中心二元函数,122xOyyxz例xyz表示平面二元函数yxz1例二、二元函数的极限与连续 AxfxxAAxfxxxxfxx)(lim)()(0000时的极限，记为为，则称常数无限趋近时，附近有定义，若在设 定义 设函数 z=f(x,y)在点 的某一去心邻域内有定义,如果动点 P(x,y)在该邻域内以任意方式趋于定点 时,函数值 f(x,y)趋于一个确定常数 A,则称 A 为函数 z=f(x,y),当 时的极限，记作),(000yxP00,yyxx),(000yxP,),(lim00Ayxfyyxx,),(lim),(),(00Ayxfyxyx或 (1)对于二元函数极限的存
6、在是指当P(x,y)以任意方式与方向趋于定点P0(x0,y0),函数都无限接近于A.即极限趋近方式具有任意性特征.二元函数极限的说明：(2)对于二元函数极限的不存在,则有若当点 P(x,y)以不同路径趋于点 时,函数趋于不同的值;或在某一路径上点P(x,y)趋于点 的极限不存在,则可以断定函数在 点的极限不存在.),(000yxP),(000yxP),(000yxP),(00yxxy x y x y -1.0-1.0-0.5-0.5-0.2-0.20 00.20.20.50.51.01.0-1.0-1.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600
7、.600.000.00-0.5-0.5-0.60-0.600.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.60-0.2-0.2-0.92-0.92-0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72-0.92-0.920 0-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.20.2-0.92-0.92-0.72-0.720.000.001.001.000.000.00-0.72-0.72-0.92-0.920.50.5-0.60-0.60
8、0.000.000.720.721.001.000.720.720.000.00-0.60-0.601.01.00.000.000.600.600.920.921.001.000.920.920.600.600.000.00 例 考察函数 在 处的极限是否存在.做出函数在点 附近的函数值表，如下2222),(yxyxyxf)0,0()0,0(函数 在 处的极限不存在.),(yxf)0,0(例 证明函数 在 处的极限不存在.2222),(yxyxyxf)0,0(证 让 沿直线 而趋于 ，则有),(yxkxy)0,0(22222202222011)1()1(limlimkkkxkxyxyxxkxy
9、x它将随k 的不同而具有不同的值.222200limyxyxyx因此，极限 不存在.二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则.例 求极限.)sin(lim200 xyyxyx0)sin(limlim)sin(lim)sin(lim2200002200200yxyxxyxyxxxyyxyxyxyxyx解;lim222)0,0(),(yxxyyx例 求极限解)(2122222有界量知由yxxyxyyx由有界变量与无穷小乘积为无穷小知0lim22200yxxyyx2.二元函数的连续性 定义 设函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,若 则称函数 f(x,y)在点P0
10、(x0,y0)处连续.),(),(lim00,00yxfyxfyyxx 定义 若在点P0(x0,y0)处,自变量x,y各取增量x,y时，函数随之取得增量z，即).,(),(0000yxfyyxxfz若 则称函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处连续 0lim00zyx0lim)()(lim000yxfxfxxx或一元函数连续定义：如果函数 z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数 f(x,y)的不连续点，或称间断点.(1)在点 P0(x0,y0)没有定义，(2)极限 不存在，),(lim00yxfyyxx(3)，),(),(lim0000yxfyx
11、fyyxx则点 P0(x0,y0)为函数的 z=f(x,y)的间断点.如果函数 z=f(x,y)有下列情形之一：二元函数间断的情况要比一元函数复杂,它除了有间断点外,还可能有间断线.例0001),(xyxyyxf此函数对于x轴与y轴上的点均间断.010),(222222yxyxyxyxf此函数在原点(0,0)处间断.二元函数的连续性质 由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四则运算或复合步骤而构成的，且用一个数学式子表示的函数称为二元初等函数.定理 二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域内的区域)内是连续.定理 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)与复合仍连续.定理 在有界闭区域 D
12、上的二元连续函数在 D上一定有最大值和最小值.例 求极限.641arcsinarcsinlim22210yxyx.11lim00 xyxyyx)11(11lim00 xyxyxyyx21111lim00 xyyx22210arcsinlimyxyx解.11lim00 xyxyyx三、多元函数 一般地，称函数 为 上的n元函数),(21nxxxfun21R),(DxxxnnR 若n元有序实数组 用点 表示，这样n元函数 .也可以表示为 称其为点函数.),(21nxxx),(21nxxxP),(21nxxxfu)(Pfu 例如，一个公司用n种原料制造食品，每种原料i的单价为 ，在食品的制造中，有数量为 的原料i被使用，因此总费用是受原料影响的函数：icixnnnxcxcxcxxxfC221121),(二元函数及二元以上函数统称为多元函数，同二元函数类似，可以定义多元函数的极限与连续概念.并将其统一为点函数形式.多元函数的极限定义 多元函数的连续定义 APfpp)(lim0)()(lim00PfPfpp 由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质与二元函数类似.因此，对于多元函数微积分的研究主要以二元函数为主，多元函数微积分可以由二元函数微积分类似推广.
